Das Runden eines numerischen Werts bedeutet, es durch einen anderen Wert zu ersetzen, der ungefähr gleich ist, aber eine kürzere, einfachere oder ausführlichere Darstellung hat; zum Beispiel, 23.4476 $ durch 23.45 $, oder der Bruchteil 312/937 mit 1/3 oder dem Ausdruck 2 mit 1.414 ersetzend.

Das Runden wird häufig absichtlich getan, um einen Wert zu erhalten, der leichter ist, zu schreiben und zu behandeln, als das Original. Es kann auch getan werden, um die Genauigkeit einer geschätzten Zahl anzuzeigen; zum Beispiel wird eine Menge, die als 123,456 geschätzt wurde, aber bekannt ist, nur zu innerhalb von einigen hundert Einheiten genau zu sein, als "ungefähr 123,500 besser festgesetzt."

Andererseits stellt das Runden einige herum - vom Fehler im Ergebnis vor. Das Runden ist fast in vieler Berechnung — besonders unvermeidlich, wenn es zwei Zahlen in der ganzen Zahl oder Festkommaarithmetik teilt; wenn man mathematische Funktionen wie Quadratwurzeln, Logarithmen und Sinus schätzt; oder wenn man eine Schwimmpunkt-Darstellung mit einer festgelegten Zahl von positiven Ziffern verwendet. In einer Folge von Berechnungen wachsen diese Rundungsfehler allgemein an, und in bestimmten schlecht-bedingten Fällen können sie das Ergebnis sinnlos machen.

Das genaue Runden von transzendentalen mathematischen Funktionen ist schwierig, weil die Zahl von Extraziffern, die berechnet werden müssen, um sich aufzulösen, ob man zusammentreibt oder unten im Voraus nicht bekannt sein kann. Dieses Problem ist als "das Dilemma des Tabellenschöpfers" bekannt.

Das Runden hat viele Ähnlichkeiten zum quantization, der vorkommt, wenn physische Mengen durch Zahlen oder Digitalsignale verschlüsselt werden müssen.

Typen des Rundens

Typische sich rundende Probleme sind

• einer irrationalen Zahl durch einen Bruchteil, z.B, π durch 22/7 näher kommend;
• einem Bruchteil mit der periodischen dezimalen Vergrößerung durch einen begrenzten Dezimalbruch, z.B, 5/3 durch 1.6667 näher kommend;
• eine rationale Zahl durch einen Bruchteil mit dem kleineren Zähler und Nenner, z.B, 3122/9417 durch 1/3 ersetzend;
• eine Bruchdezimalzahl durch eine mit weniger Ziffern, z.B, 2.1784 Dollar durch 2.18 Dollar ersetzend;
• das Ersetzen einer dezimalen ganzen Zahl durch eine ganze Zahl mit mehr schleifenden Nullen, z.B, 23,217 Menschen durch 23,200 Menschen; oder, im Allgemeinen,
• das Ersetzen eines Werts durch ein Vielfache eines angegebenen Betrags, z.B, 27.2 Sekunden um 30 Sekunden (ein Vielfache 15).

Das Runden zu einer angegebenen Zunahme

Der allgemeinste Typ des Rundens ist zur Runde zu einer ganzen Zahl; oder, mehr allgemein, zu einer ganzen Zahl, die von einer Zunahme — wie das Runden zum ganzen Zehntel von Sekunden, den Hundertsteln eines Dollars, zu ganzen Vielfachen von 1/2 oder 1/8 Zoll, zu ganzen Dutzenden oder Tausenden usw. vielfach ist.

Im Allgemeinen eine Nummer x zu einem Vielfache von einer angegebenen Zunahme rund machend, hat M die folgenden Schritte zur Folge:

1. Teilen Sie x durch die M, lassen Sie das Ergebnis y sein;
2. Runde y zu einem Wert der ganzen Zahl, nennen Sie es q;
3. Multiplizieren Sie q mit der M, um den rund gemachten Wert z zu erhalten.

::

Zum Beispiel hat das Runden x = 2.1784 Dollar zu ganzen Cents (d. h., zu einem Vielfache 0.01) Computerwissenschaft y = x/m = 2.1784/0.01 = 217.84, dann das Runden y zur ganzen Zahl q = 218, und schließlich Computerwissenschaft z = q×m = 218×0.01 = 2.18 zur Folge.

Wenn

sie sich zu einer vorher bestimmten Zahl von positiven Ziffern, die Zunahme rundet, hängt M vom Umfang der Zahl ab, die (oder vom rund gemachten Ergebnis) rund zu machen ist.

Die Zunahme-M ist normalerweise ein begrenzter Bruchteil in beliebigem Zahl-System, das verwendet wird, um die Zahlen zu vertreten. Für die Anzeige Menschen, die gewöhnlich das Dezimalzahl-System bedeutet (d. h. ist M eine ganze Zahl Zeiten eine Macht 10, wie 1/1000 oder 25/100). Für in Digitalcomputern versorgte Zwischenwerte bedeutet es häufig das Binärzahl-System (M ist eine ganze Zahl Zeiten eine Macht 2).

Das abstrakte einzelne Argument "herum " Funktion, die eine ganze Zahl von einem willkürlichen echten Wert zurückgibt, hat mindestens ein Dutzend verschiedene konkrete Definitionen, die im Runden der Abteilung der ganzen Zahl präsentiert sind. Der Auszug zwei-Argumente-"herum " Funktion wird hier formell definiert, aber in vielen Fällen wird es mit dem impliziten Wert M = 1 für die Zunahme verwendet und nimmt dann zur gleichwertigen abstrakten Funktion des einzelnen Arguments, mit auch demselben Dutzend verschiedener konkreter Definitionen ab.

Das Runden zur ganzen Zahl

Die grundlegendste Form des Rundens soll eine beliebige Zahl durch eine ganze Zahl ersetzen. Alle folgenden sich rundenden Weisen sind konkrete Durchführungen des abstrakten einzelnen Arguments "herum " Funktion, die präsentiert und in den vorherigen Abteilungen verwendet ist.

Es gibt viele Weisen, eine Nummer y zu einer ganzen Zahl q rund zu machen. Die allgemeinsten sind

• runden Sie nach unten ab (oder, ergreifen Sie oder herum zu minus die Unendlichkeit das Wort): Q ist die größte ganze Zahl, die y nicht überschreitet.

:

• Zusammenfassung (oder nehmen die Decke, oder herum zu plus die Unendlichkeit): Q ist die kleinste ganze Zahl, die nicht weniger ist als y.

:

• herum zur Null (oder abgestutzt, oder herum weg von der Unendlichkeit): Q ist der Teil der ganzen Zahl von y ohne seine Bruchteil-Ziffern.

:

• herum weg von der Null (oder herum zur Unendlichkeit): Wenn y eine ganze Zahl ist, ist q y; sonst ist q die ganze Zahl, die an 0 am nächsten ist und solch ist, dass y zwischen 0 und q ist.

:

• herum zu am nächsten: Q ist die ganze Zahl, die an y am nächsten ist (sieh unten für Band brechende Regeln).

Die ersten vier Methoden werden das geleitete Runden genannt, weil die Versetzungen von der ursprünglichen Nummer y bis den rund gemachten Wert q alle zu oder weg von demselben Begrenzungswert (0, + , oder ) geleitet werden.

Wenn y positiv ist, rund unten dasselbe als Runde zur Null ist, und Zusammenfassung dasselbe als herum weg von der Null ist. Wenn y negativ ist, rund unten dasselbe so rund weg von der Null ist, und Zusammenfassung dasselbe ist wie Runde zur Null. Jedenfalls, wenn y ganze Zahl ist, ist q gerade y. Der folgende Tisch illustriert diese sich rundenden Methoden:

Wo viele Berechnungen in der Folge getan werden, kann die Wahl, Methode rund zu machen, eine sehr bedeutende Wirkung auf das Ergebnis haben. Ein berühmtes Beispiel hat einen neuen Index eingeschlossen, der von der Börse von Vancouver 1982 aufgestellt ist. Es wurde an 1000.000 (drei dezimale Plätze der Genauigkeit) am Anfang gesetzt, und nachdem 22 Monate zu ungefähr 520 gefallen waren — wohingegen Aktienpreise allgemein in der Periode zugenommen hatten. Das Problem wurde durch den Index werden wiederberechnet Tausende von Zeiten täglich verursacht, und immer zu 3 dezimalen Plätzen auf solche Art und Weise nach unten abgerundet werden, dass die Rundungsfehler angewachsen haben. Das Wiederrechnen mit dem besseren Runden hat einen Index-Wert von 1098.892 am Ende derselben Periode gegeben.

Band-Brechen

Das Runden einer Nummer y zur nächsten ganzen Zahl verlangt eine Band brechende Regel für jene Fälle, wenn y zwischen zwei ganzen Zahlen genau auf halbem Weg ist — d. h. wenn der Bruchteil-Teil von y genau 0.5 ist.

Runden Sie Hälfte ab

Die folgende Band brechende Regel, hat runde Hälfte aufgerufen (oder runde Hälfte zu plus die Unendlichkeit), wird in vielen Disziplinen weit verwendet. D. h. Werte auf halbem Weg y werden immer zusammengetrieben.

• Wenn der Bruchteil von y genau 0.5, dann q = y + 0.5 ist.

:

Zum Beispiel durch diese Regel wird der Wert 23.5 zu 24 rund gemacht, aber 23.5 wird zu 23 rund gemacht.

Das ist eine von zwei in elementaren US-Mathematik-Klassen allgemein unterrichteten Regeln.

Ohne die 0.5 Bruchteile würden die roundoff Fehler, die durch die Runde in die nächste Methode eingeführt sind, ziemlich symmetrisch sein: Für jeden Bruchteil, der (solcher als 0.268) zusammengetrieben wird, gibt es einen Ergänzungsbruchteil (nämlich, 0.732), der durch denselben Betrag nach unten abgerundet wird. Wenn sie einen großen Satz von Zahlen mit zufälligen Bruchteilen rund machen, würden diese Rundungsfehler einander statistisch entschädigen, und der erwartete (durchschnittliche) Wert der rund gemachten Zahlen würde dem erwarteten Wert der ursprünglichen Zahlen gleich sein.

Jedoch die runde Hälfte ist der Band brechenden Regel nicht symmetrisch, weil die Bruchteile, die genau 0.5 immer sind, zusammengetrieben werden. Diese Asymmetrie führt eine positive Neigung in den roundoff Fehlern ein. Zum Beispiel, wenn der Bruchteil von y aus drei zufälligen dezimalen Ziffern besteht, dann wird der erwartete Wert von q 0.0005 höher sein als der erwartete Wert von y. Deshalb herrscht die Runde-zu-nächst mit der runden Hälfte ist auch als das asymmetrische Runden (zweideutig) bekannt.

Ein Grund dafür, an 0.5 zusammenzutreiben, besteht darin, dass für positive Dezimalzahlen nur eine Ziffer untersucht werden muss. Wenn sie 17.50000... zum Beispiel sehen, beschließen die ersten drei Zahlen, 17.5, dass die Zahl zu 18 verhaftet würde. Das ist für negative Dezimalzahlen nicht wahr, wo zum Beispiel alle Zahlen des Ausdrucks-17.50000... untersucht werden müssen, um zu beschließen, dass er herum zu-17, als die dezimalen-17.500 sollte... 001 sollte herum zu-18.

Runden Sie Hälfte nach unten ab

Man kann auch verwenden runden Hälfte (oder runde Hälfte zu minus die Unendlichkeit) im Vergleich mit der allgemeineren runden Hälfte nach unten ab (die runde Hälfte der Methode ist eine allgemeine Tagung, aber ist nichts anderes als eine Tagung).

• Wenn der Bruchteil von y genau 0.5, dann q = y  0.5 ist.

:

Zum Beispiel, 23.5 wird zu 23 rund gemacht, und 23.5 wird zu 24 rund gemacht.

Die runde Hälfte unten ist der Band brechenden Regel nicht symmetrisch, weil die Bruchteile, die genau 0.5 immer sind, nach unten abgerundet werden. Diese Asymmetrie führt eine negative Neigung in den roundoff Fehlern ein. Zum Beispiel, wenn der Bruchteil von y aus drei zufälligen dezimalen Ziffern besteht, dann wird der erwartete Wert von q 0.0005 tiefer sein als der erwartete Wert von y. Deshalb herrscht die Runde-zu-nächst mit der runden Hälfte unten ist auch als das asymmetrische Runden (zweideutig) bekannt.

Runde Hälfte weg von der Null

Die andere Band brechende Methode hat allgemein unterrichtet und hat verwendet ist die runde Hälfte weg von der Null (oder runde Hälfte zur Unendlichkeit) nämlich:

• Wenn der Bruchteil von y genau 0.5 ist, dann q = y + 0.5, wenn y, und q = y  0.5 positiv ist, wenn y negativ ist.

:

Zum Beispiel, 23.5 wird zu 24 rund gemacht, und 23.5 wird zu 24 rund gemacht.

Diese Methode behandelt positive und negative Werte symmetrisch, und ist deshalb frei von der gesamten Neigung, wenn die ursprünglichen Zahlen positiv oder mit der gleichen Wahrscheinlichkeit negativ sind. Jedoch wird diese Regel noch eine positive Neigung für positive Zahlen und eine negative Neigung für die negativen einführen.

Es wird häufig für Währungsumstellungen und Preis roundings verwendet (wenn der Betrag zuerst in die kleinste bedeutende Unterteilung der Währung, wie Cents eines Euro umgewandelt wird), weil es leicht ist zu erklären, indem es gerade die erste Bruchziffer, unabhängig von ergänzenden Präzisionsziffern oder Zeichen des Betrags (für die strenge Gleichwertigkeit zwischen dem Zahlen und Empfänger des Betrags) gedacht wird.

Runde Hälfte zur Null

Man kann auch runde Hälfte zur Null (oder runde Hälfte weg von der Unendlichkeit) im Vergleich mit der allgemeineren runden Hälfte weg von der Null (ist die runde Hälfte weg von der Nullmethode eine allgemeine Tagung, aber ist nichts anderes als eine Tagung).

• Wenn der Bruchteil von y genau 0.5 ist, dann q = y  0.5, wenn y, und q = y + 0.5 positiv ist, wenn y negativ ist.

:

Zum Beispiel, 23.5 wird zu 23 rund gemacht, und 23.5 wird zu 23 rund gemacht.

Diese Methode behandelt auch positive und negative Werte symmetrisch, und ist deshalb frei von der gesamten Neigung, wenn die ursprünglichen Zahlen positiv oder mit der gleichen Wahrscheinlichkeit negativ sind. Jedoch wird diese Regel noch eine negative Neigung für positive Zahlen und eine positive Neigung für die negativen einführen.

Runde Hälfte zu sogar

Eine Band brechende Regel, die noch weniger beeinflusst wird, ist runde Hälfte zu sogar, nämlich

• Wenn der Bruchteil von y 0.5 ist, dann ist q die gleiche ganze Zahl am nächsten zu y.

So, zum Beispiel, +23.5 wird +24, +22.5 wird +22, 22.5 wird 22, und 23.5 wird 24.

Diese Methode behandelt auch positive und negative Werte symmetrisch, und ist deshalb frei von der gesamten Neigung, wenn die ursprünglichen Zahlen positiv oder mit der gleichen Wahrscheinlichkeit negativ sind. Außerdem, für den grössten Teil angemessenen Vertriebs von Y-Werten, ist der erwartete (durchschnittliche) Wert der rund gemachten Zahlen im Wesentlichen dasselbe als diese der ursprünglichen Zahlen, selbst wenn die Letzteren alle (oder die ganze Verneinung) positiv sind. Jedoch wird diese Regel noch eine positive Neigung für gerade Zahlen (einschließlich der Null) und eine negative Neigung für die sonderbaren einführen.

Diese Variante der Methode der Runde-zu-nächst wird auch das unvoreingenommene Runden, konvergente Runden, das Runden des Statistikers, holländische Runden, Runden von Gaussian, sonderbar-gleiche Runden oder das Runden von Bankiers genannt. Das wird in der Buchhaltung weit verwendet.

Das ist die Verzug-Runden-Weise, die in IEEE 754 Rechenfunktionen und Maschinenbediener verwendet ist.

Runde Hälfte zum sonderbaren

Eine andere Band brechende Regel, die der runden Hälfte zu sogar, nämlich sehr ähnlich

ist

• Wenn der Bruchteil von y 0.5 ist, dann ist q die sonderbare ganze Zahl am nächsten zu y.

So, zum Beispiel, +22.5 wird +23, +21.5 wird +21, 21.5 wird 21, und 22.5 wird 23.

Diese Methode behandelt auch positive und negative Werte symmetrisch, und ist deshalb frei von der gesamten Neigung, wenn die ursprünglichen Zahlen positiv oder mit der gleichen Wahrscheinlichkeit negativ sind. Außerdem, für den grössten Teil angemessenen Vertriebs von Y-Werten, ist der erwartete (durchschnittliche) Wert der rund gemachten Zahlen im Wesentlichen dasselbe als diese der ursprünglichen Zahlen, selbst wenn die Letzteren alle (oder die ganze Verneinung) positiv sind. Jedoch wird diese Regel noch eine negative Neigung für gerade Zahlen (einschließlich der Null) und eine positive Neigung für die sonderbaren einführen.

Diese Variante wird fast im grössten Teil der Berechnung nie verwendet, außer in Situationen, wo man vermeiden will, sich 0.5 oder 0.5 zur Null zu runden oder zu vermeiden, die Skala von Zahlen vertreten als schwimmen lassend Punkt zu vergrößern (mit beschränkten Reihen für die kletternde Hochzahl), so dass eine nicht unendliche Zahl herum zum Unendliche würde, oder dass ein kleiner Denormal-Wert herum zu einem normalen Nichtnullwert würde (diese konnten mit der runden Hälfte zu sogar der Weise vorkommen). Effektiv zieht diese Weise es vor, die vorhandene Skala von Band-Zahlen zu bewahren, aus Reihe-Ergebnissen, wenn möglich, vermeidend.

Das stochastische Runden

Eine andere unvoreingenommene Band brechende Methode ist das stochastische Runden:

• Wenn der Bruchteil von y.5 ist, wählen Sie q zufällig unter y + 0.5 und y  0.5, mit der gleichen Wahrscheinlichkeit.

Wie runde Hälfte zu sogar ist diese Regel im Wesentlichen frei von der gesamten Neigung; aber es ist auch unter sogar und sonderbare Q-Werte schön. Andererseits führt es einen zufälligen Bestandteil ins Ergebnis ein; das Durchführen derselben Berechnung zweimal auf denselben Daten kann zwei verschiedene Ergebnisse nachgeben. Außerdem ist es für die unterbewusste Neigung offen, wenn Menschen (aber nicht Computer oder Geräte der Chance) in der Richtung zur Runde "zufällig" entscheiden.

Abwechselndes Band-Brechen

Eine Methode, die dunkler ist als die meisten, ist runde Hälfte abwechselnd.

• Wenn der Bruchteil 0.5, abwechselnde Zusammenfassung ist und runden Sie nach unten ab: Für das erste Ereignis eines 0.5 Bruchteils, treiben Sie zusammen; für das zweite Ereignis, runden Sie nach unten ab; so auf so hervor.

Das unterdrückt den zufälligen Bestandteil des Ergebnisses, wenn Ereignisse von 0.5 Bruchteilen effektiv numeriert werden können. Aber es kann noch eine positive oder negative Neigung gemäß der Richtung einführen, sich zugeteilt dem ersten Ereignis zu runden, wenn die Gesamtzahl von Ereignissen seltsam ist.

Das Zappeln und Fehlerverbreitung

Wenn

sie dauernde Signale, zum Beispiel Images oder Ton digitalisiert, ist die gesamte Wirkung mehrerer Maße wichtiger als die Genauigkeit jedes individuellen Maßes. In diesen Verhältnissen werden das Zappeln und eine zusammenhängende Technik-Fehlerverbreitung normalerweise verwendet. Eine zusammenhängende Technik hat gerufen Pulsbreite-Modulation wird verwendet, um Entsprechungstyp-Produktion von einem Trägheitsgerät durch das schnelle Pulsieren die Macht mit einem variablen Aufgabe-Zyklus zu erreichen.

Im einfachen Zappeln wird jeder Betrag mit einer Wahrscheinlichkeit zusammengetrieben, die seinem Bruchteil gleich ist, und hat sonst nach unten abgerundet. Ohne zu bibbern würde ein allmählicher Hang in eine Schritt-Funktion verwandelt. Mit dem Zappeln des Signals kommt durchschnittlich dem Hang viel besser näher, aber hat ein Geräusch, normalerweise ist das viel in Images und Ton weniger nicht einwandfrei. Halbton ist eine Weise, eine nichtzufällige Aufregung anzuwenden, die im Vorteil ist, leicht zu sein, sich anzupassen, um gute graue Darstellung, wenn verwendet, mit Tinte zu erzeugen, die sich ein bisschen ausbreiten kann.

Fehlerverbreitung versucht sicherzustellen, dass der Fehler durchschnittlich minimiert wird. Wenn, sich mit einem sanften Hang von einem bis Null befassend, die Produktion Null für die ersten paar Begriffe bis zur Summe des Fehlers sein würde und der aktuelle Wert größer wird als 0.5, in welchem Fall 1 Produktion und der Unterschied ist, der vom Fehler bis jetzt abgezogen ist. Floyd-Steinberg, der bibbert, ist ein populäres Fehlerverbreitungsverfahren, wenn er Images digitalisiert.

Das Runden zu einfachen Bruchteilen

In einigen Zusammenhängen ist es zur Runde eine gegebene Nummer x zu einem "ordentlichen" Bruchteil — d. h. der nächste Bruchteil z = m/n wünschenswert

wessen Zähler M und Nenner n kein gegebenes Maximum überschreiten. Dieses Problem ist von diesem des Rundens eines Werts zu einer festgelegten Zahl von dezimalen oder binären Ziffern, oder zu einem Vielfache einer gegebenen Einheit M ziemlich verschieden. Dieses Problem ist mit Folgen von Farey, dem Strengen-Brocot Baum verbunden, und hat Bruchteile fortgesetzt.

Das schuppige Runden

Dieser Typ des Rundens, das auch genannt wird, sich zu einer logarithmischen Skala rundend, ist eine Variante des Rundens zu einer angegebenen Zunahme. Das Runden auf einer logarithmischen Skala wird durch die Einnahme des Klotzes des Betrags und das Tun des normalen Rundens zum nächsten Wert auf der Klotz-Skala vollbracht.

Zum Beispiel werden Widerstände mit bevorzugten Zahlen auf einer logarithmischen Skala geliefert. Zum Beispiel für Widerstände mit 10-%-Genauigkeit werden sie mit nominellen Werten 100, 121, 147, 178, 215 usw. geliefert. Wenn eine Berechnung anzeigt, dass ein Widerstand von 165 Ohm erforderlich ist, dann loggen (147) =2.167, loggen (165) =2.217 und loggen (178) =2.250. Der Logarithmus 165 ist am Logarithmus 178 deshalb näher ein 178-Ohm-Widerstand würde die erste Wahl sein, wenn es keine anderen Rücksichten gibt.

Herum zum verfügbaren Wert

Beendetes Gerümpel, Schreibpapier, Kondensatoren und viele andere Produkte werden gewöhnlich in nur einigen Standardgrößen verkauft.

Viele Designverfahren beschreiben, wie man einen ungefähren Wert, und dann "herum" zu einer Standardgröße mit Ausdrücken berechnet, die "zum nächsten Vergleichswert nach unten abrunden" "treiben zum nächsten Vergleichswert", oder "herum zum nächsten Vergleichswert" zusammen.

Wenn eine Reihe bevorzugter Werte auf einer logarithmischen Skala, ebenso unter Drogeneinfluss

ist

Die Auswahl des nächsten bevorzugten Werts zu jedem gegebenen Wert kann als eine Art schuppiges Runden gesehen werden.

Solche "rund gemachten" Werte können direkt berechnet werden.

Das Schwimmpunkt-Runden

In der Fließkommaarithmetik, Ziele rund machend, einen gegebenen Wert x in einen Wert z mit einer bestimmten Anzahl von positiven Ziffern zu drehen. Mit anderen Worten sollte z ein Vielfache einer Zahl M sein, die vom Umfang von z abhängt. Die Zahl M ist eine Macht der Basis (gewöhnlich 2 oder 10) der Schwimmpunkt-Darstellung.

Abgesondert von diesem Detail gelten alle Varianten, sich besprochen zu runden, oben für das Runden von Schwimmpunkt-Zahlen ebenso. Der Algorithmus für solches Runden wird in der Schuppigen sich rundenden Abteilung oben präsentiert, aber mit einem unveränderlichen Skalenfaktor stützen s=1, und eine ganze Zahl b> 1.

Für Ergebnisse, wo das rund gemachte Ergebnis das Ergebnis für ein geleitetes Runden überfluten würde, ist entweder die passende unterzeichnete Unendlichkeit, oder die höchste wiederpräsentable positive begrenzte Zahl (oder die niedrigste wiederpräsentable negative begrenzte Zahl, wenn x negativ ist), abhängig von der Richtung des Rundens. Das Ergebnis einer Überschwemmung für den üblichen Fall der Runde dazu ist sogar immer die passende Unendlichkeit.

Außerdem, wenn das rund gemachte Ergebnis Unterlauf würde, d. h. wenn die Hochzahl den niedrigsten wiederpräsentablen Wert der ganzen Zahl überschreiten würde, kann das wirksame Ergebnis irgendein Null sein (vielleicht hat unterzeichnet, wenn die Darstellung eine Unterscheidung dessen aufrechterhalten kann, bestätigt zeroes), oder die kleinste wiederpräsentable positive begrenzte Zahl (oder die höchste wiederpräsentable negative begrenzte Zahl, wenn x negativ ist), vielleicht eine denormal positive oder negative Zahl (wenn der mantissa alle seine positiven Ziffern versorgt, in welchem Fall der grösste Teil der positiven Ziffer noch in einer niedrigeren Position durch das Setzen der höchsten versorgten Ziffern auf die Null versorgt werden kann, und das mantissa versorgt hat, lässt den grössten Teil der positiven Ziffer, etwas nicht fallen, was möglich ist, wenn Basis b=2, weil der grösste Teil der positiven Ziffer immer 1 in dieser Basis ist), abhängig von der Richtung des Rundens. Das Ergebnis eines Unterlaufs für den üblichen Fall der Runde dazu ist sogar immer die passende Null.

Das doppelte Runden

Wie man

versichert, gibt das Runden einer Zahl zweimal in der Folge zur verschiedenen Präzision, mit der letzten Präzision, die rauer ist, dasselbe Ergebnis wie das Runden einmal zur Endpräzision außer im Fall vom geleiteten Runden nicht. Zum Beispiel gibt das Runden 9.46 zu einer Dezimalzahl 9.5, und dann 10, wenn es zum Verwenden-Runden der ganzen Zahl Hälfte zu sogar rund macht, aber würde 9, wenn rund gemacht, der ganzen Zahl direkt geben.

Einige Computersprachen und der IEEE 754-2008 Standard diktiert, dass in aufrichtigen Berechnungen das Ergebnis zweimal nicht rund gemacht werden sollte. Das ist ein besonderes Problem mit Java gewesen, weil es entworfen wird, um identisch auf verschiedenen Maschinen geführt zu werden, haben spezielle Programmiertricks verwendet werden müssen, um das mit dem X87-Schwimmen-Punkt zu erreichen.

Die javanische Sprache wurde geändert, um verschiedene Ergebnisse zu erlauben, wo der Unterschied nicht von Bedeutung ist und verlangt, dass ein strictfp Qualifikator verwendet wird, wenn sich die Ergebnisse genau anpassen müssen.

Genaue Berechnung mit der rund gemachten Arithmetik

Es ist möglich, rund gemachte Arithmetik zu verwenden, um den genauen Wert einer Funktion mit einem getrennten Gebiet und Reihe zu bewerten. Zum Beispiel, wenn wir wissen, dass eine ganze Zahl n ein vollkommenes Quadrat ist, können wir rechnen seine Quadratwurzel durch das Umwandeln n zu einem Schwimmpunkt schätzen x, die Computerwissenschaft der ungefähren Quadratwurzel y x mit dem Schwimmpunkt, und dann das Runden y zur nächsten ganzen Zahl q. Wenn n nicht zu groß ist, wird der Schwimmpunkt roundoff Fehler in y weniger als 0.5 sein, so wird der rund gemachte Wert q die genaue Quadratwurzel von n sein. In den meisten modernen Computern kann diese Methode viel schneller sein als Computerwissenschaft der Quadratwurzel von n durch einen Algorithmus der vollganzen Zahl.

Das Dilemma des Tabellenschöpfers

William Kahan hat den Begriff "das Dilemma des Tabellenschöpfers" für die unbekannten Kosten ins Leben gerufen, transzendente Funktionen rund zu machen:

Die IEEE, die Punkt-Standardgarantien schwimmen lassen, die beitragen, machen Sie Abstriche, multiplizieren Sie, teilen Sie sich, Quadratwurzel, und Punkt-Rest schwimmen lassend, wird das richtig rund gemachte Ergebnis der unendlichen Präzisionsoperation geben. Keine solche Garantie wurde im 1985-Standard für kompliziertere Funktionen gegeben, und sie sind normalerweise nur zu innerhalb des letzten Bit genau bestenfalls. Jedoch versichert der 2008-Standard, dass das Anpassen von Durchführungen richtig rund gemachte Ergebnisse geben wird, die die aktive sich rundende Weise respektieren, ist die Durchführung der Funktionen jedoch fakultativ.

Mit dem Lehrsatz von Gelfond-Schneider und Lindemann-Weierstrass Lehrsatz, wie man beweisen kann, geben viele der Standardelementarfunktionen transzendentale Ergebnisse, wenn gegeben, vernünftige Nichtnullargumente zurück; deshalb ist es immer richtig um solche Funktionen möglich. Jedoch eine Grenze für eine gegebene Präzision darauf bestimmend, wie genaue Ergebnisse geschätzt werden müssen, bevor kann ein richtig rund gemachtes Ergebnis versichert werden kann viel Berechnungszeit fordern.

Es gibt einige Pakete ringsherum jetzt wo Angebot das richtige Runden. Das GNU MPFR Paket gibt richtig rund gemachte willkürliche Präzisionsergebnisse. Einige andere Bibliotheken führen Elementarfunktionen mit dem richtigen Runden in der doppelten Präzision durch:

• Der libultim von IBM, im Runden zum nächsten nur.
• Sonne-Mikrosystemlibmcr, in den 4 sich rundenden Weisen.
• CRlibm, der in der Mannschaft von Arénaire (LIPPE, ENS Lyon) geschrieben ist. Es unterstützt die 4 sich rundenden Weisen und wird bewiesen.

Dort bestehen Sie berechenbare Zahlen, die ein rund gemachter Wert nie bestimmt werden kann, egal wie viele Ziffern berechnet werden. Spezifische Beispiele können nicht gegeben werden, aber das folgt aus der Unentscheidbarkeit des stockenden Problems. Zum Beispiel, wenn die Vermutung von Goldbach wahr, aber dann unbeweisbar ist, kann das Ergebnis, den folgenden Wert bis zur folgenden ganzen Zahl rund zu machen, nicht bestimmt werden: 10, wo n die erste gerade Zahl ist, die größer ist als 4, der nicht die Summe von zwei Blüte, oder 0 ist, wenn es keine solche Zahl gibt. Das Ergebnis ist 1, wenn solch eine Zahl besteht und 0, wenn keine solche Zahl besteht. Dem Wert vor dem Runden kann jedoch zu jeder gegebenen Präzision näher gekommen werden, selbst wenn die Vermutung unbeweisbar ist.

Geschichte

Das Konzept des Rundens ist sehr alt, vielleicht älter sogar als das Konzept der Abteilung. Einige alte in Mesopotamia gefundene Tonblöcke enthalten Tische mit rund gemachten Werten von Gegenstücken und Quadratwurzeln in der Basis 60.

Rund gemachte Annäherungen an π, die Länge des Jahres und die Länge des Monats sind auch alt — sieh Basis

60#Examples.

Die Methode der Runde-zu-gleich hat als der ASTM (E-29) Standard seit 1940 gedient. Der Ursprung der Begriffe das unvoreingenommene Runden und das Runden des Statistikers ist ziemlich für sich sprechend. 1906 4. Ausgabe der Wahrscheinlichkeit und Theorie von Fehlern Robert Simpson Woodward hat das "die Regel des Computers" genannt anzeigend, dass es dann in der üblichen Anwendung durch menschliche Computer war, wer mathematische Tische berechnet hat. Das 1947 Papier von Churchill Eisenhart "Effekten des Rundens oder der Gruppierung von Daten" (in Ausgewählten Techniken der Statistischen Analyse, McGrawHills, 1947, Eisenhart, Hastay, und Wallis, Redakteure) hat angezeigt, dass die Praxis bereits" in der Datenanalyse "gut gegründet wurde.

Der Ursprung der Begriff-Bankiers das Runden bleibt dunkler. Wenn diese sich rundende Methode jemals ein Standard im Bankwesen war, haben sich die Beweise äußerst schwierig erwiesen zu finden. Zum Gegenteil meldet der Abschnitt 2 der Europäischen Kommission Die Einführung des Euro, und das Runden von Währungsbeträgen weist darauf hin, dass es vorher keine Standardannäherung an das Runden im Bankwesen gegeben hatte; und es gibt an, dass Beträge "auf halbem Weg" zusammengetrieben werden sollten.

Bis zu den 1980er Jahren wurde die sich rundende in der Schwimmpunkt-Computerarithmetik verwendete Methode gewöhnlich durch die Hardware, schlecht dokumentiert, inkonsequent, und verschieden für jede Marke und Modell des Computers befestigt. Diese Situation hat sich geändert nach dem IEEE wurde 754 Schwimmpunkt-Standard von den meisten Computerherstellern angenommen. Der Standard erlaubt dem Benutzer, unter mehreren sich rundenden Weisen zu wählen, und in jedem Fall gibt genau an, wie die Ergebnisse rund gemacht werden sollten. Diese Eigenschaften haben numerische Berechnung voraussagbarer und maschinenunabhängig gemacht, und haben möglich die effiziente und konsequente Durchführung der Zwischenraum-Arithmetik gemacht.

Das Runden von Funktionen auf Programmiersprachen

Die meisten Programmiersprachen stellen Funktionen oder spezielle Syntax zu runden Bruchzahlen auf verschiedene Weisen zur Verfügung. Die frühsten numerischen Sprachen, wie FORTRAN und C, würden nur eine Methode, gewöhnlich Stutzung (zur Null) zur Verfügung stellen. Diese Verzug-Methode konnte in bestimmten Zusammenhängen, solcher als einbezogen werden, als man eine Bruchzahl einer Variable der ganzen Zahl zugeteilt hat, oder eine Bruchzahl als ein Index einer Reihe verwendet hat. Andere Arten des Rundens mussten ausführlich programmiert werden; zum Beispiel konnte das Runden einer positiven Zahl zur nächsten ganzen Zahl durch das Hinzufügen 0.5 und das Beschneiden durchgeführt werden.

In den letzten Jahrzehnten, jedoch, haben die Syntax und/oder die Standardbibliotheken von den meisten Sprachen mindestens die vier grundlegenden sich rundenden Funktionen (unten, zum nächsten, und zur Null) allgemein zur Verfügung gestellt. Die Band brechende Methode kann sich ändern, die Sprache und Version abhängend, und/oder kann selectable durch den Programmierer sein. Mehrere Sprachen folgen der Leitung des IEEE-754 Schwimmpunkt-Standards, und definieren diese Funktionen als Einnahme eines doppelten Präzisionsarguments der Hin- und Herbewegung und das Zurückbringen des Ergebnisses desselben Typs, der dann zu einer ganzen Zahl nötigenfalls umgewandelt werden kann. Seit dem IEEE hat doppeltes Präzisionsformat 52 Bruchteil-Bit, diese Annäherung kann vermeiden, dass unechte Überschwemmungen auf Sprachen ganze 32-Bit-Zahlen haben. Einige Sprachen, wie PHP, stellen Funktionen das um einen Wert zu einer bestimmten Anzahl von dezimalen Ziffern, z.B von 4321.5678 bis 4321.57 oder 4300 zur Verfügung. Außerdem stellen viele Sprachen einen printf oder ähnliche Schnur-Formatierungsfunktion zur Verfügung, die erlaubt, eine Bruchzahl zu einer Schnur umzuwandeln, die zu einem bestimmten Anzahl des Benutzer-von dezimalen Plätzen (die Präzision) rund gemacht ist. Andererseits ist Stutzung (herum zur Null) noch die Verzug-Runden-Methode, die durch viele Sprachen besonders für die Abteilung von zwei Werten der ganzen Zahl verwendet ist.

Auf dem Gegenteil definieren CSS und SVG keine spezifische maximale Präzision für Zahlen und Maße, die behandelt und in ihrem DOM und in ihrer IDL-Schnittstelle als Schnuren ausgestellt werden, als ob sie unendliche Präzision hatten, und unterscheiden Sie zwischen ganzen Zahlen nicht und Punkt-Werte schwimmen lassend; jedoch werden die Durchführungen dieser Sprachen normalerweise diese Zahlen in IEEE-754 doppelte Schwimmpunkte vor dem Herausstellen der geschätzten Ziffern mit einer beschränkten Präzision umwandeln (namentlich innerhalb von normalem Javascript, oder ECMAScript verbinden bindings).

Andere sich rundende Standards

Einige Disziplinen oder Einrichtungen haben Standards oder Direktiven für das Runden ausgegeben.

Amerikanische Wetterbeobachtungen

In einer Mitte 1966 ausgegebenen Richtlinie hat das amerikanische Büro des Bundeskoordinators für die Meteorologie beschlossen, dass Wetterdaten zur nächsten runden Zahl, mit der "runden Hälfte" Band brechende Regel rund gemacht werden sollten. Zum Beispiel sollten 1.5 rund gemachte zur ganzen Zahl 2 werden, und 1.5 sollte 1 werden. Vor diesem Datum war die Band brechende Regel "runde Hälfte weg von der Null".

Negative Null in der Meteorologie

Einige Meteorologen können "−0" schreiben, um eine Temperatur zwischen 0.0 und −0.5 (exklusive) Grade anzuzeigen, der zur ganzen Zahl rund gemacht wurde. Diese Notation wird verwendet, wenn das negative Zeichen wichtig betrachtet wird, egal wie klein der Umfang ist; zum Beispiel, wenn man Temperaturen in der Celsiusskala rund macht, zeigt wo unter Null, das Einfrieren an.

Siehe auch

• Falsche Präzision
• Die genauen Tische des Mädchens
• Zwischenraum-Arithmetik
• Summierungsalgorithmus von Kahan
• Nächste Funktion der ganzen Zahl
• Herum - vom Fehler
• Bedeutende Zahlen
• Stutzung
• Unterzeichnete Null
• Das schwedische Runden, um den Gebrauch von Münzen des äußerst niedrigen Werts zu vermeiden

Links

• Eine Einführung in verschiedene sich rundende Algorithmen, die für ein allgemeines Publikum zugänglich, aber für diejenigen besonders nützlich ist, die Informatik und Elektronik studieren.
• Eine ganze Behandlung des mathematischen Rundens. durch John Kennedy
• Wie man das kundenspezifische Runden von Verfahren durch Microsoft einsetzt