Der Theorema Egregium von Gauss (Latein: "Bemerkenswerter Lehrsatz") ist ein foundational laufen auf Differenzialgeometrie hinaus, die von Carl Friedrich Gauss bewiesen ist, der die Krümmung von Oberflächen betrifft. Der Lehrsatz sagt, dass die Krümmung von Gaussian einer Oberfläche völlig durch das Messen von Winkeln, Entfernungen und ihren Raten auf der Oberfläche selbst ohne weitere Verweisung auf den besonderen Weg bestimmt werden kann, in dem die Oberfläche im umgebenden 3-dimensionalen Euklidischen Raum eingebettet wird. So ist die Krümmung von Gaussian ein innerer invariant einer Oberfläche.

Gauss hat den Lehrsatz auf diese Weise (übersetzt aus Latein) präsentiert:

:Thus die Formel des vorhergehenden Artikels führt sich zum bemerkenswerten 'Lehrsatz. Wenn eine gekrümmte Oberfläche auf eine andere Oberfläche überhaupt entwickelt wird, bleibt das Maß der Krümmung in jedem Punkt unverändert.

Der Lehrsatz ist "bemerkenswert", weil die Startdefinition der Krümmung von Gaussian direkten Gebrauch der Position der Oberfläche im Raum macht. So ist es ziemlich überraschend, dass das Ergebnis von seinem Einbetten trotz des ganzen Verbiegens und Drehung von erlebten Deformierungen nicht abhängt.

Auf der modernen mathematischen Sprache kann der Lehrsatz wie folgt festgesetzt werden:

: Die Gaussian Krümmung einer Oberfläche ist invariant unter der lokalen Isometrie.

Elementare Anwendungen

Ein Bereich des Radius R hat unveränderliche Krümmung von Gaussian, die 1/R gleich ist. Zur gleichen Zeit hat ein Flugzeug Nullkrümmung von Gaussian. Als eine Folgeerscheinung von Theorema Egregium kann ein Stück von Papier nicht auf einen Bereich ohne das Zusammenschrumpeln gebogen werden. Umgekehrt kann die Oberfläche eines Bereichs nicht auf ein flaches Flugzeug entfaltet werden, ohne die Entfernungen zu verdrehen. Wenn man auf einer leeren Ei-Schale gehen sollte, müssen sich seine Ränder in der Vergrößerung aufspalten, bevor sie glatt gemacht werden. Mathematisch sprechend, sind ein Bereich und ein Flugzeug sogar lokal nicht isometrisch. Diese Tatsache ist der enormen Bedeutung für das Kartenzeichnen: Es deutet an, dass keine planare (flache) Karte der Erde sogar für einen Teil der Oberfläche der Erde vollkommen sein kann. So verdreht jeder kartografische Vorsprung notwendigerweise mindestens einige Entfernungen.

Der catenoid und der helicoid sind zwei sehr verschieden aussehende Oberflächen. Dennoch kann jeder von ihnen unaufhörlich in den anderen gebogen werden: Sie sind lokal isometrisch. Es folgt aus Theorema Egregium, dass unter diesem Verbiegen die Krümmung von Gaussian an irgendwelchen zwei entsprechenden Punkten des catenoid und helicoid immer dasselbe ist. So biegt sich Isometrie einfach und dreht sich einer Oberfläche ohne das innere Zusammenschrumpeln oder Reißen, mit anderen Worten ohne Extraspannung, Kompression, oder mähen.

Eine Anwendung von Theorema Egregium wird in einer allgemeinen Pizza essenden Strategie gesehen: Eine Scheibe der Pizza kann als eine Oberfläche mit der unveränderlichen Krümmung von Gaussian 0 gesehen werden. Freundlich das Verbiegen einer Scheibe muss dann diese Krümmung grob aufrechterhalten (das Annehmen, dass die Kurve grob eine lokale Isometrie ist). Wenn man eine Scheibe horizontal entlang einem Radius biegt, werden Nichtnullhauptkrümmungen entlang der Kurve geschaffen, diktierend, dass die andere Hauptkrümmung an diesen Punkten Null sein muss. Das schafft Starrheit in der Richtungssenkrechte zur Falte, ein wünschenswertes Attribut, wenn es Pizza isst, weil es seine Gestalt lange genug hält, ohne eine Verwirrung verbraucht zu werden. Dieser derselbe Grundsatz wird verwendet, um in gewellten Materialien, am vertrautesten gewellter Holzfaserplatte stark zu werden, und hat galvanisiertes Eisen gewellt.

Siehe auch

• Die zweite grundsätzliche Form
• Krümmung von Gaussian
• Differenzialgeometrie von Oberflächen

Zeichen

• Karl Friedrich Gauss, Allgemeine Untersuchungen von Gekrümmten Oberflächen von 1827 und 1825, (1902) Die Universität von Princeton Bibliothek. (Eine Übersetzung von ursprünglichem Papier von Gauss.) (Zeigt zurzeit den übersetzten Text nicht)
• Karl Friedrich Gauss, Allgemeine Untersuchungen von Gekrümmten Oberflächen von 1827 und 1825, Das Projekt Gutenberg EBook Allgemeiner Untersuchungen von Gekrümmten Oberflächen von 1827 und 1825, durch Karl Friedrich Gauss
• Carl Friedrich Gauss (Autor), Adam Hiltebeitel (Übersetzer), James Morehead (Übersetzer), Allgemeine Untersuchungen Von Gekrümmten Oberflächen Ungekürzt (Paperback), Wexford Universitätspresse, 2007, internationale Standardbuchnummer 978-1-929148-77-6.
• Carl Friedrich Gauss (Autor), Peter Pesic (Redakteur), Allgemeine Untersuchungen von Gekrümmten Oberflächen (Paperback), Veröffentlichungen von Dover, 2005, internationale Standardbuchnummer 978-0-486-44645-5.
• Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones generales um superficies curvas 1827 am 8. Okt (in Latein),