In der komplizierten Analyse ist der Lehrsatz von de Branges oder die Vermutung von Bieberbach, ein Lehrsatz, der eine notwendige Bedingung auf einer Holomorphic-Funktion in der Größenordnung davon gibt, um die offene Einheitsplatte des komplizierten Flugzeugs injectively zum komplizierten Flugzeug kartografisch darzustellen. Es wurde dadurch aufgestellt und schließlich dadurch bewiesen.

Die Behauptung betrifft die Koeffizienten von Taylor von solch einer Funktion, normalisiert, wie immer so dass = 0 und = 1 möglich ist. D. h. wir denken eine holomorphic Funktion der Form

:

der definiert wird und injective auf der offenen Einheitsplatte (solche Funktionen auch einwertig oder Schlicht-Funktionen genannt werden). Der Lehrsatz setzt dann das fest

:

Funktionen von Schlicht

Die Normalisierungen

:a = 0 und = 1

haben Sie das vor

:f (0) = 0 und f' (0) = 1;

das kann immer durch eine geradlinige Bruchtransformation gesichert werden: Das Starten mit einem willkürlichen injective holomorphic fungiert g definiert auf der offenen Einheitsplatte und dem Setzen

:

Solche Funktionen g sind von Interesse, weil sie im Riemann erscheinen, der Lehrsatz kartografisch darstellt.

Eine Familie von Schlicht-Funktionen ist die rotieren gelassenen Funktionen von Köbe

:

mit α eine komplexe Zahl des absoluten Werts 1. Wenn f eine Schlicht-Funktion und |a = n für einen n  2 ist, dann ist f eine rotieren gelassene Funktion von Köbe.

Die Bedingung des Lehrsatzes von de Branges ist nicht genügend, um zu zeigen, dass die Funktion schlicht, als die Funktion ist

:

Shows: Es ist holomorphic auf der Einheitsscheibe und befriedigt |an für den ganzen n, aber es ist nicht injective seitdem f (−1/2 + z) = f (−1/2 − z).

Geschichte

bewiesener |a  2, und hat die Vermutung festgesetzt, dass |a  n. und unabhängig die Vermutung für Sternmäßigfunktionen bewiesen hat.

Dann hat Charles Loewner |a  3, mit der Gleichung von Löwner bewiesen. Seine Arbeit wurde durch späteste Versuche verwendet, und wird auch in der Theorie der Schramm-Loewner Evolution angewandt.

bewiesen dass |a  en für den ganzen n, zeigend, dass die Vermutung von Bieberbach bis zu einem Faktor von e = 2.718 wahr ist... Mehrere Autoren haben später die Konstante in der Ungleichheit unter e reduziert.

Wenn f (z) = z +... eine Schlicht-Funktion dann φ (z) = f (z) ist, ist eine sonderbare Schlicht-Funktion.

hat

dass b  14 für den ganzen k gezeigt. Sie haben vermutet, dass 14 durch 1 als eine natürliche Generalisation der Vermutung von Bieberbach ersetzt werden kann. Die Littlewood-Paley-Vermutung bezieht leicht die Vermutung von Bieberbach mit der Ungleichheit von Cauchy ein, aber es wurde bald dadurch widerlegt, wer gezeigt hat, dass es eine sonderbare Schlicht-Funktion mit b = 1/2 + exp (−2/3) = 1.013 gibt..., und dass das der maximale mögliche Wert von b ist. (Milin hat später gezeigt, dass 14 durch 1.14 ersetzt werden kann. und Hayman hat gezeigt, dass die Zahlen b eine Grenze weniger als 1 haben, wenn φ nicht eine Funktion von Koebe ist, so ist Littlewoods Vermutung und Paleys für alle außer einer begrenzten Zahl von Koeffizienten jeder Funktion wahr.) Eine schwächere Form von Littlewoods Vermutung und Paleys wurde dadurch gefunden.

Die Vermutung von Robertson setzt das wenn fest

:

ist eine sonderbare Schlicht-Funktion in der Einheitsplatte mit b=1 dann für alle positiven ganzen Zahlen n,

:

Robertson hat bemerkt, dass seine Vermutung noch stark genug ist, um die Vermutung von Bieberbach einzubeziehen, und es für n = 3 bewiesen hat. Diese Vermutung hat die Schlüsselidee eingeführt, verschiedene quadratische Funktionen der Koeffizienten aber nicht der Koeffizienten selbst zu begrenzen, der zu begrenzenden Normen von Elementen in bestimmten Räumen von Hilbert von Schlicht-Funktionen gleichwertig ist.

Es gab mehrere Beweise der Vermutung von Bieberbach für bestimmte höhere Werte von n, hat insbesondere |a  4 bewiesen, und hat |a  6 bewiesen, und hat |a  5 bewiesen.

bewiesen, dass die Grenze von a/n besteht, und absoluten Wert weniger als 1 hat, wenn f keine Funktion von Koebe ist. Insbesondere hat das gezeigt, dass für jeden f es höchstens eine begrenzte Zahl von Ausnahmen zur Vermutung von Bieberbach geben kann.

Die Milin-Vermutung stellt das für jede einfache Funktion auf der Einheitsplatte, und für alle positiven ganzen Zahlen n, fest

:

wo die logarithmischen Koeffizienten γ f durch gegeben werden

: hat

das Verwenden der Lebedev-Milin Ungleichheit gezeigt, dass Milin mutmaßen (später bewiesen von de Branges), bezieht die Vermutung von Robertson und deshalb die Vermutung von Bieberbach ein.

Schließlich bewiesener |a  n für den ganzen n.

Der Beweis von De Branges

Der Beweis verwendet einen Typ von Räumen von Hilbert von kompletten Funktionen. Die Studie dieser Räume ist in ein Teilfeld der komplizierten Analyse hineingewachsen, und die Räume kommen, um Räume von de Branges und die Funktionen Funktionen von de Branges genannt zu werden. De Branges hat die stärkere Vermutung von Milin auf logarithmischen Koeffizienten bewiesen. Wie man bereits bekannt, hat das die Vermutung von Robertson über sonderbare einwertige Funktionen einbezogen, die der Reihe nach, wie man bekannt, die Vermutung von Bieberbach über einfache Funktionen einbezogen hat. Sein Beweis verwendet die Gleichung von Loewner, die Askey-Gasper Ungleichheit über Polynome von Jacobi und die Lebedev-Milin Ungleichheit auf der exponentiated Macht-Reihe.

De Branges hat die Vermutung auf etwas Ungleichheit für Polynome von Jacobi reduziert, und hat die ersten mit der Hand nachgeprüft. Walter Gautschi hat mehr von dieser Ungleichheit durch den Computer für de Branges (Beweis der Vermutung von Bieberbach für die ersten ungefähr 30 Koeffizienten) nachgeprüft und hat dann Richard Askey gefragt, wenn er von einer ähnlicher Ungleichheit gewusst hat. Askey hat darauf hingewiesen, dass die notwendige Ungleichheit acht Jahre vorher bewiesen hatte, die de Branges erlaubt hat, seinen Beweis zu vollenden. Die erste Version war sehr lang und hatte einige geringe Fehler, die etwas Skepsis darüber verursacht haben, aber diese wurden mit der Hilfe von Mitgliedern der Leningrader Abteilung von Steklov Mathematisches Institut korrigiert, als de Branges 1984 besucht hat.

De Branges hat das folgende Ergebnis bewiesen, das für ν = 0 die Vermutung von Milin (und deshalb die Vermutung von Bieberbach) einbezieht.

Nehmen Sie das ν &gt an; −3/2 und σ sind reelle Zahlen für positive ganze Zahlen n mit der Grenze 0 und solch dass

:ist

Nichterhöhung nichtnegativ, und hat Grenze 0. Dann für den ganzen Riemann, der Funktionen F (z) = z +... einwertig in der Einheitsplatte mit kartografisch darstellt

:

der maximinum Wert von

:

wird durch die Funktion von Koebe z / erreicht (1 − z).