In der Theorie von abelian Gruppen ist die Verdrehungsuntergruppe einer abelian Gruppe A die Untergruppe von A, der aus allen Elementen besteht, die begrenzte Ordnung haben. Eine abelian Gruppe A wird eine Verdrehung (oder periodisch) Gruppe genannt, wenn jedes Element von A begrenzte Ordnung hat und ohne Verdrehungen genannt wird, wenn jedes Element außer der Identität der unendlichen Ordnung ist.

Der Beweis, dass A unter der Hinzufügung geschlossen wird, verlässt sich auf den commutativity der Hinzufügung (sieh Beispiel-Abteilung).

Wenn A abelian ist, dann ist die Verdrehungsuntergruppe T eine völlig charakteristische Untergruppe von A und der Faktor-Gruppe A/T ist ohne Verdrehungen. Es gibt einen kovarianten functor von der Kategorie von abelian Gruppen zur Kategorie von Verdrehungsgruppen, die jede Gruppe an seine Verdrehungsuntergruppe und jeden Homomorphismus zu seiner Beschränkung zur Verdrehungsuntergruppe sendet. Es gibt einen anderen kovarianten functor von der Kategorie von abelian Gruppen zur Kategorie von Gruppen ohne Verdrehungen, die jede Gruppe an seinen Quotienten durch seine Verdrehungsuntergruppe sendet, und jeden Homomorphismus an den offensichtlichen veranlassten Homomorphismus sendet (der, wie man leicht sieht, bestimmt ist).

Wenn A begrenzt erzeugt wird und abelian, dann kann es als die direkte Summe seiner Verdrehungsuntergruppe T und einer Untergruppe ohne Verdrehungen geschrieben werden (aber das ist für alle nicht wahr ungeheuer hat abelian Gruppen erzeugt). In jeder Zergliederung als eine direkte Summe einer Verdrehungsuntergruppe muss S und einer Untergruppe ohne Verdrehungen, S T gleichkommen (aber die Untergruppe ohne Verdrehungen wird nicht einzigartig bestimmt). Das ist ein Schlüsselschritt in der Klassifikation begrenzt erzeugter abelian Gruppen.

P-Macht-Verdrehungsuntergruppen

Für jede abelian Gruppe und jede Primzahl p der Satz Elemente, die haben, befehlen, dass eine Macht von p eine Untergruppe genannt die P-Macht-Verdrehungsuntergruppe oder, loser, die P-Verdrehungsuntergruppe ist:

Die Verdrehungsuntergruppe A ist zur direkten Summe seiner P-Macht-Verdrehungsuntergruppen über alle Primzahlen p isomorph:

Wenn A eine begrenzte abelian Gruppe ist, fällt A mit der einzigartigen P-Untergruppe von Sylow von A zusammen.

Jede P-Macht-Verdrehungsuntergruppe von A ist eine völlig charakteristische Untergruppe. Stärker sendet jeder Homomorphismus zwischen abelian Gruppen jede P-Macht-Verdrehungsuntergruppe in die entsprechende P-Macht-Verdrehungsuntergruppe.

Für jede Primzahl p stellt das einen functor von der Kategorie von abelian Gruppen zur Kategorie von P-Macht-Verdrehungsgruppen zur Verfügung, die jede Gruppe an seine P-Macht-Verdrehungsuntergruppe sendet, und jeden Homomorphismus auf die P-Verdrehungsuntergruppen einschränkt. Das Produkt über den Satz aller Primzahlen der Beschränkung dieser functors zur Kategorie von Verdrehungsgruppen, ist ein treuer functor von der Kategorie von Verdrehungsgruppen zum Produkt über alle Primzahlen der Kategorien von P-Verdrehungsgruppen. Gewissermaßen bedeutet das, dass das Studieren von P-Verdrehungsgruppen in der Isolierung uns alles über Verdrehungsgruppen im Allgemeinen erzählt.

Beispiele und weitere Ergebnisse

• Die Verdrehungsteilmenge einer non-abelian Gruppe ist nicht, im Allgemeinen, eine Untergruppe. Zum Beispiel, in der unendlichen zweiflächigen Gruppe, die Präsentation hat:

:

:the-Element xy ist ein Produkt von zwei Verdrehungselementen, aber hat unendliche Ordnung.

• Die Verdrehungselemente in einer nilpotent Gruppe bilden eine normale Untergruppe.
• Offensichtlich ist jede begrenzte abelian Gruppe eine Verdrehungsgruppe. Nicht jede Verdrehungsgruppe ist jedoch begrenzt: Denken Sie die direkte Summe einer zählbaren Zahl von Kopien der zyklischen Gruppe C; das ist eine Verdrehungsgruppe, da jedes Element Auftrag 2 hat. Noch Bedürfnis, dort ein oberer sein, hat zu den Ordnungen von Elementen in einer Verdrehungsgruppe gebunden, wenn es, als das Beispiel der Faktor-Gruppe Q/Z Shows nicht begrenzt erzeugt wird.
• Jede freie abelian Gruppe ist ohne Verdrehungen, aber das gegenteilige ist nicht wahr, wie von der zusätzlichen Gruppe der rationalen Zahlen Q gezeigt wird.
• Selbst wenn A nicht begrenzt erzeugt wird, wird die Größe seines Teils ohne Verdrehungen einzigartig bestimmt, wie ausführlicher im Artikel über die Reihe einer abelian Gruppe erklärt wird.
• Eine abelian Gruppe A ist ohne Verdrehungen, wenn, und nur wenn es als ein Z-Modul flach ist, was bedeutet, dass, wann auch immer C eine Untergruppe von einer abelian Gruppe B dann ist, die natürliche Karte vom Tensor-Produkt C  zu B  A injective ist.
• Tensoring eine abelian Gruppe mit Q (oder jede teilbare Gruppe) tötet Verdrehung. D. h. wenn T eine Verdrehungsgruppe dann T  Q = 0 ist. Für eine allgemeine abelian Gruppe mit der Verdrehungsuntergruppe T hat man Einen  Q  A/T  Q.

Siehe auch

• Verdrehung (Algebra)

Referenzen

• Epstein, D. B. A., Kanone, James W. Textverarbeitung in Gruppen. Ein K Peters, 1992. Internationale Standardbuchnummer 0-86720-244-0