Die Hypothese von Riemann ist eine der wichtigsten Vermutungen in der Mathematik. Es ist eine Behauptung über die Nullen des Riemanns zeta Funktion. Verschiedene geometrische und arithmetische Gegenstände können durch so genannte globale L-Funktionen beschrieben werden, die der Zeta-Funktion von Riemann formell ähnlich sind. Man kann dann dieselbe Frage nach den Nullen dieser L-Funktionen fragen, verschiedene Generalisationen der Hypothese von Riemann nachgebend. Viele Mathematiker glauben, dass diese Generalisationen der Hypothese von Riemann wahr sind. Die einzigen Fälle dieser Vermutungen, die bewiesen worden sind, kommen im Funktionsfeldfall (nicht der Fall des numerischen Feldes) vor.

Globale L-Funktionen können zu elliptischen Kurven, numerische Felder vereinigt werden (in welchem Fall sie Zeta-Funktionen von Dedekind genannt werden), Formen von Maass und Charaktere von Dirichlet (in welchem Fall sie Dirichlet L-Funktionen genannt werden). Wenn die Hypothese von Riemann für Zeta-Funktionen von Dedekind formuliert wird, ist es als die verlängerte Hypothese von Riemann (ERH) bekannt, und wenn es für Dirichlet L-Funktionen formuliert wird, ist es als die verallgemeinerte Hypothese von Riemann (GRH) bekannt. Diese zwei Behauptungen werden ausführlicher unten besprochen. (Viele Mathematiker verwenden verallgemeinerte Hypothese von Riemann des Etiketts, um die Erweiterung der Hypothese von Riemann zu allen globalen L-Funktionen, zu bedecken

nicht nur der spezielle Fall von Dirichlet L-Funktionen.)

Verallgemeinerte Hypothese von Riemann (GRH)

Die verallgemeinerte Hypothese von Riemann (für Dirichlet L-Funktionen) wurde wahrscheinlich zum ersten Mal von Piltz 1884 formuliert.

Wie die ursprüngliche Hypothese von Riemann hat es weit reichende Folgen über den Vertrieb von Primzahlen.

Die formelle Behauptung der Hypothese folgt. Ein Dirichlet Charakter ist völlig multiplicative arithmetische Funktion χ solch, dass dort eine positive ganze Zahl k mit χ (n + k) = χ (n) für den ganzen n und χ (n) = 0 wann auch immer gcd (n, k)> 1 besteht. Wenn solch ein Charakter gegeben wird, definieren wir die entsprechende Dirichlet L-Funktion durch

:

L (\chi, s) = \sum_ {n=1} ^\\infty \frac {\\chi (n)} {n^s }\

</Mathematik>

für jede komplexe Zahl s mit dem echten Teil> 1. Durch die analytische Verlängerung kann diese Funktion zu einer auf dem ganzen komplizierten Flugzeug definierten Meromorphic-Funktion erweitert werden. Die verallgemeinerte Hypothese von Riemann behauptet dass für jeden Charakter von Dirichlet χ und jede komplexe Zahl s mit L (χ, s) = 0: Wenn der echte Teil von s zwischen 0 und 1 ist, dann ist es wirklich 1/2.

Der Fall χ (n) = 1 für den ganzen n gibt die gewöhnliche Hypothese von Riemann nach.

Folgen von GRH

Der Lehrsatz von Dirichlet stellt dass fest, wenn a und d coprime natürliche Zahlen sind, dann enthält der arithmetische Fortschritt a, a+d, a+2d, a+3d, … ungeheuer viele Primzahlen. Lassen Sie π (x, a, d) zeigen die Zahl von Primzahlen in diesem Fortschritt an, die weniger sind als oder gleich x. Wenn die verallgemeinerte Hypothese von Riemann, dann für jeden coprime a und d und für jeden ε> 0 wahr

ist:

wo φ (d) die Totient-Funktion von Euler ist und O die Große O Notation ist. Das ist eine beträchtliche Stärkung des Primzahl-Lehrsatzes.

Wenn GRH wahr ist, dann lässt jede richtige Untergruppe der multiplicative Gruppe eine Zahl weniger weg als, sowie eine Zahl coprime zu n weniger als. Mit anderen Worten, wird durch eine Reihe von Zahlen weniger erzeugt als. Das wird häufig in Beweisen verwendet, und es hat viele Folgen, zum Beispiel (das Annehmen von GRH):

Wie man

• versichert, läuft der Müller-Rabin primality Test in der polynomischen Zeit. (Ein polynomisch-maliger Primality-Test, der GRH, der AKS primality Test nicht verlangt, wurde 2002 veröffentlicht.)

Wie man

• versichert, läuft der Algorithmus der Unterschenkel-Tonelli in der polynomischen Zeit.

Wenn GRH wahr ist, dann für jeden ersten p dort besteht eine primitive Wurzel mod p (ein Generator der multiplicative Gruppe von ganzen Zahlen modulo p), der weniger ist als

Die schwache Vermutung von Goldbach folgt auch aus der verallgemeinerten Hypothese von Riemann.

Die Wahrheit des GRH annehmend, kann die Schätzung der Charakter-Summe in der Ungleichheit von Pólya-Vinogradov zu, q verbessert werden das Modul des Charakters zu sein.

Verlängerte Hypothese von Riemann (ERH)

Nehmen Sie an, dass K ein numerisches Feld (eine endlich-dimensionale Felderweiterung des rationals Q) mit dem Ring von ganzen Zahlen O ist (dieser Ring ist der integrierte Verschluss der ganzen Zahlen Z in K). Wenn eines Ideales von O außer dem Nullideal zu sein, wir seine Norm durch Na anzeigen. Die Dedekind Zeta-Funktion von K wird dann durch definiert

:

\zeta_K (s) = \sum_a \frac {1} {(Na) ^s }\

</Mathematik>

für jede komplexe Zahl s mit dem echten Teil> 1. Die Summe streckt sich über alle Nichtnullideale O. aus

Die Dedekind-Zeta-Funktion befriedigt eine funktionelle Gleichung und kann durch die analytische Verlängerung zum ganzen komplizierten Flugzeug erweitert werden. Die resultierende Funktion verschlüsselt wichtige Information über das numerische Feld K. Die verlängerte Hypothese von Riemann behauptet dass für jedes numerische Feld K und jede komplexe Zahl s mit ζ (s) = 0: Wenn der echte Teil von s zwischen 0 und 1 ist, dann ist es tatsächlich 1/2.

Die gewöhnliche Hypothese von Riemann folgt aus dem verlängerten, wenn man das numerische Feld nimmt, um Q, mit dem Ring von ganzen Zahlen Z zu sein.

Siehe auch

• Die Vermutung von Artin
• Dirichlet L-Funktion
• Klasse von Selberg

Weiterführende Literatur