In der Mathematik ist ein quadric oder Quadric-Oberfläche, jede D-Dimensional-Hyperoberfläche in (D + 1) - dimensionaler Raum, der als der geometrische Ort von Nullen eines quadratischen Polynoms definiert ist. In Koordinaten} wird der allgemeine quadric durch die algebraische Gleichung definiert

:

\sum_ {ich, j=1} ^ {D+1} x_i Q_ {ij} x_j + \sum_ {i=1} ^ {D+1} P_i x_i + R = 0

</Mathematik>

der im Vektoren und der Matrixnotation als kompakt geschrieben werden kann:

:

x Q x^T + P x^T + R = 0 \,

</Mathematik>

wo x =} ein Zeilenvektor ist, ist x das Umstellen von x (ein Spaltenvektor), Q ist (D + 1) &times; (D + 1) Matrix und P sind (D + 1) - dimensionaler Zeilenvektor und R eine Skalarkonstante. Die Werte Q, P und R werden häufig genommen, um reelle Zahlen oder komplexe Zahlen zu sein, aber tatsächlich kann ein quadric über jeden Ring definiert werden. Im Allgemeinen ist der geometrische Ort von Nullen von einer Reihe von Polynomen als eine algebraische Vielfalt bekannt, und wird im Zweig der algebraischen Geometrie studiert.

Ein quadric ist so ein Beispiel einer algebraischen Vielfalt. Weil die projektive Theorie quadric (projektive Geometrie) sieht.

Euklidisches Flugzeug und Raum

Quadrics im Euklidischen Flugzeug sind diejenigen der Dimension D = 1, der sagen soll, dass sie Kurven sind. Solche quadrics sind dasselbe als konische Abteilungen, und sind normalerweise als conics aber nicht quadrics bekannt.

Im Euklidischen Raum haben quadrics Dimension D = 2, und sind als quadric Oberflächen bekannt. Durch das Vornehmen einer passenden Euklidischen Änderung von Variablen kann jeder quadric im Euklidischen Raum in eine bestimmte normale Form durch die Auswahl als die Koordinatenrichtungen der Hauptäxte des quadric gestellt werden. Im dreidimensionalen Euklidischen Raum gibt es 16 solche normalen Formen. Dieser 16 Formen, fünf sind nichtdegeneriert, und die restlichen sind degenerierte Formen. Degenerierte Formen schließen Flugzeuge, Linien, Punkte oder sogar keine Punkte überhaupt ein.

Projektive Geometrie

Der quadrics kann auf eine gleichförmige Weise durch das Einführen homogener Koordinaten auf einem Euklidischen Raum, so effektiv bezüglich seiner als ein projektiver Raum behandelt werden. So, wenn das Original (affine) Koordinaten auf R ist

:

man führt neue Koordinaten auf R ein

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verbunden mit den ursprünglichen Koordinaten dadurch. In den neuen Variablen wird jeder quadric durch eine Gleichung der Form definiert

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wo die Koeffizienten symmetrisch in mir und j zu sein. Bezüglich Q (X) = 0 weil stellt eine Gleichung im projektiven Raum den quadric als eine projektive algebraische Vielfalt aus. Wie man sagt, ist der quadric nichtdegeneriert, wenn die quadratische Form nichtsingulär ist; gleichwertig, wenn die Matrix (a) invertible ist.

Im echten projektiven Raum, nach dem Gesetz von Sylvester der Trägheit, kann eine nichtsinguläre quadratische Form Q (X) in die normale Form gestellt werden

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mittels einer passenden projektiven Transformation. Die normalen Formen von einzigartigem quadrics können Nullen sowie ±1 für Koeffizienten haben. Diese normale Form klassifiziert so echten nichtsingulären quadrics bis zu einer projektiven Transformation. In der Dimension D = 2 gibt es genau drei inequivalent Fälle:

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X_0^2+X_1^2+X_2^2+X_3^2 \\

X_0^2+X_1^2+X_2^2-X_3^2 \\

X_0^2+X_1^2-X_2^2-X_3^2

\end {Fälle }\

</Mathematik>

Folglich sind das Ellipsoid, der elliptische paraboloid und der hyperboloid von zwei Platten zu einander bis zu einer projektiven Transformation gleichwertig, weil diese alle der zweiten normalen Form entsprechen. Der hyperbolische paraboloid und der hyperboloid einer Platte sind beide zur dritten Form gleichwertig (über diese wird Oberflächen geherrscht). Der Kegel und der Zylinder sind zur degenerierten Form gleichwertig

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Diese Letzteren sind degenerierter quadrics, weil der Koeffizient auf X Null ist; sie haben auch Nullkrümmung von Gaussian.

Im komplizierten projektiven Raum werden alle nichtdegenerierten quadrics nicht zu unterscheidend von einander.

Siehe auch

• Fokus (Geometrie), eine Übersicht von Eigenschaften von konischen Abteilungen hat sich auf die Fokusse bezogen.
• Klein quadric
• Quadratische Funktion
• Superquadrics

Außenverbindungen

• Das interaktive Java 3D-Modelle des ganzen quadric erscheint