Logarithmische Skala

Eine logarithmische Skala ist eine Skala des Maßes mit dem Logarithmus einer physischen Menge statt der Menge selbst.

Ein einfaches Beispiel ist eine Karte, deren vertikale Achse Zunahme ebenso unter Drogeneinfluss hat, die 1, 10, 100, 1000, statt 1, 2, 3, 4 etikettiert wird. Jede Einheitszunahme auf der logarithmischen Skala vertritt so eine Exponentialzunahme in der zu Grunde liegenden Menge für die gegebene Basis (10, in diesem Fall).

Die Präsentation von Daten auf einer logarithmischen Skala kann nützlich sein, wenn die Daten einen großen Wertbereich bedecken. Der Gebrauch der Logarithmen der Werte aber nicht der Ist-Werte reduziert eine breite Reihe auf eine lenksamere Größe. Einige unserer Sinne funktionieren auf eine logarithmische Mode (Gesetz von Weber-Fechner), der logarithmische Skalen für diese Eingangsmengen besonders passend macht. Insbesondere nimmt unser Gehör gleiche Verhältnisse von Frequenzen als gleiche Unterschiede im Wurf wahr. Außerdem haben Studien von kleinen Kindern in einem isolierten Stamm logarithmische Skalen gezeigt, um die natürlichste Anzeige von Zahlen durch Menschen zu sein.

Definition und Basis

Logarithmische Skalen werden entweder für Verhältnisse der zu Grunde liegenden Menge definiert, oder man muss bereit sein, die Menge in festen Einheiten zu messen. Das Abweichen von diesen Einheiten bedeutet, dass sich das logarithmische Maß durch eine zusätzliche Konstante ändern wird. Die Basis des Logarithmus muss auch angegeben werden, wenn, wie man betrachtet, der Wert der Skala keine dimensionale in allgemeinen logarithmischen (unbestimmt-Grund)-Einheiten ausgedrückte Menge ist.

Beispiel-Skalen

Auf den meisten logarithmischen Skalen entsprechen kleine Werte (oder Verhältnisse) der zu Grunde liegenden Menge negativen Werten des logarithmischen Maßes. Wohl bekannte Beispiele solcher Skalen sind:

Einige logarithmische Skalen wurden solch entworfen, dass große Werte (oder Verhältnisse) der zu Grunde liegenden Menge kleinen Werten des logarithmischen Maßes entsprechen. Beispiele solcher Skalen sind:

  • pH für Säure und Alkalinität;
  • Sternumfang-Skala für die Helligkeit von Sternen;
  • Krumbein klettern für die Partikel-Größe in der Geologie.
  • Absorptionsvermögen des Lichtes durch durchsichtige Proben.

Logarithmische Einheiten

Logarithmische Einheiten sind abstrakte mathematische Einheiten, die verwendet werden können, um irgendwelche Mengen auszudrücken (physisch oder mathematisch), die auf einer logarithmischen Skala, d. h. als proportional seiend zum Wert einer Logarithmus-Funktion definiert werden. In diesem Artikel wird eine gegebene logarithmische Einheit mit der Notation [angezeigt loggen n], wo n eine positive reelle Zahl ist, und [Klotz] hier den unbestimmten Logarithmus-Funktionsklotz anzeigt.

Beispiele

Beispiele von logarithmischen Einheiten schließen allgemeine Einheiten der Information und des Wärmegewichtes ein, wie das Bit [loggen 2], und das Byte 8 [loggen 2] = [loggen 256], auch die nat [loggen e], und das Verbot [loggen 10]; Einheiten des Verhältnissignalkraft-Umfangs wie das Dezibel 0.1 [loggen 10], und bel [loggen 10], neper [loggen e], und andere logarithmische Maßeinheiten wie der Richterskala-Punkt [loggen 10] oder (mehr allgemein) die entsprechende Größenordnungseinheit manchmal gekennzeichnet als ein Faktor zehn, oder Jahrzehnt (hier Bedeutung [loggen 10], nicht 10 Jahre).

Motivation

Die Motivation hinter dem Konzept logarithmischer Einheiten ist, dass sich das Definieren einer Menge auf einer logarithmischen Skala in Bezug auf einen Logarithmus zu einer spezifischen Basis auf das Bilden einer (völlig willkürlichen) Wahl einer Einheit des Maßes für diese Menge, diejenige beläuft, die dem spezifischen (und ebenso willkürlich) Logarithmus-Basis entspricht, die ausgewählt wurde. Wegen der Identität

:

die Logarithmen jeder gegebenen Zahl a zu zwei verschiedenen Basen (hier b und c) unterscheiden sich nur durch den unveränderlichen Faktor-Klotz-b. Wie man betrachten kann, vertritt dieser unveränderliche Faktor den Umwandlungsfaktor für sich umzuwandeln eine numerische Darstellung des reinen (unbestimmten) logarithmischen Menge-Klotzes (a) von einer willkürlicher Einheit des Maßes ([loggen c] Einheit) zu einem anderen ([loggen b] Einheit), seitdem

:

Zum Beispiel kann die Standarddefinition von Boltzmann des Wärmegewichtes S = k ln W (wo W die Zahl von Weisen ist, ein System und k einzuordnen, ist die Konstante von Boltzmann), auch geschrieben einfacher als gerade S = Klotz (W), wo "Klotz" hier den unbestimmten Logarithmus anzeigt, und wir k = [lassen, loggen e]; d. h. wir identifizieren uns die physische Wärmegewicht-Einheit k mit der mathematischen Einheit [loggen e]. Diese Identität arbeitet weil

:

So können wir die Konstante von Boltzmann interpretieren als, zu sein, einfach der Ausdruck (in Bezug auf mehr normale physische Einheiten) der abstrakten logarithmischen Einheit [loggt e], der erforderlich ist, um die ohne Dimension Menge der reinen Zahl ln W umzuwandeln (der eine willkürliche Wahl der Basis, nämlich e verwendet) zum grundsätzlicheren reinen logarithmischen Menge-Klotz (W), der keine besondere Wahl der Basis, und so keine besondere Wahl der physischen Einheit einbezieht, um Wärmegewicht zu messen.

Grafische Darstellung

Eine logarithmische Skala ist auch eine grafische Skala auf einer oder beiden Seiten eines Graphen, wo eine Nummer x in einer Entfernung c gedruckt wird · loggen Sie (x) vom mit der Nummer 1 gekennzeichneten Punkt. Ein Rechenschieber hat logarithmische Skalen, und nomograms verwenden häufig logarithmische Skalen. Auf einer logarithmischen Skala wird ein gleicher Unterschied in der Größenordnung vom Umfang durch eine gleiche Entfernung vertreten. Das geometrische Mittel von zwei Zahlen ist auf halbem Wege zwischen den Zahlen.

Logarithmisches Graph-Papier, vor dem Advent der Computergrafik, war ein grundlegendes wissenschaftliches Werkzeug. Anschläge auf Papier mit einer Klotz-Skala können Exponentialgesetze, und auf Papiermacht-Gesetzen des Klotz-Klotzes als Geraden heraufführen (sieh Halbklotz-Graphen, Graphen des Klotz-Klotzes).

Das Vergleichen der Skalen

Ein Anschlag von x v. Klotz (x). Bemerken Sie zwei Dinge: Loggen Sie erstens (x) Zunahmen schnell zuerst: Durch x = 3, loggen Sie (x) ist fast an.5; es ist nützlich, sich dass sqrt (10) ~ 3 zu erinnern. Loggen Sie zweitens (x) wächst jemals langsamer, weil sich x 10 nähert; das zeigt, wie Logarithmen verwendet werden können, um große Anzahl 'zu zähmen'.

Logarithmische und halblogarithmische Anschläge und Gleichungen von Linien

Klotz und Halbklotz-Skalen werden am besten verwendet, um zwei Typen von Gleichungen anzusehen (für die Bequemlichkeit, die natürliche Basis 'e' wird verwendet):

::

Im ersten Fall, die Gleichung auf einer Halbklotz-Skala planend (loggen Y gegen X), gibt: Loggen Sie Y = −aX, der geradlinig ist.

Im zweiten Fall, die Gleichung auf einer Skala des Klotz-Klotzes planend (loggen Y gegen den Klotz X), gibt: Loggen Sie Y = b loggen X, der geradlinig ist.

Wenn Werte, die große Reihen abmessen, geplant werden müssen, kann eine logarithmische Skala ein Mittel zur Verfügung stellen, die Daten anzusehen, der den Werten erlaubt, vom Graphen bestimmt zu werden. Die logarithmische Skala wird in Entfernungen abgegrenzt, die zu den Logarithmen der Werte proportional sind, die vertreten werden. Zum Beispiel, in der Zahl unten, für beide Anschläge, hat y die Werte: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 und 100. Für den Anschlag links wird der Klotz der Werte von y auf einer geradlinigen Skala geplant. So ist der erste Wert Klotz (1) = 0; der zweite Wert ist Klotz (2) = 0.301; der 3. Wert ist Klotz (3) = 0.4771; der 4. Wert ist Klotz (4) = 0.602, und so weiter. Der Anschlag auf dem Recht verwendet logarithmisch (oder Klotz, weil es auch auf verwiesen wird), auf der vertikalen Achse kletternd. Bemerken Sie, dass Werte, wo der Hochzahl-Begriff einem integrierten Bruchteil 10 (0.1, 0.2, 0.3, usw.) nah ist werden als 10 erhobene zur Macht gezeigt, die den ursprünglichen Wert von y nachgibt. Diese werden für y = 2, 4, 8, 10, 20, 40, 80 und 100 gezeigt.

Bemerken Sie das für y = 2 und 20, y = 10 und 10; für y = 4 und 40, y = 10 und 10. Das ist wegen des Gesetzes das

:

Also, Klotz (2) = 0.301 wissend, kann der Rest abgeleitet werden:

::

Bemerken Sie, dass die Werte von y die obengenannte Zahl leicht weggenommen werden. Vergleichsweise, Werte von y, den weniger als 10 schwierig sind, von der Zahl unten zu bestimmen, wo sie auf einer geradlinigen Skala geplant werden, so die frühere Behauptung bestätigend, dass Werte, die große Reihen abmessen, leichter von einem logarithmisch schuppigen Graphen gelesen werden.

Anschläge des Klotz-Klotzes

Wenn sowohl die vertikale als auch horizontale Achse eines Anschlags logarithmisch erklettert wird, wird der Anschlag einen Anschlag des Klotz-Klotzes genannt.

Logarithmische Halbanschläge

Wenn nur die Ordinate oder Abszisse logarithmisch erklettert werden, wird der Anschlag einen logarithmischen Halbanschlag genannt.

Das Schätzen von Werten in einem Diagramm mit der logarithmischen Skala

Eine Methode für den genauen Entschluss von Werten auf einer logarithmischen Achse ist wie folgt:

  1. Messen Sie die Entfernung vom Punkt auf der Skala zur nächsten Jahrzehnt-Linie mit dem niedrigeren Wert mit einem Lineal.
  2. Teilen Sie diese Entfernung durch die Länge eines Jahrzehnts (die Länge zwischen Zwei-Jahrzehnte-Linien).
  3. Der Wert Ihres gewählten Punkts ist jetzt der Wert der nächsten Jahrzehnt-Linie mit niedrigeren Wertzeiten 10, wo des Werts zu sein, im Schritt 2 gefunden hat.

Beispiel: Wie ist der Wert, der liegt halbwegs zwischen den 10 und 100 Jahrzehnten auf einer logarithmischen Achse? Da es der Punkt auf halbem Weg ist, der von Interesse ist, ist der Quotient von Schritten 1 und 2 0.5. Die nächste Jahrzehnt-Linie mit dem niedrigeren Wert ist 10, so ist der Wert des Punkts auf halbem Weg (10) × 10 = 10  31.62.

Um zu schätzen, wo ein Wert innerhalb eines Jahrzehnts auf einer logarithmischen Achse liegt, verwenden Sie die folgende Methode:

  1. Messen Sie die Entfernung zwischen Konsekutivjahrzehnten mit einem Lineal. Sie können irgendwelche Einheiten verwenden vorausgesetzt, dass Sie entsprechen.
  2. Nehmen Sie den Klotz (schätzen Sie / von Interesse am nächsten senken Wertjahrzehnt) multipliziert mit der Zahl, die im Schritt ein bestimmt ist.
  3. Mit denselben Einheiten wie im Schritt 1 Zählung haben sich so viele Einheiten wie aus Schritt 2 ergeben, im niedrigeren Jahrzehnt anfangend.

Beispiel: Um zu bestimmen, wo 17 auf einer logarithmischen Achse zuerst gelegen wird, verwenden Sie ein Lineal, um die Entfernung zwischen 10 und 100 zu messen. Wenn das Maß 30 Mm auf einem Lineal ist (es kann sich ändern - stellen sicher, dass dieselbe Skala während des Rests des Prozesses verwendet wird).

: [Klotz (17/10)] × 30 = 6.9

x = 17 ist dann 6.9 Mm danach x = 10 (entlang der X-Achse).

Logarithmische Interpolation

Das Interpolieren logarithmischer Werte ist dem Interpolieren geradliniger Werte sehr ähnlich. In der geradlinigen Interpolation werden Werte durch gleiche Verhältnisse bestimmt. Zum Beispiel, in der geradlinigen Interpolation, hat eine Linie, die eine Ordinate (Y-Wert) für jede zwei Abszisse (X-Wert) vergrößert, ein Verhältnis (auch bekannt als Hang oder Anstieg-über-geführt) 1/2. Um die Ordinate oder Abszisse eines besonderen Punkts zu bestimmen, müssen Sie den anderen Wert wissen. Die Berechnung der Ordinate entsprechend einer Abszisse 12 im Beispiel ist unten wie folgt:

: 1/2 = Y/12

Y ist die unbekannte Ordinate. Mit der Quer-Multiplikation kann Y berechnet werden und ist 6 gleich.

In der logarithmischen Interpolation wird ein Verhältnis von logarithmischen Werten gleich einem Verhältnis von geradlinigen Werten gesetzt. Denken Sie zum Beispiel, dass ein Klotz 10 Skala-Graphen von Papierriesen verkauft stützt, pro Tag 19 Zoll von 1 bis 10 messend. Wie viele Riese an einem Tag verkauft wurden, wenn der Wert auf dem Graphen 11 zwischen 1 und 10 ist? Um dieses Problem zu beheben, ist es notwendig, eine grundlegende logarithmische Definition zu verwenden:

: Klotz (A)  Klotz (B) = Klotz (A/B)

Jahrzehnt-Linien, jene Werte, die Mächte der Klotz-Basis anzeigen, sind auch in der logarithmischen Interpolation wichtig. Machen Sie die niedrigere Jahrzehnt-Linie ausfindig. Es ist die nächste Jahrzehnt-Linie zur Zahl, die Sie bewerten, der niedriger ist als diese Zahl. Jahrzehnt-Linien beginnen an 1. Im nächsten Jahrzehnt ist Linie die erste Macht Ihrer Klotz-Basis. Weil Klotz 10 stützt, ist die erste Jahrzehnt-Linie 1, das zweite ist 10, das dritte ist 100 und so weiter.

Das Verhältnis von geradlinigen Werten ist die Zahl von Einheiten von der niedrigeren Jahrzehnt-Linie bis den Wert von Interesse (11 in diesem Beispiel, da die niedrigere Jahrzehnt-Linie in diesem Beispiel 1 ist) geteilt durch die Gesamtzahl von Einheiten zwischen der niedrigeren Jahrzehnt-Linie und die obere Jahrzehnt-Linie (die obere Jahrzehnt-Linie 10 in diesem Beispiel ist). Deshalb ist das geradlinige Verhältnis:

:11/19

Bemerken Sie, dass die Einheiten (1/32 Zoll) von der Gleichung entfernt werden, weil beide Maße in denselben Einheiten sind. Die Konvertierung zu einer einzelnen Einheit vor dem Rechnen des Verhältnisses ist erforderlich, wenn die Maße in verschiedenen Einheiten gemacht wurden.

Das logarithmische Verhältnis verwendet dieselben grafischen Maße wie das geradlinige Verhältnis. Der Unterschied zwischen dem Klotz der oberen Jahrzehnt-Linie (10) und dem Klotz der niedrigeren Jahrzehnt-Linie (1) vertritt dieselbe grafische Entfernung wie die Gesamtzahl von Einheiten zwischen den Zwei-Jahrzehnte-Linien im geradlinigen Verhältnis (19nds eines Zoll). Deshalb ist der niedrigere Teil des logarithmischen Verhältnisses (der unterste Teil des Bruchteils):

:log (10) -Klotz (1)

Der obere Teil des logarithmischen Verhältnisses (der Spitzenteil des Bruchteils) vertritt dieselbe grafische Entfernung wie die Zahl von Einheiten zwischen dem Wert von Interesse (Zahl von Riesen von Papier verkauft) und der niedrigeren Jahrzehnt-Linie im geradlinigen Verhältnis (11nds von einem Zoll). Das unbekannte in diesem Verhältnis ist der Wert von Interesse, den wir X nennen werden. Deshalb ist der Spitzenteil des Bruchteils:

:log (X) -Klotz (1)

Das logarithmische Verhältnis ist:

: [loggen Sie (X) -Klotz (1)] / [Klotz (10) -Klotz (1)]

Das geradlinige Verhältnis ist dem logarithmischen Verhältnis gleich. Deshalb ist die Gleichung, die erforderlich ist, die Zahl von Papierriesen zu bestimmen, verkauft an einem besonderen Tag:

:11/19 = [loggen Sie (X) -Klotz (1)] / [Klotz (10) -Klotz (1)]

Diese Gleichung kann mit der logarithmischen Definition umgeschrieben werden, die oben erwähnt ist:

:11/19 = Klotz (X/1) / Klotz (10)

Klotz (10) = 1, deshalb:

:11/19 = Klotz (X/1)

Um den "Klotz" von der richtigen Seite der Gleichung zu entfernen, müssen beide Seiten als Hochzahlen für die Nummer 10 verwendet werden, 10 zur Macht von 11/19 und 10 zur Macht des Klotzes (X/1) vorhabend. Die "Klotz"-Funktion und die "10 zur Macht der" Funktion sind gegenseitig und annullieren einander, abreisend:

:10 = X/1

Jetzt müssen beide Seiten mit 1 multipliziert werden. Während 1 aus dieser Gleichung herausfällt, ist es wichtig zu bemerken, dass die Nummer X dadurch geteilt wird, ist der Wert der niedrigeren Jahrzehnt-Linie. Wenn dieses beteiligte Beispiel zwischen 10 und 100 schätzt, würde die Gleichung X/10 statt X/1 einschließen.

:10 = X

X = 3.793 Riese von Papier.

Siehe auch

Einheiten der Information

  • Bit [loggt 2]
  • Byte 8 [loggt 2] = [loggen 256]
  • nat [loggen e]
  • Verbot [loggt 10]

Einheiten der Verhältnissignalkraft

Skala

Anwendungen

  • optische Dichte [loggt 10]

Links


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