Das Axiom von Freiling der Symmetrie (AXT) ist ein mit dem Satz theoretisches von Chris Freiling vorgeschlagenes Axiom. Es basiert auf der Intuition von Stuart Davidson

aber die Mathematik dahinter geht Wacław Sierpiński zurück.

Lassen Sie A der Satz von Funktionen sein, die Zahlen im Einheitszwischenraum [0,1] zu zählbaren Teilmengen desselben Zwischenraums kartografisch darstellen. Die Axiom-AXT-Staaten:

:For jeder f in A, dort bestehen Sie x und solcher y, dass x nicht in f (y) ist und y nicht in f (x) ist.

Ein Lehrsatz von Sierpiński sagt das unter den Annahmen der ZFC Mengenlehre,

AXT ist zur Ablehnung der Kontinuum-Hypothese (CH) gleichwertig. Der Lehrsatz von Sierpiński hat auf eine Frage von Hugo Steinhaus geantwortet und wurde bewiesen, lange bevor die Unabhängigkeit von CH durch gegründet worden war

Kurt Gödel und Paul Cohen.

Freiling behauptet, dass probabilistic Intuition stark diesen Vorschlag unterstützt

während andere nicht übereinstimmen. Es gibt mehrere Versionen des Axioms, etwas von dem

werden unten besprochen.

Das Argument von Freiling

Befestigen Sie eine Funktion f in A. Wir werden ein Gedanke-Experiment denken, das mit dem Werfen von zwei Darts am Einheitszwischenraum verbunden ist. Wir sind wahrscheinlich nicht im Stande, mit der unendlichen Genauigkeit die Ist-Werte der Nummern x und y physisch zu bestimmen, die geschlagen werden. Ebenfalls kann die Frage dessen, ob "y in f (x) ist", nicht wirklich physisch geschätzt werden. Dennoch, wenn f wirklich eine Funktion ist, dann ist diese Frage eine bedeutungsvolle und wird einen bestimmten "ja" oder Nein-Antwort haben.

Warten Sie jetzt, bis der erste Wurfpfeil, x, geworfen wird und dann bewerten Sie die Chancen, dass der zweite Wurfpfeil y in f (x) sein wird. Da x jetzt befestigt wird, f (x) ist ein fester zählbarer Satz und lässt Lebesgue Null messen. Deshalb hat dieses Ereignis, mit befestigtem x, Wahrscheinlichkeitsnull. Freiling macht jetzt zwei Generalisationen:

• Da wir mit der virtuellen Gewissheit voraussagen können, dass "y nicht in f (x) ist", nachdem der erste Wurfpfeil geworfen wird, und da diese Vorhersage gültig ist, egal was der erste Wurfpfeil tut, sollten wir im Stande sein, diese Vorhersage zu machen, bevor der erste Wurfpfeil geworfen wird. Das soll nicht sagen, dass wir noch ein messbares Ereignis haben, eher ist es eine Intuition über die Natur, voraussagbar zu sein.
• Seitdem "y ist nicht in f (x)" ist durch die Symmetrie der Ordnung wie vorherzusehen war wahr, in der das Darts geworfen wurde (folglich der Name "Axiom der Symmetrie"), sollten wir auch im Stande sein, mit der virtuellen Gewissheit vorauszusagen, dass "x nicht in f (y) ist".

Die Axiom-AXT wird jetzt gestützt auf dem Grundsatz gerechtfertigt, dass, was wie vorherzusehen war jedes Mal geschehen wird, dieses Experiment durchgeführt wird, sollte zumindest möglich sein. Folglich dort sollte zwei reelle Zahlen x, y solch bestehen, dass x nicht in f (y) ist und y nicht in f (x) ist.

Beziehung zur (verallgemeinerten) Kontinuum-Hypothese

Bestechen Sie einen unendlichen Kardinal (z.B).. Lassen Sie, die Behauptung zu sein: Es gibt keine Karte von Sätzen bis Sätze der Größe für der entweder oder.

Anspruch:.

Beweis:

Erster Teil :

Denken. Dann eine Bijektion lassend, haben wir klar demonstriert den Misserfolg des Axioms von Freiling.

Zweiter Teil :

Nehmen Sie an, dass das Axiom von Freiling scheitert. Dann bestechen Sie einige, um diese Tatsache nachzuprüfen. Definieren Sie eine Ordnungsbeziehung auf durch iff. Diese Beziehung ist ganz, und jeder Punkt hat viele Vorgänger. Definieren Sie jetzt eine ausschließlich zunehmende Kette

So

Bemerken Sie das, so können wir Dinge leicht umordnen, das die obengenannte erwähnte Form des Axioms von Freiling zu erhalten.

Der obengenannte kann genauer gemacht werden:. Das zeigt sich (zusammen die Tatsache, dass die Kontinuum-Hypothese der Wahl unabhängig ist) ein genauer Weg, auf den die (verallgemeinerte) Kontinuum-Hypothese eine Erweiterung des Axioms der Wahl ist.

Einwände gegen das Argument von Freiling

Das Argument von Freiling wird wegen der folgenden zwei Probleme damit nicht weit akzeptiert (von dem sich Freiling wohlbewusst gewesen ist und in seiner Zeitung besprochen hat).

• Die naive probabilistic Intuition, die von Freiling stillschweigend verwendet ist, nimmt an, dass es eine wohl erzogene Weise gibt, eine Wahrscheinlichkeit zu jeder Teilmenge des reals zu vereinigen. Aber die mathematische Formalisierung des Begriffs "der Wahrscheinlichkeit" verwendet den Begriff des Maßes, noch bezieht das Axiom der Wahl die Existenz von nichtmessbaren Teilmengen sogar des Einheitszwischenraums ein. Einige Beispiele davon sind das Paradox von Banach-Tarski und die Existenz von Sätzen von Vitali.
• Eine geringe Schwankung seines Arguments gibt einen Widerspruch mit dem Axiom der Wahl, ob man die Kontinuum-Hypothese akzeptiert, wenn man zählbare Additivität der Wahrscheinlichkeit durch die Additivität für Kardinäle weniger ersetzt als das Kontinuum. (Freiling hat ein ähnliches Argument verwendet, um zu behaupten, dass das Axiom von Martin falsch ist.) Ist es nicht klar, warum die Intuition von Freiling etwas in diesem Beispiel weniger anwendbar sein sollte, wenn es überhaupt gilt. So scheint das Argument von Freiling, mehr ein Argument gegen die Möglichkeit zu sein, gut den reals zu bestellen, als gegen die Kontinuum-Hypothese.

Verbindung zur Graph-Theorie

Mit der Tatsache, dass in ZFC wir haben (sieh oben), ist es nicht hart zu sehen, dass der Misserfolg des Axioms der Symmetrie — und so des Erfolgs — zum folgenden kombinatorischen Grundsatz für Graphen gleichwertig ist:

:* Der ganze Graph darauf kann so geleitet werden, dass jeder Knoten höchstens - viele Knoten führt.

:* Im Fall von übersetzt das zu: Der ganze Graph auf dem Einheitskreis kann so geleitet werden, dass jeder Knoten höchstens zählbar noch viel zu Knoten führt.

So im Zusammenhang von ZFC ist der Misserfolg eines Axioms von Freiling zur Existenz einer spezifischen Art der auserlesenen Funktion gleichwertig.

• David Mumford, "Das Dämmern des Alters von stochasticity", in der Mathematik: Grenzen und Perspektiven 2000, amerikanische Mathematische Gesellschaft, 1999, 197-218.
• John Simms, "Traditionelle Grundsätze von Cavalieri hat sich für den modernen Begriff des Gebiets", J gewandt. Philosophische Logik 18 (1989), 275-314.