Eine transzendente Funktion ist eine Funktion, die keine polynomische Gleichung befriedigt, deren Koeffizienten selbst Polynome im Gegensatz zu einer algebraischen Funktion sind, die wirklich solch eine Gleichung befriedigt. Mit anderen Worten ist eine transzendente Funktion eine Funktion, dass "" Algebra im Sinn, dass es in Bezug auf eine begrenzte Folge der algebraischen Operationen der Hinzufügung, Multiplikation und Wurzelförderung nicht ausgedrückt werden kann.

Beispiele von transzendenten Funktionen schließen die Exponentialfunktion, den Logarithmus und die trigonometrischen Funktionen ein.

Formell ist ein analytischer Funktions-ƒ (z) der echten oder komplizierten Variablen z, …, z transzendental, wenn die n + 1 Funktionen z, …, z, ƒ (z) algebraisch unabhängig sind. D. h. ƒ ist über Feld C (z, …, z) transzendental.

Einige Beispiele

Alle folgenden Funktionen sind transzendental.

Bemerken Sie, dass insbesondere dafür, wenn wir c gleich, die Basis des natürlichen Logarithmus dann untergehen, wir kommen, der eine transzendente Funktion ist. Ähnlich, wenn wir c gleich darin untergehen, dann kommen wir das, der natürliche Logarithmus, ist eine transzendente Funktion.

Algebraisch und transzendente Funktionen

Der Logarithmus und die Exponentialfunktion sind Beispiele von transzendenten Funktionen. Transzendente Funktion ist ein Begriff häufig hat gepflegt, die trigonometrischen Funktionen (Sinus, Kosinus, Tangente, ihr Gegenstück-Kotangens, Sekante, und cosecant, der jetzt wenig verwendete versine, haversine, und coversine, ihre Analoga die Hyperbelfunktionen und so weiter) zu beschreiben.

sagt, ist eine Funktion, die nicht transzendental ist, algebraisch. Beispiele von algebraischen Funktionen sind vernünftige Funktionen und die Quadratwurzel-Funktion.

Die Operation, das unbestimmte Integral einer algebraischen Funktion zu nehmen, ist eine Quelle von transzendenten Funktionen. Zum Beispiel ist die Logarithmus-Funktion aus der gegenseitigen Funktion entstanden, um das Gebiet eines Hyperbelsektors zu finden. So sind der Hyperbelwinkel und die Hyperbelfunktionen sinh, der Totschläger und tanh alle transzendental.

Differenzialalgebra untersucht, wie Integration oft Funktionen schafft, die von einer Klasse, solcher als algebraisch unabhängig sind, wenn man Polynome mit trigonometrischen Funktionen als Variablen nimmt.

Dimensionale Analyse

In der dimensionalen Analyse sind transzendente Funktionen bemerkenswert, weil sie Sinn nur haben, wenn ihr Argument (vielleicht nach der algebraischen Verminderung) ohne Dimension ist. Wegen dessen können transzendente Funktionen eine zum Punkt leichte Quelle von dimensionalen Fehlern sein. Zum Beispiel ist Klotz (10 m) ein sinnloser Ausdruck, verschieden vom Klotz (5 Meter / 3 Meter), oder loggen Sie (3) Meter. Man konnte versuchen, eine logarithmische Identität anzuwenden, um Klotz (10) + Klotz (m) zu bekommen, der das Problem hervorhebt: Verwendung einer nichtalgebraischen Operation zu einer Dimension schafft sinnlose Ergebnisse.

Außergewöhnlicher Satz

Wenn ƒ (z) eine algebraische Funktion ist und α eine algebraische Zahl dann ist, wird ƒ (α) auch eine algebraische Zahl sein. Das gegenteilige ist nicht wahr: Es gibt kompletten ƒ der transzendenten Funktionen (z) solch, dass ƒ (α) eine algebraische Zahl für jeden algebraischen α ist. In vielen Beispielen, jedoch, ist der Satz von algebraischen Zahlen α, wo ƒ (α) algebraisch ist, ziemlich klein. Zum Beispiel, wenn ƒ die Exponentialfunktion, ƒ (z) = e ist, dann ist die einzige algebraische Zahl α, wo ƒ (α) auch algebraisch ist, α = 0, wo ƒ (α) = 1. Für eine gegebene transzendente Funktion wird dieser Satz von algebraischen Zahlen, die algebraische Ergebnisse geben, den außergewöhnlichen Satz der Funktion genannt, die der Satz ist

Wenn dieser Satz dann berechnet werden kann, kann er häufig führen läuft auf Überlegenheitstheorie hinaus. Zum Beispiel hat Lindemann 1882 bewiesen, dass der außergewöhnliche Satz der Exponentialfunktion gerade {0} ist. In besonderem exp (1) = ist e transzendental. Außerdem seitdem exp (iπ) = −1 ist algebraisch wir wissen, dass iπ nicht algebraisch sein kann. Da ich algebraisch bin, deutet das an, dass π eine transzendente Zahl ist.

Im Allgemeinen ist die Entdeckung des außergewöhnlichen Satzes einer Funktion ein schwieriges Problem, aber es ist für einige Funktionen berechnet worden:

• Hier ist j der j-invariant von Klein, H ist das obere Halbflugzeug, und [Q (α):Q] ist der Grad des numerischen Feldes Q (α). Dieses Ergebnis ist wegen Theodor Schneiders.
• Dieses Ergebnis ist eine Folgeerscheinung des Lehrsatzes von Gelfond-Schneider, der sagt, dass, wenn α algebraisch ist und nicht 0 oder 1, und wenn β algebraisch und dann α vernunftwidrig ist, transzendental ist. So konnte die Funktion 2 durch c für jeden algebraischen c ersetzt werden, der 0 oder 1 nicht gleich ist. Tatsächlich haben wir:
• Eine Folge der Vermutung von Schanuel in der Theorie der transzendenten Zahl würde das sein
• Eine Funktion mit dem leeren außergewöhnlichen Satz, der nicht verlangt, dass diese Vermutung annimmt, ist die Funktion (x) ƒ = exp (1 + πx).

Während das Rechnen des außergewöhnlichen Satzes für eine gegebene Funktion nicht leicht ist, ist es bekannt, dass gegeben jede Teilmenge der algebraischen Zahlen, sagen wir A, es einen ƒ der transzendenten Funktion gibt, dessen außergewöhnlicher Satz A ist. Seitdem, wie oben erwähnt, schließt das Einnahme ein, um der ganze Satz von algebraischen Zahlen zu sein, es gibt keine Weise zu bestimmen, ob eine Funktion gerade durch das Schauen auf seine Werte an algebraischen Zahlen transzendental ist. Tatsächlich hat Alex Wilkie gezeigt, dass die Situation noch schlechter ist: Er hat einen ƒ der transzendenten Funktion von R bis R gebaut, der überall analytisch ist, aber dessen Überlegenheit durch keine Methode der ersten Ordnung entdeckt werden kann.

Siehe auch

• Algebraische Funktion
• Analytische Funktion
• Komplizierte Funktion
• Verallgemeinerte Funktionen
• Spezielle Funktion