In der Mathematik, besonders in der Ordnungstheorie, ist ein maximales Element einer Teilmenge S eines teilweise bestellten Satzes ein Element von S, der nicht kleiner ist als jedes andere Element in S. Der Begriff minimales Element wird Doppel-definiert. Der Begriff eines maximalen Elements ist schwächer als dieses des größten Elements und kleinsten Elements (die auch, beziehungsweise, als Maximum und Minimum bekannt sind); tatsächlich kann ein teilweise bestellter Satz vielfache maximale und minimale Elemente haben, aber kann an meisten ein jedes Maximum und Minimum haben. Als ein Beispiel, in der Sammlung

: S =

bestellt durch die Eindämmung ist das Element {d, o} minimal, das Element {g, o, a, d} ist maximal, das Element {d, o, g} ist keiner, und das Element {o, a, f} ist sowohl minimal als auch maximal. Im Vergleich bestehen weder ein Maximum noch ein Minimum für S.

Definition

Lassen Sie, ein teilweise bestellter Satz zu sein, und. Dann ist ein maximales Element wenn

für alle, bezieht ein

Die Definition für minimale Elemente wird durch das Verwenden  statt  erhalten.

Existenz und Einzigartigkeit

Maximale Elemente brauchen nicht zu bestehen.

: Beispiel 1: Lassen Sie für alles, was wir haben, aber

: Beispiel 2: Lassen Sie und rufen Sie das zurück.

Im Allgemeinen ist nur eine teilweise Ordnung darauf. Wenn ein maximales Element ist, und es bleibt die Möglichkeit das weder noch. Das verlässt offen die Möglichkeit, dass es viele maximale Elemente gibt.

: Beispiel 3: Im Zaun

: Beispiel 4: Lassen Sie, ein Satz mit mindestens zwei Elementen zu sein und zu lassen, die Teilmenge des Macht-Satzes zu sein, der aus dem Singleton teilweise besteht, der dadurch bestellt ist. Das ist der getrennte poset - keine zwei Elemente sind vergleichbar - und so ist jedes Element maximal (und minimal), und für irgendwelchen weder noch.

Maximale Elemente und das größte Element

Es ist ähnlich sollte ein größtes Element oder Maximum sein, aber tatsächlich ist es nicht notwendigerweise der Fall: Die Definition des maximalen Elements ist etwas schwächer. Nehmen Sie an, dass wir mit, dann, durch die Definition des größten Elements, so dass finden. Mit anderen Worten ist ein Maximum, wenn es besteht, das (einzigartige) maximale Element.

Das gegenteilige ist nicht wahr: Es kann maximale Elemente geben trotz, dort kein Maximum zu sein. Beispiel 3 ist ein Beispiel der Existenz von vielen maximalen Elementen und keinem Maximum. Der Grund ist wieder, der im Allgemeinen nur eine teilweise Ordnung darauf ist. Wenn ein maximales Element ist, und es bleibt die Möglichkeit das weder noch.

Wenn es viele maximale Elemente gibt, sind sie in einigen Zusammenhängen genannt eine Grenze, als in der Grenze von Pareto.

Natürlich, wenn die Beschränkung dazu ein Gesamtbezug ist, fallen die Begriffe des maximalen Elements und größten Elements zusammen. Lassen Sie, ein maximales Element, für irgendwelchen zu sein, entweder oder. Im zweiten Fall verlangt die Definition des maximalen Elements, so schließen wir das. Mit anderen Worten, ist ein größtes Element.

Lassen Sie uns schließlich bemerken, dass völlig bestellt zu werden, genügend ist, um sicherzustellen, dass ein maximales Element ein größtes Element ist, aber es ist nicht notwendig.

Geleitete Sätze

In einem völlig bestellten Satz die Begriffe fallen maximales Element und größtes Element zusammen, der ist, warum beide Begriffe austauschbar in Feldern wie Analyse gebraucht werden, wo nur Gesamtbezüge betrachtet werden. Diese Beobachtung gilt für völlig bestellte Teilmengen keines poset, sondern auch zu ihrer Ordnung theoretische Generalisation über geleitete Sätze nur. In einem geleiteten Satz hat jedes Paar von Elementen (besonders Paare von unvergleichbaren Elementen) einen allgemeinen innerhalb des Satzes gebundenen oberen. Es ist leicht zu sehen, dass jedes maximale Element solch einer Teilmenge (unterschiedlich in einem poset) einzigartig sein wird. Außerdem wird dieses einzigartige maximale Element auch das größte Element sein.

Ähnliche Beschlüsse sind für minimale Elemente wahr.

Weiter wird einleitende Information im Artikel über die Ordnungstheorie gefunden.

Beispiele

• In der Pareto Leistungsfähigkeit ist optimaler Pareto ein maximales Element in Bezug auf die teilweise Ordnung der Verbesserung von Pareto, und der Satz von maximalen Elementen wird die Grenze von Pareto genannt.
• In der Entscheidungstheorie ist eine zulässige Entscheidungsregel ein maximales Element in Bezug auf die teilweise Ordnung der vorherrschenden Entscheidungsregel.
• In der modernen Mappe-Theorie wird der Satz von maximalen Elementen in Bezug auf die Produktordnung auf der Gefahr und Rückkehr die effiziente Grenze genannt.

Verbrauchertheorie

In der Volkswirtschaft kann man das Axiom der Antisymmetrie, mit Vorordnungen (allgemein ganze Vorordnungen) statt teilweiser Ordnungen entspannen; der dem maximalen Element analoge Begriff ist sehr ähnlich, aber verschiedene Fachsprache, wird wie ausführlich berichtet, unten verwendet.

In der Verbrauchertheorie ist der Verbrauchsraum ein Satz, gewöhnlich der positive orthant von einem Vektorraum, so dass jeder eine Menge des Verbrauchs vertritt, der für jede vorhandene Ware im angegeben ist

Wirtschaft. Einstellungen eines Verbrauchers werden gewöhnlich durch eine Gesamtvorordnung vertreten, so dass und liest: Wird höchstens als als bevorzugt. Wenn und es interpretiert wird, dass der Verbraucher dazwischen gleichgültig ist und aber kein Grund ist zu beschließen, dass, wie man nie annimmt, Vorzugsbeziehungen antisymmetrisch sind. In diesem Zusammenhang, für irgendwelchen, nennen wir ein maximales Element wenn

: bezieht ein

und es wird als ein Verbrauchsbündel interpretiert, das durch kein anderes Bündel im Sinn das beherrscht wird, das ist und nicht.

Es sollte bemerkt werden, dass die formelle Definition sehr viel der eines größten Elements für einen bestellten Satz ähnlich ist. Jedoch, wenn nur eine Vorordnung ist, benimmt sich ein Element mit dem Eigentum oben sehr viel wie ein maximales Element in einer Einrichtung. Zum Beispiel ist ein maximales Element dafür nicht einzigartig schließt die Möglichkeit nicht aus, dass (während und nicht einbeziehen, aber einfach Teilnahmslosigkeit). Der Begriff des größten Elements für eine Vorzugsvorordnung würde der der bevorzugtesten Wahl sein. D. h. einige mit

: bezieht ein

Eine offensichtliche Anwendung ist zur Definition der Nachfrageähnlichkeit. Lassen Sie, die Klasse von functionals darauf zu sein. Ein Element wird einen Preis funktionell oder Preissystem genannt und stellt jedes Verbrauchsbündel in seinen Marktwert kartografisch dar. Die preisgünstige Ähnlichkeit ist eine Ähnlichkeit, die jedes Preissystem und jedes Niveau des Einkommens in eine Teilmenge kartografisch darstellt

:

Die Nachfrageähnlichkeit stellt jeden Preis und jedes Niveau des Einkommens in den Satz - maximale Elemente dessen kartografisch dar.

: ist ein maximales Element dessen.

Es wird Nachfrageähnlichkeit genannt, weil die Theorie voraussagt, dass für und gegeben die vernünftige Wahl eines Verbrauchers ein Element sein wird.

Siehe auch

• Größtes Element
• Obere und niedrigere Grenzen
• Das Lemma von Zorn