Lassen Sie M 2n×2n Matrix mit echten Einträgen sein. Dann wird M eine symplectic Matrix genannt, wenn sie die Bedingung befriedigt

wo M das Umstellen der M anzeigt und Ω ein fester nichtsingulärer ist, verdrehen Sie - symmetrische Matrix. Normalerweise wird Ω gewählt, um die Block-Matrix zu sein

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\begin {bmatrix }\

0 & I_n \\- I_n & 0 \\\end {bmatrix} </Mathematik>

wo ich n&times;n Identitätsmatrix bin. Bemerken Sie, dass Ω Determinante +1 hat und ein Gegenteil durch Ω = Ω = &minus;. geben ließ

Eigenschaften

Jede symplectic Matrix ist invertible mit der umgekehrten durch gegebenen Matrix

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Außerdem ist das Produkt von zwei symplectic matrices, wieder, eine symplectic Matrix. Das gibt den Satz des ganzen symplectic matrices die Struktur einer Gruppe. Dort besteht eine natürliche mannigfaltige Struktur auf dieser Gruppe, die sie in macht (echt oder kompliziert) Liegen, hat Gruppe die symplectic Gruppe genannt. Die symplectic Gruppe hat Dimension n (2n + 1).

Es folgt leicht aus der Definition, dass die Determinante jeder symplectic Matrix ±1 ist. Wirklich stellt es sich heraus, dass die Determinante immer +1 ist. Eine Weise, das zu sehen, ist durch den Gebrauch von Pfaffian und der Identität

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Seitdem und haben wir das det (M) = 1.

Nehmen Sie an, dass Ω in der Standardform gegeben wird und lassen Sie M 2n&times;2n sein, blockieren durch gegebene Matrix

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wo A, B, C, D n&times;n matrices sind. Die Bedingung für die M, um symplectic zu sein, ist zu den Bedingungen gleichwertig

:::

Wenn n = 1 diese Bedingungen zur einzelnen Bedingung det (M) = 1 abnehmen. So 2&times;2 ist Matrix symplectic iff es hat Einheitsdeterminante.

Transformationen von Symplectic

In der abstrakten Formulierung der geradlinigen Algebra werden matrices durch geradlinige Transformationen von endlich-dimensionalen Vektorräumen ersetzt. Das abstrakte Analogon einer symplectic Matrix ist eine symplectic Transformation eines symplectic Vektorraums. Kurz ist ein symplectic Vektorraum ein 2n-dimensional Vektorraum V ausgestattet mit einem nichtdegenerierten, verdrehen Sie - symmetrische bilineare Form ω hat die Symplectic-Form genannt.

Eine symplectic Transformation ist dann eine geradlinige Transformation L: V  V, der ω bewahrt, d. h.

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Eine Basis für V befestigend, kann ω als eine Matrix Ω und L als eine MatrixM geschrieben werden. Die Bedingung, dass L, eine symplectic Transformation sein, genau die Bedingung dass M ist, eine symplectic Matrix sein:

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Unter einer Änderung der Basis, die durch eine Matrix A vertreten ist, haben wir

::

Man kann immer Ω zu jeder der Standardformen bringen, die in der Einführung durch eine passende Wahl von A gegeben sind.

Die Matrix Ω

Symplectic matrices werden hinsichtlich eines festen nichtsingulären definiert, verdrehen - symmetrische Matrix Ω. Wie erklärt, in der vorherigen Abteilung kann von Ω gedacht werden, weil die Koordinatendarstellung eines nichtdegenerierten - symmetrische bilineare Form verdreht. Es ist ein grundlegendes Ergebnis in der geradlinigen Algebra, dass sich irgendwelche zwei solche matrices von einander durch eine Änderung der Basis unterscheiden.

Die allgemeinste Alternative zum Standard Ω gegeben ist oben die Block-Diagonale-Form

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\begin {Matrix} 0 & 1 \\-1 & 0\end {Matrix} & & 0 \\

& \ddots & \\

0 & & \begin {Matrix} 0 & 1 \\-1 & 0\end {Matrix-}\

\end {bmatrix}. </Mathematik>

Diese Wahl unterscheidet sich von der vorherigen durch eine Versetzung von Basisvektoren.

Manchmal wird die Notation J statt Ω für das Verdrehen - symmetrische Matrix verwendet. Das ist eine besonders unglückliche Wahl, weil sie zu Verwirrung mit dem Begriff einer komplizierten Struktur führt, die häufig denselben Koordinatenausdruck wie Ω hat, aber eine sehr verschiedene Struktur vertritt. Eine komplizierte Struktur J ist die Koordinatendarstellung einer geradlinigen Transformation, die Quadrate zu &minus;1, wohingegen Ω die Koordinatendarstellung eines nichtdegenerierten ist - symmetrische bilineare Form verdrehen. Man konnte Basen leicht wählen, in denen J nicht ist, verdrehen - symmetrisch, oder Ω tut nicht quadratisch zu

&minus;1.

In Anbetracht einer hermitian Struktur auf einem Vektorraum sind J und Ω über verbunden

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wo das metrische ist. Das J und Ω haben gewöhnlich denselben Koordinatenausdruck (bis zu einem gesamten Zeichen) ist einfach eine Folge der Tatsache, dass der metrische g gewöhnlich die Identitätsmatrix ist.

Komplex matrices

Wenn stattdessen M 2n&times;2n Matrix mit komplizierten Einträgen ist, ist die Definition überall in der Literatur nicht normal. Viele Autoren passen die Definition oben zu an

wo M anzeigt, dass die verbundenen von der M umstellen. Andere Autoren behalten die Definition für den Komplex matrices und rufen matrices, die befriedigen, konjugieren symplectic.

Siehe auch

• Symplectic-Vektorraum
• Symplectic-Gruppe
• Symplectic-Darstellung
• orthogonale Matrix
• einheitliche Matrix

Mechanik von Hamiltonian

Links