In der elementaren Algebra, das Quadrat vollendend, ist eine Technik, für ein quadratisches Polynom der Form umzuwandeln

:

zur Form

:

In diesem Zusammenhang, "unveränderlich" bedeutet nicht je nachdem x. Der Ausdruck innerhalb der Parenthese ist der Form (x − unveränderlich). So wandelt man Axt + bx + c zu um

:

und man muss h und k finden.

Vollendung des Quadrats wird in verwendet

• quadratische Gleichungen, lösend
• quadratische Funktionen, grafisch darstellend
• Integrale in der Rechnung, bewertend
• Entdeckung von Laplace verwandelt sich.

In der Mathematik, das Quadrat vollendend, wird als eine grundlegende algebraische Operation betrachtet, und wird häufig ohne Bemerkung in jeder Berechnung angewandt, die mit quadratischen Polynomen verbunden ist.

Übersicht

Hintergrund

Es gibt eine einfache Formel in der elementaren Algebra, für das Quadrat eines Binoms zu schätzen:

:

Zum Beispiel:

:

(x+3) ^2 \,&= \, x^2 + 6x + 9 && (p=3) \\[3pt]

(x-5) ^2 \,&= \, x^2 - 10x + 25\qquad && (p =-5).

\end {alignat }\

</Mathematik>

In jedem vollkommenen Quadrat ist die Nummer p immer Hälfte des Koeffizienten von x, und der unveränderliche Begriff ist p gleich.

Grundlegendes Beispiel

Denken Sie das folgende quadratische Polynom:

:

Das quadratisch ist nicht ein vollkommenes Quadrat, da 28 nicht das Quadrat 5 ist:

:

Jedoch ist es möglich, das Original quadratisch als die Summe dieses Quadrats und einer Konstante zu schreiben:

:

Das wird genannt, das Quadrat vollendend.

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Allgemeine Beschreibung

In Anbetracht jedes monic quadratischen

:

es ist möglich, ein Quadrat zu bilden, das dieselben ersten zwei Begriffe hat:

:

Dieses Quadrat unterscheidet sich vom Original quadratisch nur im Wert des unveränderlichen

Begriff. Deshalb können wir schreiben

:

wo k eine Konstante ist. Diese Operation ist als Vollendung des Quadrats bekannt.

Zum Beispiel::

x^2 + 6x + 11 \,&= \, (x+3) ^2 + 2 \\[3pt]

x^2 + 14x + 30 \,&= \, (x+7) ^2 - 19 \\[3pt]

x^2 - 2x + 7 \,&= \, (x-1) ^2 + 6.

\end {alignat }\</Mathematik>

Non-monic Fall

In Anbetracht eines quadratischen Polynoms der Form

:

es ist möglich, den Koeffizienten a auszuklammern, und dann das Quadrat für das resultierende monic Polynom zu vollenden.

Beispiel:

:

\begin {richten }\aus

3x^2 + 12x + 27 &= 3 (x^2+4x+9) \\

& {} = 3\left ((x+2) ^2 + 5\right) \\

& {} = 3 (x+2) ^2 + 15

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Das erlaubt uns, jedes quadratische Polynom in der Form zu schreiben

:

Formel

Das Ergebnis, das Quadrat zu vollenden, kann als eine Formel geschrieben werden. Für den allgemeinen Fall:

:

Spezifisch, wenn a=1:

:

Der Matrixfall sieht sehr ähnlich aus:

:

Beziehung zum Graphen

In der analytischen Geometrie ist der Graph jeder quadratischen Funktion eine Parabel im xy-plane. In Anbetracht eines quadratischen Polynoms der Form

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die Nummern h und k können als die Kartesianischen Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel interpretiert werden. D. h. h ist die X-Koordinate der Achse der Symmetrie, und k ist der minimale Wert (oder maximaler Wert, wenn &lt; 0) der quadratischen Funktion.

Mit anderen Worten, der Graph der Funktion &fnof; (x) = ist x eine Parabel, deren Scheitelpunkt am Ursprung (0, 0) ist. Deshalb, der Graph der Funktion &fnof; (x &minus; h) = (x &minus; h) ist eine Parabel ausgewechselt nach rechts durch h, dessen Scheitelpunkt an (h, 0), wie gezeigt, in der Spitzenzahl ist. Im Gegensatz, der Graph der Funktion &fnof; (x) + k = x + ist k eine Parabel ausgewechselt aufwärts durch k, dessen Scheitelpunkt an (0, k), wie gezeigt, in der Zentrum-Zahl ist. Das Kombinieren sowohl horizontale als auch vertikale Verschiebungen trägt &fnof; (x &minus; h) + k = (x &minus; h) + ist k eine Parabel ausgewechselt nach rechts durch h und aufwärts durch k, dessen Scheitelpunkt an (h, k), wie gezeigt, in der untersten Zahl ist.

Das Lösen quadratischer Gleichungen

Vollendung des Quadrats kann verwendet werden, um jede quadratische Gleichung zu lösen. Zum Beispiel:

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Der erste Schritt ist, das Quadrat zu vollenden:

:

Als nächstes lösen wir für den karierten Begriff:

:

Dann irgendein

:

und deshalb

:

Das kann auf jede quadratische Gleichung angewandt werden. Wenn der x einen Koeffizienten außer 1 hat, ist der erste Schritt, die Gleichung durch diesen Koeffizienten auszuteilen: Weil ein Beispiel den non-monic Fall unten sieht.

Vernunftwidrige und komplizierte Wurzeln

Verschieden von Methoden, die Factoring einschließen, wird die Gleichung, die nur zuverlässig ist, wenn die Wurzeln vernünftig sind, das Quadrat vollendend, die Wurzeln einer quadratischen Gleichung finden, selbst wenn jene Wurzeln vernunftwidrig oder kompliziert sind. Denken Sie zum Beispiel die Gleichung

:

Vollendung des Quadrats gibt

:so:Dann irgendein:

so

:

Auf der knapperen Sprache:

:

Gleichungen mit komplizierten Wurzeln können ebenso behandelt werden. Zum Beispiel:

:

x^2 + 4x + 5 \, = \, 0 \\[6pt]

(x+2) ^2 + 1 \, = \, 0 \\[6pt]

(x+2) ^2 \, = \,-1 \\[6pt]

x+2 \, = \, \pm i \\[6pt]

x\= \,-2 \pm i.

\end {ordnen }\

</Mathematik>

Non-monic Fall

Für eine Gleichung, die einen non-monic quadratischen einschließt, soll sich der erste Schritt zum Lösen von ihnen durch durch den Koeffizienten von x teilen. Zum Beispiel:

:

2x^2 + 7x + 6 \, = \, 0 \\[6pt]

x^2 + \tfrac {7} {2} x + 3 \, = \, 0 \\[6pt]

\left (x +\tfrac {7} {4 }\\Recht) ^2 - \tfrac {1} {16} \, = \, 0 \\[6pt]

\left (x +\tfrac {7} {4 }\\Recht) ^2 \, = \, \tfrac {1} {16} \\[6pt]

x +\tfrac {7} {4} = \tfrac {1} {4} \quad\text {oder }\\Viererkabel x +\tfrac {7} {4} =-\tfrac {1} {4} \\[6pt]

x =-\tfrac {3} {2} \quad\text {oder }\\Viererkabel x =-2.

\end {ordnen }\</Mathematik>

Andere Anwendungen

Integration

Vollendung des Quadrats kann verwendet werden, um jedes Integral der Form zu bewerten

:

das Verwenden der grundlegenden Integrale

:

\int\frac {dx} {x^2 + a^2} = \frac {1} {ein }\\arctan\left (\frac {x} {ein }\\Recht) +C. </math>

Denken Sie zum Beispiel den integrierten

:

Die Vollendung des Quadrats im Nenner gibt:

:

Das kann jetzt durch das Verwenden des Ersatzes bewertet werden

u = x + 3, der nachgibt

:

Komplexe Zahlen

Denken Sie den Ausdruck

:

wo z und b komplexe Zahlen, z sind, und b der Komplex sind, paart sich von z und b beziehungsweise, und c ist eine reelle Zahl. Mit der Identität |u = uu können wir das als umschreiben

:

der klar eine echte Menge ist. Das ist weil

:\begin {richten }\aus

|z-b |^2 & {} = (z-b) (z-b) ^* \\

& {} = (z-b) (z^*-b^ *) \\

& {} = zz^* - zb^* - bz^* + bb^* \\

& {} = |z |^2 - zb^* - bz^* + |b |^2.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Als ein anderes Beispiel, der Ausdruck

:

wo a, b, c, x, und y reelle Zahlen, mit &gt sind; 0 und b &gt; 0, kann in Bezug auf das Quadrat des absoluten Werts einer komplexen Zahl ausgedrückt werden. Definieren Sie

:

Dann

:\begin {richten }\aus

|z |^2 & {} = z z^* \\

& {} = (\sqrt {ein }\\, x + ich \sqrt {b }\\, y) (\sqrt {ein }\\, x - ich \sqrt {b }\\, y) \\

& {} = ax^2 - i\sqrt {ab }\\, xy + i\sqrt {ba }\\, yx - i^2by^2 \\

& {} = ax^2 + by^2,

\end {richten} </Mathematik> {aus}so:

Geometrische Perspektive

Denken Sie, das Quadrat für die Gleichung zu vollenden

:

Da x das Gebiet eines Quadrats mit der Seite der Länge x vertritt, und bx das Gebiet eines Rechtecks mit Seiten b und x vertritt, kann der Prozess, das Quadrat zu vollenden, als Sehmanipulation von Rechtecken angesehen werden.

Einfache Versuche, den x und die bx Rechtecke in ein größeres Quadrat zu verbinden, laufen auf eine fehlende Ecke hinaus. Der Begriff (b/2) hinzugefügt zu jeder Seite der obengenannten Gleichung ist genau das Gebiet der fehlenden Ecke, woher leitet die Fachsprache "Vollendung des Quadrats" ab. http://maze5.net/? page_id=467

Eine Schwankung auf der Technik

Wie herkömmlich unterrichtet, besteht das Vollenden des Quadrats daraus, den dritten Begriff, v zu hinzuzufügen

:

ein Quadrat zu bekommen. Es gibt auch Fälle, in denen den mittleren Begriff, entweder 2uv oder &minus;2uv zu hinzufügen kann

:

ein Quadrat zu bekommen.

Beispiel: die Summe einer positiven Zahl und seines Gegenstücks

Durch das Schreiben

:\begin {richten }\aus

x + {1 \over x} & {} = \left (x - 2 + {1 \over x }\\Recht) + 2 \\

& {} = \left (\sqrt {x} - {1 \over \sqrt {x} }\\Recht) ^2 + 2

\end {richten} </Mathematik> {aus}

wir zeigen, dass die Summe einer positiven Zahl x und seines Gegenstücks immer größer oder gleich 2 ist. Das Quadrat eines echten Ausdrucks ist immer größer oder gleich der Null, die das gebundene festgesetzte gibt; und hier erreichen wir 2 gerade, wenn x 1 ist, das Quadrat veranlassend, zu verschwinden.

Beispiel: Factoring ein einfaches quartic Polynom

Betrachten Sie das Problem des Factorings als das Polynom

:

Das ist

:

so ist der mittlere Begriff 2 (x) (18) = 36x. So bekommen wir

:

& {} = (x^2 + 18) ^2 - (6x) ^2 = \text {ein Unterschied von zwei Quadraten} \\

& {} = (x^2 + 18 + 6x) (x^2 + 18 - 6x) \\

& {} = (x^2 + 6x + 18) (x^2 - 6x + 18)

\end {richten} </Mathematik> {aus}

(die letzte Linie, die bloß wird hinzufügt, um der Tagung von abnehmenden Graden von Begriffen zu folgen).

• Algebra 1, Glencoe, internationale Standardbuchnummer 0-07-825083-8, Seiten 539-544
• Algebra 2, Sachse, internationale Standardbuchnummer 0 939798 62 X, Seiten 214-214, 241-242, 256-257, 398-401

Links