Der Begriff figurate Zahl wird von verschiedenen Schriftstellern für Mitglieder von verschiedenen Sätzen von Zahlen gebraucht, von Dreieckszahlen bis verschiedene Gestalten (polygonale Zahlen) und verschiedene Dimensionen (polyedrische Zahlen) verallgemeinernd. Der Begriff kann bedeuten

• polygonale Zahl
• eine Zahl vertreten als ein getrenntes r-dimensional regelmäßiges geometrisches Muster von r-dimensional Bällen wie eine polygonale Zahl (für r = 2) oder eine polyedrische Zahl (für r = 3).
• ein Mitglied der Teilmenge der Sätze, oben nur Dreieckszahlen, pyramidale Zahlen und ihre Analoga in anderen Dimensionen zu enthalten.

Fachsprache

Einige Arten der figurate Zahl wurden in den 16. und 17. Jahrhunderten unter dem Namen "figural Zahl" besprochen.

In historischen Arbeiten über die griechische Mathematik hat der bevorzugte Begriff gepflegt, bemalte Zahl zu sein.

In einem Gebrauch, der zum Ars Conjectandi von Jakob Bernoulli zurückgeht, wird der Begriff figurate Zahl für Dreieckszahlen gebraucht, die aus aufeinander folgenden ganzen Zahlen, vierflächige Zahlen zusammengesetzt sind, die aus aufeinander folgenden Dreieckszahlen usw. zusammengesetzt sind. Diese erweisen sich, die binomischen Koeffizienten zu sein. In diesem Gebrauch würden die Quadratzahlen 4, 9, 16, 25 als figurate Zahlen, wenn angesehen, wie eingeordnet, in einem Quadrat nicht betrachtet.

Mehrere andere Quellen gebrauchen den Begriff figurate Zahl als synonymisch für die polygonalen Zahlen, entweder gerade die übliche Art oder sowohl diejenigen als auch die in den Mittelpunkt gestellten polygonalen Zahlen.

Geschichte

Wie man

sagt, ist die mathematische Studie von figurate Zahlen mit Pythagoras entstanden, der vielleicht auf babylonischen oder ägyptischen Vorgängern gestützt ist. Wenn man erzeugt, welch auch immer die Klasse von figurate Zahlen der Pythagoreer das Verwenden studiert hat, wird gnomons auch Pythagoras zugeschrieben. Leider gibt es keine vertrauenswürdige Quelle für diese Ansprüche, weil alle überlebenden Schriften über den Pythagoreer von einige Jahrhunderte später sind. Es scheint, sicher zu sein, dass die vierte Dreieckszahl von zehn Gegenständen, genannt tetractys in Griechisch, ein Hauptteil der Pythagoreischen Religion war, zusammen mit mehreren anderen Zahlen hat auch tetratcys genannt. Zahlen von Figurate waren eine Sorge der Pythagoreischen Geometrie.

Die moderne Studie von figurate Zahlen geht zu Fermat, spezifisch Fermat polygonaler Zahl-Lehrsatz zurück. Später ist es ein bedeutendes Thema für Euler geworden, der eine ausführliche Formel für alle Dreieckszahlen gegeben hat, die auch vollkommene Quadrate unter vielen anderen Entdeckungen in Zusammenhang mit figurate Zahlen sind.

Zahlen von Figurate haben eine bedeutende Rolle in der modernen Erholungsmathematik gespielt. In der Forschungsmathematik, figurate Zahlen werden über die Polynome von Ehrhart, Polynome studiert, die die Zahl von Punkten der ganzen Zahl in einem Vieleck oder Polyeder aufzählen, wenn es durch einen gegebenen Faktor ausgebreitet wird.

Dreieckszahlen

Die Dreieckszahlen für n = 1, 2, 3, sind... das Ergebnis der Nebeneinanderstellung der geradlinigen Zahlen (geradliniger gnomons) für n = 1, 2, 3...:

Das sind die binomischen Koeffizienten. Das ist r=2 der Tatsache der Fall, dass die rth Diagonale des Dreiecks des Pascal dafür aus den figurate Zahlen für die r-dimensional Analoga von Dreiecken (r-dimensional simplices) besteht.

Die simplicial Polythema-Zahlen für r = 1, 2, 3, 4, sind...:

• (geradlinige Zahlen),
• (Dreieckszahlen),
• (vierflächige Zahlen),
• (pentachoron Zahlen, pentatopic Zahlen, 4-Simplexe-Zahlen),
• (R-Thema-Zahlen, R-Simplexzahlen).

Die Begriffe Quadratzahl und Kubikzahl sind auf ihre geometrische Darstellung als ein Quadrat oder Würfel zurückzuführen. Der Unterschied von zwei positiven Dreieckszahlen ist eine trapezoide Zahl.

Gnomon

Der gnomon ist das zu einer figurate Zahl hinzugefügte Stück, um es ins folgende größere umzugestalten.

Zum Beispiel ist der gnomon der Quadratzahl die ungerade Zahl, von der allgemeinen Form 2n + 1, n = 0, 1, 2, 3.... Das Quadrat der Größe 8 zusammengesetzte von gnomons sieht wie das aus:

8 8 8 8 8 8 8 8

8 7 7 7 7 7 7 7

8 7 6 6 6 6 6 6

8 7 6 5 5 5 5 5

8 7 6 5 4 4 4 4

8 7 6 5 4 3 3 3

8 7 6 5 4 3 2 2

8 7 6 5 4 3 2 1

</Zentrum>

Um sich vom N-Quadrat (das Quadrat der Größe n) zu (n + 1) - Quadrat zu verwandeln, grenzt man 2n + 1 Elemente an: ein zum Ende jeder Reihe (n Elemente), ein zum Ende jeder Säule (n Elemente) und ein einzelner zur Ecke. Zum Beispiel, wenn wir den 7-Quadrate-in den 8-Quadrate-umgestalten, fügen wir 15 Elemente hinzu; diese adjunctions sind 8s in der obengenannten Zahl.

Diese gnomonic Technik stellt auch einen mathematischen Beweis zur Verfügung, dass die Summe der ersten n ungeraden Zahlen n ist; die Zahl illustriert 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 = 8.

Referenzen