In der Mengenlehre ist ein universaler Satz ein Satz, der alle Gegenstände, einschließlich sich enthält. In der Mengenlehre, wie gewöhnlich formuliert, führt die Vorstellung von einer Reihe aller Sätze zu einem Paradox. Der Grund dafür liegt mit dem Axiom von Zermelo des Verständnisses: Für jede Formel und Satz, dort besteht ein Satz

der genau jene Elemente enthält, von denen befriedigen, besteht. Wenn der universale Satz bestände und das Axiom der darauf angewandten Trennung, dann würde das Paradox von Russell aus entstehen

:.

Mehr allgemein für jeden Satz können wir das beweisen

ist nicht ein Element dessen.

Ein zweites Problem ist, dass der Macht-Satz des Satzes aller Sätze eine Teilmenge des Satzes aller Sätze sein würde, bestimmend, dass beide bestehen. Das kollidiert den Lehrsatz des Kantoren, den der Macht-Satz jedes Satzes (entweder unendlich oder nicht) immer ausschließlich höher cardinality hat als der Satz selbst.

Die Idee von einem universalen Satz scheint intuitiv wünschenswert in der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre besonders, weil die meisten Versionen dieser Theorie wirklich den Gebrauch von quantifiers über alle Sätze erlauben (sieh universalen quantifier). Das wird durch das Erlauben der sorgfältig umschriebenen Erwähnung und ähnlichen großen Sammlungen als richtige Klassen behandelt. In Theorien, in denen das Weltall eine richtige Klasse ist, ist nicht wahr, weil richtige Klassen Elemente nicht sein können.

Mengenlehren mit einem universalen Satz

Es gibt Mengenlehren, die bekannt sind zu entsprechen (wenn die übliche Mengenlehre entspricht), in dem der universale Satz wirklich besteht (und wahr ist). In diesen Theorien hält das Axiom von Zermelo der Trennung im Allgemeinen nicht, und das Axiom des Verständnisses der naiven Mengenlehre wird auf eine verschiedene Weise eingeschränkt.

Die am weitesten studierte Mengenlehre mit einem universalen Satz ist die Neuen Fundamente von Willard Van Orman Quine. Kirche von Alonzo und auch veröffentlichte Arbeit an solchen Mengenlehren. Kirche hat nachgesonnen, dass seine Theorie gewissermaßen im Einklang stehend mit Quine erweitert werden könnte, aber das ist für Oberschelp, seitdem darin nicht möglich, ist die Singleton-Funktion nachweisbar ein Satz, der sofort zum Paradox in Neuen Fundamenten führt.

Zermelo-Fraenkel Mengenlehre und verwandte Mengenlehren, die auf der Idee von der kumulativen Hierarchie basieren, berücksichtigen die Existenz eines universalen Satzes nicht.

Siehe auch

• Kategorie von Sätzen
• Wohl nichtbegründete Mengenlehre
• Das Paradox von Russell
• Weltall (Mathematik)

Bibliografie

• Kirche von Alonzo (1974). "Mengenlehre mit einem Universalen Satz," Verhandlungen des Symposiums von Tarski. Verhandlungen von Symposien in der Reinen Mathematik XXV, Hrsg. L. Henkin, amerikanischen Mathematischen Gesellschaft, Seiten 297-308.
• T. E. Forster (2001). "Die Mengenlehre der Kirche mit einem universalen Satz."
• Bibliografie: Mengenlehre mit einem Universalen Satz, der von T. E. Forster hervorgebracht ist und von Randall Holmes an der Boise Staatlichen Universität aufrechterhalten ist.
• Randall Holmes (1998). Elementare Mengenlehre mit einem Universalen Satz, Band 10 des Cahiers du Centre de Logique, der Akademie, Louvain-la-Neuve (Belgien).

• (1973). "Mengenlehre über Klassen," Dissertationes Mathematicae 106.
• Willard Van Orman Quine (1937) "Neue Fundamente für die Mathematische Logik," amerikanische Mathematische Monatliche 44, Seiten 70-80.