Fundamente der Mathematik sind ein Begriff, der manchmal für bestimmte Felder der Mathematik, wie mathematische Logik, axiomatische Mengenlehre, Probetheorie, Mustertheorie, Typ-Theorie und recursion Theorie gebraucht ist. Die Suche nach Fundamenten der Mathematik ist auch eine Hauptfrage der Philosophie der Mathematik.

Philosophische Fundamente der Mathematik

Platonism

: "Platonists, wie Kurt Gödel (1906-1978), meinen, dass Zahlen, notwendigerweise vorhandene Gegenstände abstrakt, des Menschenverstandes" unabhängig

Die foundational Philosophie von Platonist mathematischer Realismus, wie veranschaulicht, durch den Mathematiker Kurt Gödel, schlägt die Existenz einer Welt von mathematischen von Menschen unabhängigen Gegenständen vor; die Wahrheiten über diese Gegenstände werden von Menschen entdeckt. In dieser Ansicht haben die Naturgesetze und die Gesetze der Mathematik einen ähnlichen Status, und die Wirksamkeit hört auf, unvernünftig zu sein. Nicht unsere Axiome, aber die sehr echte Welt von mathematischen Gegenständen bildet das Fundament. Die offensichtliche Frage ist dann: Wie greifen wir auf diese Welt zu?

Formalismus

Es ist gefordert worden, dass "Formalisten, wie David Hilbert (1862-1943), meinen, dass Mathematik nicht mehr oder weniger ist als mathematische Sprache. Es ist einfach eine Reihe von Spielen...". Tatsächlich hat er die Wörter "Formel-Spiel" seinen 1927 als Antwort auf die Kritiken von Brouwer verwendet:

: "Und dazu was hat das Formel-Spiel so möglich gewesen erfolgreich gemacht? Dieses Formel-Spiel ermöglicht uns, den kompletten Gedanke-Inhalt der Wissenschaft der Mathematik auf eine gleichförmige Weise auszudrücken und es auf solche Art und Weise zu entwickeln, dass dabei die Verbindungen zwischen den individuellen Vorschlägen und Tatsachen klar werden... Das Formel-Spiel, das Brouwer so missbilligt, hat außer seinem mathematischen Wert, einer wichtigen allgemeinen philosophischen Bedeutung. Für diese Formel wird Spiel gemäß bestimmten bestimmten Regeln ausgeführt, in denen die Technik unseres Denkens ausgedrückt wird. Diese Regeln bilden ein geschlossenes System, das entdeckt und endgültig festgesetzt werden kann.".

So besteht Hilbert darauf, dass Mathematik nicht ein willkürliches Spiel mit willkürlichen Regeln ist; eher muss es übereinstimmen, wie unser Denken, und dann unser Sprechen und das Schreiben, weitergeht: ".

: "Wir sprechen hier von der Eigenmächtigkeit in keinem Sinn. Mathematik ist keinem Spiel ähnlich, dessen Aufgaben durch willkürlich festgesetzte Regeln bestimmt werden. Eher ist es ein Begriffssystem, das innere Notwendigkeit besitzt, die nur so und keineswegs sonst sein kann".

Die foundational Philosophie des Formalismus, wie veranschaulicht, durch David Hilbert, ist eine Antwort auf die Paradoxe der Mengenlehre, und basiert auf der formalen Logik. Eigentlich können alle mathematischen Lehrsätze heute als Lehrsätze der Mengenlehre formuliert werden. Die Wahrheit einer mathematischen Behauptung, in dieser Ansicht, wird durch die Tatsache vertreten, dass die Behauptung aus den Axiomen der Mengenlehre mit den Regeln der formalen Logik abgeleitet werden kann.

Bloß erklärt der Gebrauch des Formalismus allein mehrere Probleme nicht: Warum wir die Axiome verwenden sollten, die wir tun und nicht einige andere, warum wir die logischen Regeln verwenden sollten, die wir tun und nicht einige andere, warum tun, scheinen "wahre" mathematische Behauptungen (z.B, die Gesetze der Arithmetik), und so weiter wahr zu sein. Hermann Weyl würde diese wirklichen Fragen von Hilbert stellen:

: "Welche "Wahrheit" oder Objektivität diesem theoretischen Aufbau der Welt zugeschrieben werden können, die weit außer dem gegebenen drückt, ist ein tiefes philosophisches Problem. Es wird mit der weiteren Frage nah verbunden: Was zwingt uns, als eine Basis genau das besondere von Hilbert entwickelte Axiom-System zu nehmen? Konsistenz ist tatsächlich ein notwendiger, aber nicht eine genügend Bedingung. Vorläufig können wir nicht wahrscheinlich auf diese Frage antworten...."

In einigen Fällen kann auf diese Fragen durch die Studie von formellen Theorien, in Disziplinen wie Rückmathematik und rechenbetonte Kompliziertheitstheorie genug geantwortet werden. Wie bemerkt, durch Weyl laufen Formelle logische Systeme auch die Gefahr der Widersprüchlichkeit; in der Arithmetik von Peano ist das bereits wohl mit mehreren Beweisen der Konsistenz gesetzt worden, aber es gibt zu Ende Debatte, ob sie genug finitary sind, um bedeutungsvoll zu sein. Der zweite Unvollständigkeitslehrsatz von Gödel stellt fest, dass logische Systeme der Arithmetik einen gültigen Beweis ihrer eigenen Konsistenz nie enthalten können. Was Hilbert hat tun wollen, war beweisen, dass ein logisches System S, gestützt auf Grundsätzen P entsprochen hat, der nur einen kleinen Teil von S zusammengesetzt hat. Aber Gödel hat bewiesen, dass die Grundsätze P P nicht sogar beweisen konnten, um ganz zu schweigen von S zu entsprechen!

Intuitionism

: "Intuitionists, wie L. E. J. Brouwer (1882-1966), meinen, dass Mathematik eine Entwicklung des Menschenverstandes ist. Zahlen, wie Märchen-Charaktere, sind bloß geistige Entitäten, die nicht bestehen würden, wenn es nie irgendwelche Menschenverstände gäbe, um an sie zu denken."

Die foundational Philosophie von intuitionism oder constructivism, wie veranschaulicht, im Extrem durch Brouwer und zusammenhängender durch Stephen Kleene, verlangt, dass Beweise in der Natur "konstruktiv" sind - die Existenz eines Gegenstands muss demonstriert aber nicht aus einer Demonstration der Unmöglichkeit seines Nichtseins abgeleitet werden. Zum Beispiel demzufolge dessen ist die Form des Beweises bekannt als reductio Anzeige absurdum Verdächtiger.

Einige moderne Theorien in der Philosophie der Mathematik bestreiten die Existenz von Fundamenten im ursprünglichen Sinn. Einige Theorien neigen dazu, sich auf mathematische Praxis zu konzentrieren und zum Ziel zu haben, das wirkliche Arbeiten von Mathematikern als eine soziale Gruppe zu beschreiben und zu analysieren. Andere versuchen, eine Erkenntnistheorie der Mathematik zu schaffen, sich auf menschliches Erkennen als der Ursprung der Zuverlässigkeit der Mathematik, wenn angewandt, auf die echte Welt konzentrierend. Diese Theorien würden vorhaben zu finden, dass Fundamente nur im Menschen gedacht haben, nicht in jedem Ziel außerhalb der Konstruktion. Die Sache bleibt umstritten.

Logicism

Logicism ist eine der Schulen des Gedankens in der Philosophie der Mathematik, hervor die Theorie stellend, dass Mathematik eine Erweiterung der Logik ist und deshalb einige oder die ganze Mathematik auf die Logik reduzierbar sind. Bertrand Russell und Alfred North Whitehead haben diese von Gottlob Frege gezeugte Theorie verfochten.

Projektive Geometrie

Eine der Fallen in einem deduktiven System ist das kreisförmige Denken, ein Problem, das geschienen ist, projektiver Geometrie widerzufahren, bis es von Karl von Staudt aufgelöst wurde. Wie erklärt, durch Laptev & Rosenfeld (1996):

:In die Mitte des neunzehnten Jahrhunderts dort war eine scharfe Meinungsverschiedenheit zwischen den Befürwortern von synthetischen und analytischen Methoden in der projektiven Geometrie, die zwei Seiten, die einander anklagen, projektive und metrische Konzepte zu mischen. Tatsächlich wurde das grundlegende Konzept, das in der synthetischen Präsentation der projektiven Geometrie, dem Quer-Verhältnis von vier Punkten einer Linie angewandt wird, durch die Rücksicht der Längen von Zwischenräumen eingeführt.

Die rein geometrische Annäherung von von Staudt hat auf dem ganzen Vierseit basiert, um die Beziehung der projektiven Harmonischen auszudrücken, paart sich. Dann hat er ein Mittel geschaffen, die vertrauten numerischen Eigenschaften mit seiner Algebra des Werfens auszudrücken. Englische Sprachversionen dieses Prozesses, die Eigenschaften eines Feldes abzuleiten, können entweder im Buch von Oswald Veblen und John Young, Projektiver Geometrie (1938), oder in mehr kürzlich in den Vier Säulen von John Stillwell der Geometrie (2005) gefunden werden. Stillwell schreibt auf der Seite 120

:... projektive Geometrie ist einfacher als Algebra im gewissen Sinne, weil wir nur fünf geometrische Axiome verwenden, um die neun Feldaxiome abzuleiten.

Die Algebra des Werfens wird als eine Eigenschaft von Quer-Verhältnissen allgemein gesehen, da sich Studenten normalerweise auf Zahlen ohne Sorge über ihre Basis verlassen. Jedoch verwenden Quer-Verhältnis-Berechnungen metrische Eigenschaften der Geometrie, von Puristen nicht zugelassene Eigenschaften. Zum Beispiel 1961 hat Coxeter Einführung in die Geometrie ohne Erwähnung des Quer-Verhältnisses geschrieben.

Krise von Foundational

Die foundational Krise der Mathematik (in Deutsch: Grundlagenkrise der Mathematik) war der Anfang des Begriffes des 20. Jahrhunderts für die Suche nach richtigen Fundamenten der Mathematik.

Nachdem mehrere Schulen der Philosophie der Mathematik in Schwierigkeiten nacheinander im 20. Jahrhundert geraten sind, hat die Annahme, dass Mathematik jedes Fundament hatte, das innerhalb der Mathematik selbst festgesetzt werden konnte, begonnen, schwer herausgefordert zu werden.

Ein Versuch nachdem, wie man fand, hat ein anderer, um unangreifbare Fundamente für die Mathematik zur Verfügung zu stellen, unter verschiedenen Paradoxen (wie das Paradox von Russell) gelitten und war inkonsequent: Eine unerwünschte Situation, in der jede mathematische Behauptung, die in einem vorgeschlagenen System formuliert werden kann (solcher als 2 + 2 = 5) auch im System bewiesen werden kann.

Verschiedene Schulen des Gedankens auf der richtigen Annäherung an die Fundamente der Mathematik setzten einander wild entgegen. Die Hauptschule war die der Formalist-Annäherung, deren David Hilbert der erste Befürworter war, darin kulminierend, was als das Programm von Hilbert bekannt ist, das sich vorgehabt, Mathematik auf einer kleinen Basis eines logischen Systems niederzulegen, gesund durch metamathematical finitistic Mittel erwiesen hat. Der Hauptgegner war die intuitionist Schule, die von L. E. J. Brouwer geführt ist, der entschlossen Formalismus als ein sinnloses Spiel mit Symbolen (van Dalen, 2008) verworfen hat. Der Kampf war scharf. 1920 hat Hilbert geschafft, Brouwer zu haben, den er als eine Drohung gegen die Mathematik gedacht hat, die vom Herausgeberausschuss von Mathematische Annalen, der mathematischen Hauptzeitschrift der Zeit entfernt ist.

Die Unvollständigkeitslehrsätze von Gödel, bewiesen 1931, haben gezeigt, dass wesentliche Aspekte des Programms von Hilbert nicht erreicht werden konnten. Im ersten Ergebnis von Gödel hat er gezeigt, wie man, für irgendwelchen genug mächtig und konsequent rekursiv axiomatizable System - solcher als notwendig für axiomatize die elementare Theorie der Arithmetik auf dem (unendlichen) Satz von natürlichen Zahlen - eine Behauptung baut, die, wie man zeigen kann, wahr ist, aber durch das System nicht nachweisbar ist. Es ist so klar geworden, dass der Begriff der mathematischen Wahrheit auf ein rein formelles System, wie vorgestellt, im Programm von Hilbert nicht reduziert werden kann. In einem folgenden Ergebnis hat Gödel gezeigt, dass solch ein System nicht stark genug war, um seine eigene Konsistenz, ganz zu schweigen davon zu beweisen, konnte ein einfacheres System den Job tun. Das hat sich ein Endschlag zum Herzen des Programms von Hilbert, die Hoffnung befasst, dass Konsistenz durch Finitistic-Mittel gegründet werden konnte (wurde es genau nie verständlich gemacht, welche Axiome die "finitistic" waren, aber was auch immer auf axiomatisches System verwiesen wurde, es war ein 'schwächeres' System als das System, dessen Konsistenz es hat beweisen sollen). Inzwischen hatte die intuitionistic Schule viele Anhänger unter Arbeitsmathematikern wegen Schwierigkeiten der konstruktiven Mathematik nicht angezogen.

Gewissermaßen ist die Krise nicht aufgelöst worden, aber ist verklungen: Die meisten Mathematiker entweder arbeiten von axiomatischen Systemen nicht, oder wenn sie tun, bezweifeln Sie die Konsistenz von ZFC, allgemein ihr bevorzugtes axiomatisches System nicht. Im grössten Teil der Mathematik, weil es geübt wird, haben die verschiedenen logischen Paradoxe nie eine Rolle irgendwie, und in jenen Zweigen gespielt, in denen sie tun (wie Logik), können sie vermieden werden. Zur Mitte des 20. Jahrhunderts hat es sich herausgestellt, dass Mengenlehre (ZFC oder sonst) als ein Fundament für einige der erscheinenden neuen Felder wie Homological-Algebra unzulänglich war, und Kategorie-Theorie als ein alternatives Fundament von Samuel Eilenberg und anderen vorgeschlagen wurde.

Siehe auch

• Brouwer-Hilbert Meinungsverschiedenheit
• Meinungsverschiedenheit über die Theorie des Kantoren
• Erkenntnistheorie
• Die Elemente von Euklid
• Lügner-Paradox
• Neue Fundamente
• Philosophie der Mathematik
• Principia Mathematica
• Quasiempirismus in der Mathematik
• Mathematischer Gedanke an Charles Peirce

Referenzen

• Fundamente des Kapitels 39 enthalten kurze Beschreibungen, für das 20. Jahrhundert, von Platonism (in Bezug auf Gödel), Formalismus (in Bezug auf Hilbert), und Intuitionism (in Bezug auf Brouwer).
• Avigad, Jeremy (2003) Zahlentheorie und elementare Arithmetik, Philosophia Mathematica Vol. 11, Seiten 257-284
• Vorabende, Howard (1990), Fundamente und Grundsätzliche Konzepte der Mathematik-Drittel-Ausgabe, Dover Publications, INC, Mineola NY, internationale Standardbuchnummer 0 486 69609 X (pbk). vgl §9.5-Philosophien der Mathematik (Seiten 266-271. Vorabende verzeichnen die drei mit kurzen durch eine kurze Einführung vorgesehenen Beschreibungen.
• Goodman, N.D. (1979), "Mathematik als eine Objektive Wissenschaft", in Tymoczko (Hrsg., 1986).
• Hirsch, W.D. (Hrsg., 1996), Die Philosophie der Mathematik, Presse der Universität Oxford, Oxfords, das Vereinigte Königreich.
• Hersh, R. (1979), "Einige Vorschläge, für die Philosophie der Mathematik", in (Tymoczko 1986) Wiederzubeleben.
• Hilbert, D. (1922), "Neubegründung der Mathematik. Erste Mitteilung", Hamburger Mathematische Seminarabhandlungen 1, 157-177. Übersetzt, "Das Neue Fundament der Mathematik. Der erste Bericht", in (Mancosu 1998).
• Katz, Robert (1964), axiomatische Analyse, D. C. Heath und Gesellschaft.

:In-Kapitel III Eine Kritik von Mathematic das Denken, §11. Die Paradoxe, Kleene bespricht Intuitionism und Formalismus eingehend. Während des Rests des Buches behandelt er, und vergleicht sich, sowohl Formalist (klassisch) als auch Logik von Intuitionist mit einer Betonung auf dem ersteren. Das außergewöhnliche Schreiben durch einen außergewöhnlichen Mathematiker.

• Laptev, B.L. & Bakkalaureus der philosophischen Fakultät Rozenfel'd (1996) Mathematik des 19. Jahrhunderts: Geometrie, Seite 40, Birkhäuser internationale Standardbuchnummer 3-7643-5048-2.
• Mancosu, P. (Hrsg., 1998), Von Hilbert bis Brouwer. Die Debatte über die Fundamente der Mathematik in den 1920er Jahren, Presse der Universität Oxford, Oxfords, das Vereinigte Königreich.
• Putnam, Hilary (1967), "Mathematik Ohne Fundamente", Zeitschrift der Philosophie 64/1, 5-22. Nachgedruckt, Seiten 168-184 in W.D. Hart (Hrsg., 1996).
• Putnam, Hilary (1975), "Was ist Mathematische Wahrheit?", in Tymoczko (Hrsg., 1986).
• Troelstra, A. S. (kein Datum, aber später als 1990), "Eine Geschichte von Constructivism im 20. Jahrhundert", http://staff.science.uva.nl/~anne/hhhist.pdf, Ein ausführlicher Überblick für Fachmänner: §1-Einführung, §2 Finitism & §2.2 Actualism, §3 Predicativism und Semi-Intuitionism, §4 Brouwerian Intuitionism, §5 Intuitionistic Logik und Arithmetik, §6 Intuitionistic Analyse und Stärkere Theorien, §7 Konstruktive Rekursive Mathematik, §8 der Constructivism des Bischofs, §9 Endbemerkungen. Etwa 80 Verweisungen.
• Tymoczko, T. (1986), "Fundamente", in Tymoczko (Hrsg., 1986) Herausfordernd.
• Tymoczko, T. (Hrsg., 1986), Neue Richtungen in der Philosophie der Mathematik, 1986. Verbesserte Auflage, 1998.
• van Dalen D. (2008), "Brouwer, Luitzen Egbertus Jan (1881-1966)", in Biografisch Woordenboek van Nederland. URL:http://www.inghist.nl/Onderzoek/Projecten/BWN/lemmata/bwn2/brouwerle [13-03-2008]
• Weyl, H. (1921), "sterben Über neue Grundlagenkrise der Mathematik", Mathematische Zeitschrift 10, 39-79. Übersetzt, "Auf der Neuen Foundational Krise der Mathematik", in (Mancosu 1998).
• Wilder, Raymond L. (1952), Einführung in die Fundamente von Mathematik, John Wiley und Söhnen, New York, New York

Links

• Was sind Fundamente der Mathematik?
• Logik und Mathematik
• Fundamente der Mathematik-Adressenliste