Das fünfte Problem von Hilbert ist das fünfte mathematische Problem von der Problem-Liste veröffentlicht 1900 vom Mathematiker David Hilbert, und betrifft die Charakterisierung von Lüge-Gruppen. Die Theorie von Lüge-Gruppen beschreibt dauernde Symmetrie in der Mathematik; seine Wichtigkeit dort und in der theoretischen Physik (zum Beispiel Quark-Theorie) ist fest im zwanzigsten Jahrhundert gewachsen. In rauen Begriffen, Lügen Sie Gruppentheorie ist der Übereinstimmungsbereich der Gruppentheorie und die Theorie von topologischen Sammelleitungen. Die Frage, die Hilbert gestellt hat, war eine akute, das genau zu machen: Gibt es ein Unterschied, wenn eine Beschränkung, Sammelleitungen zu glätten, auferlegt wird?

Die erwartete Antwort war verneinend (die klassischen Gruppen, die zentralsten Beispiele in der Lüge-Gruppentheorie, sind glatte Sammelleitungen). Das wurde schließlich am Anfang der 1950er Jahre bestätigt. Seitdem der genaue Begriff "der Sammelleitung" für Hilbert nicht verfügbar war, gibt es Zimmer für etwas Debatte über die Formulierung des Problems auf der zeitgenössischen mathematischen Sprache.

Klassische Formulierung

Eine Formulierung, die seit einem langen Zeitraum akzeptiert wurde, war, dass die Frage war zu charakterisieren, Liegen Gruppen als die topologischen Gruppen, die auch topologische Sammelleitungen waren. In Begriffen, die an denjenigen näher sind, die Hilbert, in der Nähe vom Identitätselement e der Gruppe G fraglich verwendet hätte, haben wir einen offenen Satz U im Euklidischen Raum, der e, und auf einer offenen Teilmenge V von U enthält, wir haben dauernd kartografisch darzustellen

das befriedigt die Gruppenaxiome, wo diejenigen definiert werden. Vieles ist ein Bruchstück einer typischen lokal Euklidischen topologischen Gruppe. Das Problem ist dann zu zeigen, dass F eine glatte Funktion nahe e ist (da topologische Gruppen homogene Räume sind, schauen sie dasselbe überall, wie sie nahe e tun).

Eine andere Weise, das zu stellen, besteht darin, dass die mögliche differentiability Klasse von F egal ist: Die Gruppenaxiome brechen die ganze C Tonleiter zusammen.

Lösung

Das erste Hauptergebnis war das von John von Neumann 1933 für Kompaktgruppen. Der lokal kompakte abelian Gruppenfall wurde 1934 von Lev Pontryagin gelöst. Die Endentschlossenheit, mindestens in dieser Interpretation dessen, was Hilbert vorgehabt hat, ist mit der Arbeit von Andrew Gleason, Deane Montgomery und Leo Zippin in den 1950er Jahren gekommen.

1953 hat Hidehiko Yamabe die Endantwort auf das Fünfte Problem von Hilbert erhalten: Eine verbundene lokal kompakte Gruppe ist eine projektive Grenze einer Folge von Lüge-Gruppen, und wenn "keine kleinen Untergruppen hat" (eine Bedingung, die unten definiert ist), dann ist G eine Lüge-Gruppe. Jedoch wird die Frage noch diskutiert seitdem in der Literatur hat es andere solche Ansprüche gegeben, die größtenteils auf verschiedenen Interpretationen der Behauptung von Hilbert des von verschiedenen Forschern gegebenen Problems gestützt sind.

Mehr allgemein ist jede lokal kompakte, fast verbundene Gruppe die projektive Grenze einer Lüge-Gruppe. Wenn wir eine allgemeine lokal kompakte Gruppe und den verbundenen Bestandteil der Identität denken, haben wir eine Gruppenerweiterung

:

Da eine völlig getrennte Gruppe / eine offene Kompaktuntergruppe hat, und das Hemmnis solch einer offenen Kompaktuntergruppe eine offene, fast verbundene Untergruppe dessen ist. Auf diese Weise haben wir eine glatte Struktur an, da es homeomorphic dazu ist, wo ein getrennter Satz ist.

Abwechselnde Formulierung

Eine andere Ansicht besteht darin, dass G als eine Transformationsgruppe, aber nicht abstrakt behandelt werden sollte. Das führt zur Formulierung der Vermutung von Hilbert-Smith, ungelöst.

Keine kleinen Untergruppen

Eine wichtige Bedingung in der Theorie ist keine kleinen Untergruppen. Wie man sagt, hat eine topologische Gruppe G oder ein teilweises Stück einer Gruppe wie F oben, keine kleinen Untergruppen, wenn es eine Nachbarschaft N e gibt, der keine Untergruppe enthält, die größer ist als {e}. Zum Beispiel befriedigt die Kreisgruppe die Bedingung, während die p-adic ganzen Zahlen Z als zusätzliche Gruppe nicht tun, weil N die Untergruppen enthalten wird

für alle großen ganzen Zahlen k. Das gibt eine Idee davon, wem die Schwierigkeit im Problem ähnlich ist. Im Vermutungsfall von Hilbert-Smith ist es eine Sache der bekannten Verminderung dazu, ob Z treu auf einer geschlossenen Sammelleitung handeln kann. Gleason, Montgomery und Zippin haben charakterisiert Liegen Gruppen unter lokal kompakten Gruppen, als diejenigen, die keine kleinen Untergruppen haben.

Unendliche Dimensionen

Forscher haben auch das fünfte Problem von Hilbert gedacht, ohne begrenzten dimensionality anzunehmen. Das letzte Kapitel von Benyamini und Lindenstrauss bespricht die These Pro Enflo auf dem fünften Problem von Hilbert ohne Kompaktheit.

Referenzen

Siehe auch

• Hans Rådström
• . Verfügbar aus dem Projekt Euklid.
• .
• D. Montgomery und L. Zippin, Topological Transformation Groups
• Yamabe, Hidehiko, Auf einem arcwise haben Untergruppe einer Lüge-Gruppe, Osaka Mathematische Zeitschrift v.2, Mrz Nr. 1 (1950), 13-14 verbunden.
• Irving Kaplansky, Lie Algebras and Locally Compact Groups, Chikagoer Vorträge in der Mathematik, 1971.
• Benyamini, Yoav und Lindenstrauss, Joram, Geometrische nichtlineare Funktionsanalyse-Kolloquium-Veröffentlichungen, 48. Amerikanische Mathematische Gesellschaft.
• Enflo, Pro. (1970) Untersuchungen auf dem fünften Problem von Hilbert für nicht lokal kompakte Gruppen. (Doktorarbeit von fünf Artikeln von Enflo von 1969 bis 1970)
• Enflo, Pro; 1969a: Topologische Gruppen, in denen die Multiplikation auf einer Seite differentiable oder geradlinig ist. Mathematik. Scand. 24, 195-197.
• Enflo, Pro; 1969b: Auf einem Problem von Smirnov. Arche. Mathematik. 8, 107-109.
• Enflo, Pro; 1970a: Gleichförmige Strukturen und Quadratwurzeln in topologischen Gruppen I. Israel J. Math. 8, 230-252.
• Enflo, Pro; 1970b: Gleichförmige Strukturen und Quadratwurzeln in topologischen Gruppen II. Israel J. Math. 8, 2530-272.