: In der mathematischen Logik ist das 'Weltall einer Struktur (oder Modell) sein Gebiet.

In der Mathematik, und besonders in der Mengenlehre und den Fundamenten der Mathematik ist ein Weltall eine Klasse, die (als Elemente) alle Entitäten enthält, die man in einer gegebenen Situation denken möchte. Es gibt mehrere Versionen dieser allgemeinen Idee, die in den folgenden Abteilungen beschrieben ist.

In einem spezifischen Zusammenhang

Vielleicht ist die einfachste Version, dass jeder Satz ein Weltall sein kann, so lange der Gegenstand der Studie auf der besonderer Satz beschränkt wird.

Wenn der Gegenstand der Studie durch die reellen Zahlen gebildet wird, dann konnte die echte Linie R, der der Satz der reellen Zahl ist, das Weltall unter der Rücksicht sein.

Implizit ist das das Weltall, das Georg Cantor verwendete, als er zuerst moderne naive Mengenlehre und cardinality in den 1870er Jahren und 1880er Jahren in Anwendungen auf die echte Analyse entwickelt hat.

Die einzigen Sätze, für die sich Kantor ursprünglich interessiert hat, waren Teilmengen von R.

Dieses Konzept eines Weltalls wird im Gebrauch von Venn-Diagrammen widerspiegelt.

In einem Venn-Diagramm findet die Handlung traditionell innerhalb eines großen Rechtecks statt, das das Weltall U vertritt.

Man sagt allgemein, dass Sätze durch Kreise vertreten werden; aber diese Sätze können nur Teilmengen von U sein.

Die Ergänzung eines Satzes A wird dann durch diesen Teil des Rechtecks außerhalb des Kreises von A gegeben.

Genau genommen ist das die Verhältnisergänzung U \von hinsichtlich U; aber in einem Zusammenhang, wo U das Weltall ist, kann er als die absolute Ergänzung A betrachtet werden.

Ähnlich gibt es einen Begriff der nullary Kreuzung, die die Kreuzung von Nullsätzen (Bedeutung keiner Sätze, nicht Nullmengen) ist.

Ohne ein Weltall würde die nullary Kreuzung der Satz von absolut allem sein, das allgemein als unmöglich betrachtet wird; aber mit dem Weltall im Sinn kann die nullary Kreuzung als der Satz von allem unter der Rücksicht behandelt werden, die einfach U ist.

Diese Vereinbarung ist in der algebraischen Annäherung an die grundlegende Mengenlehre ziemlich nützlich, die auf Gittern von Boolean gestützt ist.

Außer in einigen Sonderformen der axiomatischen Mengenlehre (wie Neue Fundamente) ist die Klasse aller Sätze nicht ein Gitter von Boolean (es ist nur ein relativ ergänzte Gitter).

Im Gegensatz ist die Klasse aller Teilmengen von U, genannt den Macht-Satz von U, ein Gitter von Boolean.

Die absolute Ergänzung, die oben beschrieben ist, ist die Ergänzungsoperation im Gitter von Boolean; und U, als die nullary Kreuzung, Aufschläge als das Spitzenelement (oder nullary treffen sich), im Gitter von Boolean.

Dann treffen sich die Gesetze von De Morgan, die sich mit Ergänzungen dessen befassen, und schließen sich an (die Vereinigungen in der Mengenlehre sind), gelten, und gelten sogar für den nullary treffen sich, und die nullary schließen sich an (der der leere Satz ist).

In der gewöhnlichen Mathematik

Jedoch, sobald Teilmengen eines gegebenen X untergehen (im Fall des Kantoren, X = R) werden betrachtet, das Weltall muss eventuell eine Reihe von Teilmengen X sein.

(Zum Beispiel ist eine Topologie auf X eine Reihe von Teilmengen X.)

Die verschiedenen Sätze von Teilmengen X werden nicht Teilmengen X selbst sein, aber werden stattdessen Teilmengen von PX, der Macht-Satz X sein.

Das kann fortgesetzt werden; der Gegenstand der Studie kann als nächstes aus solchen Sätzen von Teilmengen X, und so weiter bestehen, in welchem Fall das Weltall P (PX) sein wird.

In einer anderen Richtung, den binären Beziehungen auf X (können Teilmengen des Kartesianischen Produktes betrachtet werden, oder fungieren von X bis sich, Weltall wie oder X verlangend.

So, selbst wenn das primäre Interesse X ist, muss das Weltall eventuell beträchtlich größer sein als X.

Im Anschluss an die obengenannten Ideen kann man den Oberbau mehr als X als das Weltall wollen.

Das kann durch strukturellen recursion wie folgt definiert werden:

• Lassen Sie SX X selbst sein.
• Lassen Sie SX die Vereinigung X und PX sein.
• Lassen Sie SX die Vereinigung von SX und P (SX) sein.
• Lassen Sie im Allgemeinen SX die Vereinigung von SX und P (SX) sein.

Dann der Oberbau sind mehr als X, schriftlicher SX, die Vereinigung von SX, SX, SX und so weiter; oder

Bemerken Sie, dass, egal was gesetzt X der Startpunkt ist, der leere Satz {} SX gehören wird.

Der leere Satz ist der von Neumann Ordnungs-[0].

Dann {[0]} wird der Satz, dessen nur Element der leere Satz ist, SX gehören; das ist der von Neumann Ordnungs-[1].

Ähnlich {[1]} wird SX gehören, und so so wird {[0], [1]}, als die Vereinigung {[0]} und {[1]}; das ist der von Neumann Ordnungs-[2].

Diesen Prozess fortsetzend, wird jede natürliche Zahl im Oberbau von seinem Ordnungs-von Neumann vertreten.

Dann, wenn x und y dem Oberbau gehören, dann so tut, der das befohlene Paar (x, y) vertritt.

So wird der Oberbau die verschiedenen gewünschten Kartesianischen Produkte enthalten.

Dann enthält der Oberbau auch Funktionen und Beziehungen, da diese als Teilmengen von Kartesianischen Produkten vertreten werden können.

Der Prozess gibt auch bestellte N-Tupel, vertreten als Funktionen, deren Gebiet der von Neumann Ordnungs-[n] ist.

Und so weiter.

So, wenn der Startpunkt gerade X = {}, sehr viel der für die Mathematik erforderlichen Sätze ist, als Elemente des Oberbaus über {} zu erscheinen.

Aber jedes der Elemente von S {} wird begrenzte Sätze sein!

Jede der natürlichen Zahlen gehört ihm, aber der Satz N aller natürlichen Zahlen tut nicht (obwohl es eine Teilmenge von S {} ist).

Tatsächlich der Oberbau bestehen mehr als X aus allen hereditarily begrenzten Sätzen.

Als solcher kann es als das Weltall der finitist Mathematik betrachtet werden.

Anachronistisch sprechend, konnte man vorschlagen, dass das 19. Jahrhundert finitist Leopold Kronecker in diesem Weltall arbeitete; er hat geglaubt, dass jede natürliche Zahl bestanden hat, aber dass der Satz N (eine "vollendete Unendlichkeit") nicht getan hat.

Jedoch, S {} ist für gewöhnliche Mathematiker unbefriedigend (die nicht finitists sind), weil, wenn auch N als eine Teilmenge von S {} dennoch verfügbar sein kann, der Macht-Satz von N nicht ist.

Insbesondere willkürliche Sätze von reellen Zahlen sind nicht verfügbar.

So kann es notwendig sein, den Prozess noch einmal anzufangen und S (S {}) zu bilden.

Jedoch, um Dinge einfach zu halten, kann man den Satz N von natürlichen Zahlen, wie gegeben, nehmen und SN, den Oberbau über N bilden.

Das wird häufig als das Weltall der gewöhnlichen Mathematik betrachtet.

Die Idee besteht darin, dass sich die ganze Mathematik, die normalerweise studiert wird, auf Elemente dieses Weltalls bezieht.

Zum Beispiel gehört einige der üblichen Aufbauten der reellen Zahlen (sagen durch Kürzungen von Dedekind), SN.

Sogar umgangssprachliche Analyse kann im Oberbau über ein Sondermodell der natürlichen Zahlen getan werden.

Man sollte eine geringe Verschiebung in der Philosophie von der vorherigen Abteilung bemerken, wo das Weltall jeder Satz U von Interesse war.

Dort waren die Sätze, die studieren werden, Teilmengen des Weltalls; jetzt sind sie Mitglieder des Weltalls.

So, obwohl P (SX) ein Gitter von Boolean ist, was wichtig ist, ist, dass SX selbst nicht ist.

Folglich ist es selten, die Begriffe von Gittern von Boolean und Venn-Diagrammen direkt zum Oberbau-Weltall anzuwenden, wie sie zum Weltall des Macht-gesetzten der vorherigen Abteilung waren.

Statt dessen kann man mit dem individuellen Gitter-PAPA von Boolean arbeiten, wo A jeder relevante Satz ist, der SX gehört; dann ist PAPA eine Teilmenge von SX (und gehört tatsächlich SX). Im Fall des Kantoren X = R insbesondere sind willkürliche Sätze von reellen Zahlen nicht verfügbar, also dort kann es tatsächlich notwendig sein, den Prozess noch einmal anzufangen.

In der Mengenlehre

Es ist möglich, eine genaue Bedeutung dem Anspruch zu geben, dass SN das Weltall der gewöhnlichen Mathematik ist; es ist ein Modell der Mengenlehre von Zermelo, die axiomatische Mengenlehre, die ursprünglich von Ernst Zermelo 1908 entwickelt ist.

Mengenlehre von Zermelo war genau erfolgreich, weil es zur axiomatising "gewöhnlichen" Mathematik fähig war, das Programm erfüllend, das vom Kantoren mehr als 30 Jahre früher begonnen ist.

Aber Zermelo Mengenlehre hat sich ungenügend für die weitere Entwicklung der axiomatischen Mengenlehre und andere Arbeit in den Fundamenten der Mathematik, besonders vorbildlicher Theorie erwiesen.

Für ein dramatisches Beispiel kann die Beschreibung des Oberbau-Prozesses nicht oben in der Mengenlehre von Zermelo selbst ausgeführt werden!

Der Endschritt, sich S als eine infinitary Vereinigung formend, verlangt das Axiom des Ersatzes, der zur Mengenlehre von Zermelo 1922 hinzugefügt wurde, um Zermelo-Fraenkel Mengenlehre, den Satz von Axiomen am weitesten akzeptiert heute zu bilden.

So, während gewöhnliche Mathematik in SN getan werden kann, übertrifft die Diskussion von SN das "Übliche" in metamathematics.

Aber wenn Hochleistungsmengenlehre darin gebracht wird, offenbart der Oberbau-Prozess oben sich, um bloß der Anfang eines transfiniten recursion zu sein.

Zu X = {}, der leere Satz zurückgehend, und die (normale) Notation V für S {}, V = {}, V = P {} und so weiter wie zuvor einführend.

Aber was gepflegt hat, genannt zu werden, ist "Oberbau" jetzt gerade der folgende Artikel auf der Liste: V, wo ω die erste unendliche Ordinalzahl ist.

Das kann zu willkürlichen Ordinalzahlen erweitert werden:

definiert V für jede Ordinalzahl i.

Die Vereinigung von allen V ist das Weltall von von Neumann V:

:.

Bemerken Sie, dass jede Person V ein Satz ist, aber ihre Vereinigung V ist eine richtige Klasse.

Das Axiom des Fundaments, das zur ZF Mengenlehre um dieselbe Zeit wie das Axiom des Ersatzes hinzugefügt wurde, sagt, dass jeder Satz V gehört.

: Das constructible Weltall von Kurt Gödel L und das Axiom von constructibility

: Unzugängliche Kardinäle geben Modelle von ZF und manchmal zusätzlichen Axiomen nach, und sind zur Existenz des Weltall Satz von Grothendieck gleichwertig

In der Kategorie-Theorie

Es gibt eine andere Annäherung an das Weltall, die mit der Kategorie-Theorie historisch verbunden wird. Das ist die Idee von einem Weltall von Grothendieck. Grob sprechend, ist ein Weltall von Grothendieck ein Satz innen, der alle üblichen Operationen der Mengenlehre durchgeführt werden können. Zum Beispiel ist die Vereinigung irgendwelcher zwei Sätze in einem Weltall von Grothendieck U noch in U. Ähnlich sind Kreuzungen, nicht eingeordnete Paare, Macht-Sätze, und so weiter auch in U. Das ist der Idee von einem Oberbau oben ähnlich. Der Vorteil eines Weltalls von Grothendieck besteht darin, dass es wirklich ein Satz, und nie eine richtige Klasse ist. Der Nachteil ist, dass, wenn man hart genug versucht, man ein Weltall von Grothendieck verlassen kann.

Der grösste Teil der üblichen Anwendung eines Weltalls von Grothendieck U soll U als ein Ersatz für die Kategorie aller Sätze nehmen. Man sagt, dass ein Satz S U-small wenn S U und U-large sonst ist. Der Kategorie-U-Satz aller U-Small-Sätze hat als Gegenstände alle U-Small-Sätze und als morphisms alle Funktionen zwischen diesen Sätzen. Sowohl der Gegenstand-Satz als auch der Morphism-Satz ist Sätze, so wird es möglich, die Kategorie "aller" Sätze zu besprechen, ohne richtige Klassen anzurufen. Dann wird es möglich, andere Kategorien in Bezug auf diese neue Kategorie zu definieren. Zum Beispiel ist die Kategorie aller U-small Kategorien die Kategorie aller Kategorien, deren Gegenstand untergegangen ist, und dessen Morphism-Satz in U sind. Dann sind die üblichen Argumente der Mengenlehre auf die Kategorie aller Kategorien anwendbar, und man muss sich über die zufällige Unterhaltung über richtige Klassen nicht sorgen. Weil Grothendieck Weltall äußerst groß ist, genügt das in fast allen Anwendungen.

Häufig, wenn sie mit dem Weltall von Grothendieck arbeiten, nehmen Mathematiker das Axiom des Weltalls an: "Für jeden Satz x, dort besteht ein Weltall U solch dass x U." Der Punkt dieses Axioms ist, dass jeder Satz, auf den man stößt, dann U-small für einen U ist, so kann jedes in einem Weltall von General Grothendieck getane Argument angewandt werden. Dieses Axiom ist nah mit der Existenz von stark unzugänglichen Kardinälen verbunden.

: Einem Satz ähnlicher toposes

Siehe auch

• Weltall von Herbrand
• Freier Gegenstand

Links