In der Mathematik ist ein lokales Feld ein spezieller Typ des Feldes, das ein lokal kompaktes topologisches Feld in Bezug auf eine nichtgetrennte Topologie ist.

In Anbetracht solch eines Feldes kann ein absoluter Wert darauf definiert werden. Es gibt zwei grundlegende Typen des lokalen Feldes: Diejenigen, in denen der absolute Wert archimedean und diejenigen ist, in denen es nicht ist. Im ersten Fall nennt man das lokale Feld ein archimedean lokales Feld im zweiten Fall, man nennt es ein non-archimedean lokales Feld. Lokale Felder entstehen natürlich in der Zahlentheorie als Vollziehungen von globalen Feldern.

Jedes lokale Feld ist (als ein topologisches Feld) zu einem des folgenden isomorph:

• Archimedean lokale Felder (charakteristische Null): die reellen Zahlen R und die komplexen Zahlen C.
• Non-archimedean lokale Felder der charakteristischen Null: Begrenzte Erweiterungen der p-adic Zahlen Q (wo p jede Primzahl ist).
• Non-archimedean lokale Felder der Eigenschaft p (für p jede gegebene Primzahl): Das Feld der formellen Reihe von Laurent F ((T)) über ein begrenztes Feld F (wo q eine Macht von p ist).

Es gibt eine gleichwertige Definition des non-archimedean lokalen Feldes: Es ist ein Feld, das in Bezug auf eine getrennte Schätzung abgeschlossen ist, und dessen Rückstand-Feld begrenzt ist. Jedoch denken einige Autoren einen allgemeineren Begriff, nur dass das Rückstand-Feld verlangend, vollkommen, nicht notwendigerweise begrenzt sein. Dieser Artikel verwendet die ehemalige Definition.

Veranlasster absoluter Wert

In Anbetracht eines lokal kompakten topologischen Feldes K kann ein absoluter Wert wie folgt definiert werden. Denken Sie erstens die zusätzliche Gruppe des Feldes. Als eine lokal kompakte topologische Gruppe hat es einen einzigartigen (bis zum positiven Skalarvielfache) Maß von Haar μ. Der absolute Wert wird definiert, um die Änderung in der Größe eines Satzes nach dem Multiplizieren davon durch ein Element von K zu messen. Definieren Sie spezifisch | · |: K  R durch

für jede messbare Teilmenge X von K (mit 0 < μ (X) < ). Dieser absolute Wert hängt X noch von der Wahl des Maßes von Haar nicht ab (da dieselbe vielfache Skalarzweideutigkeit sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommen wird).

In Anbetracht solch eines absoluten Werts auf K kann eine neue veranlasste Topologie auf K definiert werden. Diese Topologie ist dasselbe als die ursprüngliche Topologie. Ausführlich, für eine positive reelle Zahl M, definieren Sie die Teilmenge B K durch

Dann setzen die B eine Nachbarschaft-Basis 0 in K zusammen.

Non-archimedean lokale Feldtheorie

Für ein non-archimedean lokales Feld F (mit dem absoluten Wert, der durch | angezeigt ist · |), die folgenden Gegenstände sind wichtig:

• sein Ring von ganzen Zahlen, der ein getrennter Schätzungsring ist, ist der geschlossene Einheitsball von F und ist kompakt;
• die Einheiten in seinem Ring von ganzen Zahlen, der eine Gruppe bildet und der Einheitsbereich von F ist;
• das einzigartige Nichtnullhauptideal in seinem Ring von ganzen Zahlen, der sein offener Einheitsball ist
• ein Generator ϖ genannter ein uniformizer von F;
• sein Rückstand-Feld, das begrenzt ist (da es kompakt und getrennt ist).

Jedes Nichtnullelement F kann als = ϖu mit u eine Einheit und n eine einzigartige ganze Zahl geschrieben werden.

Die normalisierte Schätzung von F ist die Surjective-Funktion v: F  Z  {} definiert durch das Senden einer Nichtnull a an die einzigartige ganze Zahl n solch dass = ϖu mit u eine Einheit, und durch das Senden 0 zu . Wenn q der cardinality des Rückstand-Feldes, des absoluten Werts auf durch seine Struktur veranlasstem F ist, weil ein lokales Feld durch gegeben wird

Eine gleichwertige Definition eines non-archimedean lokalen Feldes ist, dass es ein Feld ist, das in Bezug auf eine getrennte Schätzung abgeschlossen ist, und dessen Rückstand-Feld begrenzt ist.

Beispiele

:: (wo Nichtnull ist).

</ol>

Höhere Einheitsgruppen

Der n höhere Einheitsgruppe' eines non-archimedean lokalen Feldes F ist

für n  1. Die Gruppe U wird die Gruppe von Haupteinheiten genannt, und jedes Element davon wird eine Haupteinheit genannt. Die volle Einheitsgruppe wird U angezeigt.

Die höheren Einheitsgruppen stellen ein abnehmendes Filtrieren der Einheitsgruppe zur Verfügung

wessen Quotienten durch gegeben werden

für n  1. (Hier "" bedeutet einen nichtkanonischen Isomorphismus.)

Struktur der Einheitsgruppe

Die multiplicative Gruppe von Nichtnullelementen eines non-archimedean lokalen Feldes F ist zu isomorph

wo q die Ordnung des Rückstand-Feldes ist, und μ die Gruppe von (q1) St.-Wurzeln der Einheit (in F) ist. Seine Struktur als eine abelian Gruppe hängt von seiner Eigenschaft ab:

• Wenn F positive Eigenschaft p, dann hat

::

:where N zeigt die natürlichen Zahlen an;

• Wenn F charakteristische Null hat (d. h. es eine begrenzte Erweiterung von Q des Grads d ist), dann

:where ein  0 wird definiert, so dass die Gruppe von P-Macht-Wurzeln der Einheit in F ist.

Höher dimensionale lokale Felder

Es ist natürlich, non-archimedean lokale Felder auf eine gleichförmige geometrische Weise als das Feld von Bruchteilen der Vollziehung des lokalen Rings eines eindimensionalen arithmetischen Schemas der Reihe 1 an seinem nichtsingulären Punkt einzuführen. Für Generalisationen wird ein lokales Feld manchmal ein eindimensionales lokales Feld genannt.

Für eine natürliche Zahl n ist ein n-dimensional lokales Feld ein ganzes getrenntes Schätzungsfeld, dessen Rückstand-Feld (n  1) - dimensionales lokales Feld ist. Abhängig von der Definition des lokalen Feldes ist ein nulldimensionales lokales Feld dann irgendein ein begrenztes Feld (mit der Definition, die in diesem Artikel verwendet ist), oder ein quasibegrenztes Feld oder ein vollkommenes Feld.

Aus dem geometrischen Gesichtspunkt, n-dimensional lokale Felder mit dem letzten begrenzten Rückstand-Feld werden zu einer ganzen Fahne von Teilschemas eines n-dimensional arithmetischen Schemas natürlich vereinigt.

Siehe auch

• Grundsatz von Hasse
• Lokale Klassenfeldtheorie

Referenzen

Weiterführende Literatur

• A. Frohlich, "Lokale Felder", in J.W.S. Cassels und A. Frohlich (edd), Theorie der Algebraischen Zahl, Akademischer Presse, 1973. Junge. Ich
• Milne, James, Theorie der algebraischen Zahl.
• Schikhoff, W.H. (1984) ultrametrische Rechnung