In der Mengenlehre, einem Zweig der Mathematik, ist ein Reihe-in-Reihe-ein großer grundsätzlicher λ, der eines der folgenden vier Axiome (allgemein bekannt als Reihe-in-Reihe-embeddings befriedigt, der in der Größenordnung von der zunehmenden Konsistenz-Kraft gegeben ist):

• Axiom I3: Es gibt ein nichttriviales elementares Einbetten V in sich.
• Axiom I2: Es gibt ein nichttriviales elementares Einbetten V in eine transitive Klasse M, die V einschließt, wo λ der erste feste Punkt über dem kritischen Punkt ist.
• Axiom I1: Es gibt ein nichttriviales elementares Einbetten V in sich.
• Axiom I0: Es gibt ein nichttriviales elementares Einbetten von L (V) in sich mit dem kritischen Punkt unter λ.

Das sind im Wesentlichen die stärksten bekannten großen grundsätzlichen Axiome, die nicht bekannt sind, in ZFC inkonsequent zu sein; das Axiom für Kardinäle von Reinhardt ist stärker, aber ist mit dem Axiom der Wahl nicht im Einklang stehend.

Wenn j das elementare in einem dieser Axiome erwähnte Einbetten ist und κ sein kritischer Punkt ist, dann ist λ die Grenze dessen, als n zu ω geht. Mehr allgemein, wenn das Axiom der Wahl hält, ist es dass nachweisbar, wenn es ein nichttriviales elementares Einbetten V in sich dann α gibt, ist entweder eine Grenze, die von cofinality ω oder der Nachfolger solch einer Ordnungszahl Ordnungs-ist.

Die Axiome, wie man zuerst verdächtigte, waren I1, I2 und I3 inkonsequent (in ZFC), wie es möglich gedacht wurde, dass der Widersprüchlichkeitslehrsatz von Kunen, dass Kardinäle von Reinhardt mit dem Axiom der Wahl inkonsequent sind, zu ihnen erweitert werden konnte, aber das ist noch nicht geschehen und, wie man jetzt gewöhnlich glaubt, entsprechen sie.

Jeder I0 grundsätzliche κ (hier vom kritischen Punkt von j sprechend), ist ein I1 Kardinal.

Jeder I1 grundsätzliche κ ist ein I2 Kardinal und hat einen stationären Satz von I2 Kardinälen darunter.

Jeder I2 grundsätzliche κ ist ein I3 Kardinal und hat einen stationären Satz von I3 Kardinälen darunter.

Jeder I3 grundsätzliche κ hat einen anderen I3 Kardinal darüber und ist ein n-huge Kardinal für jeden n (gleichwertig, H (λ)) befriedigt V=HOD nicht. Es gibt keinen Satz S λ definierbar in V (sogar von Rahmen V und Ordnungszahlen <) mit S cofinal in λ und |S |) (sogar von Rahmen in V). Jedoch allgemein, und sogar in V ist V=HOD mit dem Axiom I1 relativ im Einklang stehend.