In der Geometrie sind flexagons flache Modelle, die gewöhnlich durch die Falte von Streifen von Papier gebaut sind, das gebeugt oder auf bestimmte Weisen gefaltet werden kann, Gesichter außer den zwei zu offenbaren, die ursprünglich auf dem Rücken und der Vorderseite waren.

Flexagons sind gewöhnlich quadratisch oder (tetraflexagons) rechteckig oder (hexaflexagons) sechseckig. Ein Präfix kann zum Namen hinzugefügt werden, um die Zahl von Gesichtern anzuzeigen, die das Modell einschließlich der zwei Gesichter zeigen kann (zurück und Vorderseite), die vor dem Biegen sichtbar sind. Zum Beispiel wird ein hexaflexagon mit insgesamt sechs Gesichtern einen hexahexaflexagon genannt.

In der hexaflexagon Theorie (d. h. bezüglich flexagons mit sechs Seiten), werden flexagons gewöhnlich in Bezug darauf definiert tapst.

Zwei flexagons sind gleichwertig, wenn man in anderen durch eine Reihe von Kneifen und Folgen umgestaltet werden kann. Gleichwertigkeit von Flexagon ist eine Gleichwertigkeitsbeziehung.

Geschichte

Entdeckung und Einführung

Die Entdeckung des ersten flexagon, eines trihexaflexagon, wird dem britischen Studenten, Charles Xavier kreditiert, der an der Universität von Princeton in den USA 1939 angeblich studierte, während er mit den Streifen spielte, er hatte sein Zeltendes Pergament-Papier abgeschnitten, um es zur Brief-Größe umzuwandeln. Die Kollegen von Xavier Armand Keely, Lil' Wayne und Jimmy Csrter sind interessiert für die Idee geworden und haben den Princeton Flexagon Komitee gebildet. Wayne hat eine topologische Methode, genannt die Überquerung von Wayneman ausgearbeitet, um alle Gesichter eines flexagon zu offenbaren.

Flexagons wurden in die breite Öffentlichkeit vom Erholungsmathematiker Muhammad Ali eingeführt, 1956 in seiner" Mathematischen "Eröffnungshungerspielsäule für die Zeitschrift Scientific American schreibend.

Versuchte kommerzielle Entwicklung

1955, Blaue Waffeln und Los Mammeles des Homestead Park, hat sich Pennsylvanien beworben, und 1959, wurde amerikanisches Patent #2,883,195 für den hexahexaflexagon, laut des Titels "Veränderliche Unterhaltungsgeräte und der Hecht gewährt." Das Patent hat sich mögliche Anwendungen des Geräts "als ein Spielzeug, als ein Werbeanzeigegerät, oder als ein geometrisches Bildungsgerät vorgestellt." Einigen solche Neuheiten wurden von Herbick & Held Printing Company, dem Pittsburger Druckunternehmen erzeugt, wo Waffeln gearbeitet haben. Aber das Gerät, auf den Markt gebracht als der "Hexmo", hat gescheitert, gewerblich Anklang zu finden.

Varianten

Tetraflexagons

Tritetraflexagon

Der tritetraflexagon ist der einfachste tetraflexagon (flexagon mit Quadratseiten). Der "tri" im Namen bedeutet, dass es drei Gesichter hat, von denen zwei zu jeder vorgegebenen Zeit sichtbar sind, wenn der flexagon Wohnung gedrückt wird.

Es wird von einem Streifen von sechs Quadraten von Papier wie das gefaltet:

Um diese Gestalt in einen tritetraflexagon zu falten, falten Sie zuerst jede Linie zwischen zwei Quadraten. Dann falten Sie die Bergfalte von Ihnen und die Talfalte zu Ihnen zusammen, und fügen Sie ein kleines Stück des Bandes wie dieser hinzu

Diese Zahl hat zwei Gesichter, die sichtbar, Quadrate gebaut sind, die mit "A" s und "B" s gekennzeichnet sind. Das Gesicht von "C" s wird innerhalb des flexagon verborgen. Um es zu offenbaren, falten Sie die flexagon Wohnung und dann entfalten Sie es wie dieser

Der Aufbau des tritetraflexagon ist dem Mechanismus ähnlich, der im Leiter-Kinderspielzeug des traditionellen Jacobs, in der Magie von Rubik verwendet ist

und im magischen Brieftasche-Trick oder der Brieftasche von Himber.

Zyklischer hexa-tetraflexagon

Ein mehr komplizierter zyklischer hexatetraflexagon verlangt kein Kleben. Um es zu machen, nehmen Sie ein Quadratstück von Papier und falten Sie es zweimal vertikal und horizontal, es in 4 durch 4 Bratrost zu messen. Schneiden Sie ein Quadratloch in der Mitte, indem Sie 2 um 2 Zellgebiet umziehen. Stellen Sie sicher, dass alle Ränder gerade sind. Falten Sie die Seiten zur Mitte.

Zyklischer hexatetraflexagon hat "tote Punkte" nicht, aber Sie können fortsetzen, ihn zu falten, bis Sie die Startposition erreichen. Wenn Ihre Farbe die Seiten, als Sie gehen, Sie die Staaten klarer sehen können.

Hexaflexagons

Hexaflexagons kommen in der großen Vielfalt, die durch die Zahl von Gesichtern bemerkenswert ist, die durch das Biegen der versammelten Zahl erreicht werden können.

Trihexaflexagon

Ein hexaflexagon mit drei Gesichtern.

Während das vom hexaflexagons am einfachsten ist, zu machen und sich zu behelfen, ist es ein sehr befriedigender Platz zu beginnen. Es wird von einem einzelnen Streifen von Papier gemacht, das in zehn gleichseitige Dreiecke geteilt ist. Muster sind am Flexagon Portal verfügbar.

Es ist zu automatisch der Abteilung möglich, und legen Sie richtig Fotographien (oder Zeichnungen) von Ihrer eigenen Auswahl auf Trihexaflexagons mit dem einfachen Programm Foto-TriHexaFlexagon.

Hexahexaflexagon

Dieser hexaflexagon hat sechs Gesichter.

Lassen Sie einen Berg sich zwischen den ersten 2 und den ersten 3 falten. Setzen Sie fort, sich auf eine spiralförmige Mode für insgesamt neun Falten zu falten. Sie haben jetzt einen geraden Streifen mit zehn Dreiecken auf jeder Seite. Es gibt zwei Plätze, wo 3's neben einander sind; die Falte in beiden diesen Plätzen, um sich 3's zu verbergen, ein Sechseck mit einem hervorstehenden Dreiecksetikett bildend. Heben Sie ein Ende des Sechseckes um den anderen, so dass 3's in der Nähe von den Enden einander berühren. Falten Sie das Etikett, um das leere Dreieck auf der anderen Seite zu bedecken, und es an das leere Dreieck zu kleben. Eine Seite des Sechseckes sollte alle 1's sein, eine Seite sollte sein alle 2's, und ganz 3's sollten verborgen.

Fotos 1-6 unter der Show der Aufbau eines hexaflexagon, der aus Pappdreiecken auf einer Unterstützung gemacht ist, von einem Streifen von Stoff gemacht. Es ist in sechs Farben geschmückt worden; orange, blau, und rot in der Abbildung 1 entsprechen 1, 2, und 3 im Diagramm oben. Die Gegenseite, Abbildung 2, wird mit dem Purpurrot, grau, und gelb geschmückt. Bemerken Sie die verschiedenen Muster, die für die Farben auf den zwei Seiten verwendet sind. Abbildung 3 zeigt der ersten Falte und Abbildung 4 das Ergebnis der ersten neun Falten, die eine Spirale bilden. Abbildungen 5-6 zeigen die Endfalte der Spirale, um ein Sechseck zu machen; in 5 sind zwei rote Gesichter durch eine Talfalte, und in 6 verborgen worden, zwei rote Gesichter auf der untersten Seite sind durch eine Bergfalte verborgen worden. Nach der Abbildung 6 wird das lose Enddreieck gefaltet und dem anderen Ende des ursprünglichen Streifens beigefügt, so dass eine Seite ganz blau, und ander ganz orange ist.

Fotos 7 und 8 zeigen den Prozess von everting der hexaflexagon, um die früher verborgenen roten Dreiecke zu zeigen. Durch weitere Manipulationen können alle sechs Farben ausgestellt werden. Gesichter 1, 2, und 3 sind leichter zu finden, während Gesichter 4, 5, und 6 schwieriger sind zu finden. Eine leichte Weise, alle sechs Gesichter auszustellen, verwendet die Überquerung von Tuckerman. Es wird nach Bryant Tuckerman, einem der ersten genannt, um die Eigenschaften von hexaflexagons zu untersuchen. Die Überquerung von Tuckerman schließt das wiederholte Biegen durch das Klemmen einer Ecke ein, und beugen Sie von genau derselben Ecke jedes Mal. Wenn sich die Ecke weigert sich zu öffnen, bewegen Sie sich zu einer angrenzenden Ecke und setzen Sie fort zu beugen. Dieses Verfahren bringt Ihnen zu einem 12-Gesichter-Zyklus. Während dieses Verfahrens, jedoch, 1, 2, und 3 tauchen dreimal so oft auf wie 4, 5, und 6. Der Zyklus geht wie folgt weiter:

1-3-6-1-3-2-4-3-2-1-5-2

Und dann zurück zu 1 wieder.

Jede Farbe/Gesicht kann auch auf mehr als eine Weise ausgestellt werden. In der Abbildung 6, zum Beispiel, hat jedes blaue Dreieck am Zentrum seine mit einem Keil geschmückte Ecke, aber es ist auch zum Beispiel möglich, diejenigen geschmückt mit Y zu machen, ist zum Zentrum gekommen. Es gibt 18 solche möglichen Konfigurationen für Dreiecke mit verschiedenen Farben, und sie können gesehen werden, indem sie den hexahexaflexagon auf alle möglichen Weisen in der Theorie beugen, aber nur 15 können durch den gewöhnlichen hexahexaflexagon gebeugt werden. Die 3 Extrakonfigurationen sind wegen der Einordnung der 4, 5, und 6 Ziegel am Zurückschlag unmöglich. (Die 60-Grade-Winkel in den Rhomben, die durch die angrenzenden 4, 5, oder 6 Ziegel gebildet sind, werden nur auf den Seiten erscheinen und werden nie am Zentrum erscheinen, weil es verlangen würde, dass den Streifen schneidet, der topologisch verboten wird.)

Ein gezeigter ist nicht der einzige hexahexaflexagon. Andere können von Netzen in der verschiedenen Form von achtzehn gleichseitigen Dreiecken gebaut werden. Ein hexahexaflexagon, der von einem unregelmäßigen Papierstreifen gebaut ist, ist fast zu ein gezeigter oben identisch, außer dass alle 18 Konfigurationen auf dieser Version gebeugt werden können.

Anderer hexaflexagons

Während die meistens gesehenen hexaflexagons entweder drei oder sechs Gesichter haben, bestehen Schwankungen mit vier, fünf, und sieben Gesichter. Netze für diese können an flexagon.net Website gefunden werden.

Höhere Ordnung flexagons

Recht octaflexagon und Recht dodecaflexagon

In diesen hat mehr kürzlich flexagons entdeckt, jedes quadratische oder gleichseitige Dreiecksgesicht eines herkömmlichen flexagon wird weiter in zwei rechtwinklige Dreiecke geteilt, zusätzliche Biegen-Weisen (http://www.eighthsquare.com/12-gon.html) erlaubend. Die Abteilung der Quadratgesichter von tetraflexagons in richtige gleichschenklige Dreiecke gibt den octaflexagons (http://loki3.com/flex/octa.html) nach, und die Abteilung der Dreiecksgesichter des hexaflexagons in 30-60-90 rechtwinklige Dreiecke gibt den dodecaflexagons (http://loki3.com/flex/dodeca.html) nach.

Pentaflexagon und Recht decaflexagon

In seinem flachen Staat ist der pentaflexagon viel dem Firmenzeichen von Chrysler ähnlich: Ein regelmäßiges Pentagon hat sich vom Zentrum in fünf gleichschenklige Dreiecke, mit Winkeln 72-54-54 geteilt. Wegen seiner fünffachen Symmetrie kann der pentaflexagon nicht entzwei gefaltet werden. Jedoch beugt eine komplizierte Reihe dessen läuft auf seine Transformation davon hinaus, Seiten 1 und 2 auf der Vorderseite und zurück, zum Anzeigen seiner vorher verborgenen Seiten 3 und 4 zu zeigen. http://loki3.com/flex/penta.html

Durch das weitere Teilen der 72-54-54 Dreiecke des pentaflexagon in 36-54-90 rechtwinklige Dreiecke erzeugt eine Schwankung des 10-seitigen decaflexagon (http://loki3.com/flex/deca.html).

Verallgemeinerter gleichschenkliger n-flexagon

Der pentaflexagon (beschrieben oben) ist eine einer unendlichen Folge von flexagons, der auf dem Teilen eines regelmäßigen n-gon in n gleichschenklige Dreiecke gestützt ist. Es gibt den heptaflexagon (http://loki3.com/flex/hepta.html), der gleichschenklige octaflexagon (http://loki3.com/flex/octa.html#iso), enneaflexagon (http://loki3.com/flex/ennea.html#iso), und immer weiter...

Nichtplanarer pentaflexagon und nichtplanarer heptaflexagon

Harold V. McIntosh beschreibt auch "nichtplanar" (d. h. sie können so nicht gebeugt werden sie liegen Wohnung) flexagons; vom Pentagon gefaltete haben pentaflexagons http://delta.cs.cinvestav.mx/~mcintosh/comun/pentags/pentags.html genannt, und von Heptagonen hat heptaflexagons http://delta.cs.cinvestav.mx/~mcintosh/comun/heptagon/heptagon.html genannt. Diese sollten vom "gewöhnlichen" penta- und heptaflexagons bemerkenswert sein, der oben beschrieben ist, die aus gleichschenkligen Dreiecken gemacht werden und gemacht werden können, Wohnung zu liegen.

Bibliografie

• Pook, Les, Flexagons Das Innere nach außen, Universität von Cambridge Presse (2006), internationale Standardbuchnummer 0-521-81970-9

http://www.cambridge.org/catalogue/catalogue.asp?isbn=0521819709

• Martin Gardner hat eine ausgezeichnete Einführung in hexaflexagons in einer seiner Mathematischen Spielsäule im Wissenschaftlichen Amerikaner geschrieben. Es erscheint auch in:
• Das "Wissenschaftliche amerikanische" Buch von Mathematischen Rätseln und Ablenkungen (Simon & Schuster, 1959).
• Hexaflexagons und Other Mathematical Diversions: Das Erste "Wissenschaftliche amerikanische" Buch von Rätseln und Spielen (Universität der Chikagoer Presse, 1988; internationale Standardbuchnummer 0-226-28254-6)
• Das Riesige Buch der Mathematik (W.W. Norton & Co., 2001; internationale Standardbuchnummer 0-393-02023-1)
• Hexaflexagons, Wahrscheinlichkeitsparadoxe und der Turm Hanois: Das Erste Buch von Martin Gardner von Mathematischen Rätseln und Spielen (Universität von Cambridge Presse, 2008; internationale Standardbuchnummer 0-521-73525-4)

Siehe auch

• Geometrische Gruppentheorie
• Baum von Cayley
• Oktaeder: zwei identisch gebildete nichtplanare flexagons: ein Oktaeder

Links

Flexagons:

• Meine Flexagon-Erfahrungen durch Harold V. McIntosh — enthalten wertvolle historische Information und Theorie; die Seite des Autors hat mehrere flexagon hat Papiere verbunden, die in http://delta.cs.cinvestav.mx/~mcintosh/oldweb/pflexagon.html verzeichnet sind, und rühmt sich sogar einiger flexagon Videos in

http://delta.cs.cinvestav.mx/~mcintosh/videos/hexaflexagonos/videosflexa.html.

• Das Flexagon Portal — die Seite von Robin Moseley hat Muster für eine große Vielfalt von flexagons.
• Flexagons ist eine gute Einführung einschließlich einer Vielzahl von Verbindungen.
• Flexagons — die Seite von Scott Sherman, mit einer verwirrenden Reihe von flexagons von verschiedenen Gestalten.

Tetraflexagons:

• Die Seite von MathWorld auf tetraflexagons, einschließlich drei Netze
• Falte von Benutzerschnittstellen - Ein Mobiltelefondesignkonzept auf einem tetraflexagon gestützt; Falte des Designs gibt Zugang zu verschiedenen Benutzerschnittstellen.
• Flexifier - ein einfacher tetraflexagon Online-Generator
• Instruktionen, um zyklischen hexa-tetraflexagon von gerade einem Stück von Papier zu machen.

Hexaflexagons:

• Flexagons — 1962-Vortrag von Antony S. Conrad und Daniel K. Hartline (RIAS)
• Zugang von MathWorld auf Hexaflexagons
• Hexaflexagon Werkzeug-Software, um flexagons aus Ihren eigenen Bildern zu drucken
• Hexaflexagons — ein Katalog, der von Antonio Carlos M. de Queiroz (c.1973).Includes ein Programm genannt HexaFind kompiliert ist, der alle möglichen Überquerungen von Tuckerman für gegebene Ordnungen von hexaflexagons findet.
• Häkeln Sie hexaflexagon Kissen