In der Mathematik kann sich der Name symplectic Gruppe auf zwei verschiedene beziehen, aber nah verbunden, Typen von mathematischen Gruppen, hat Sp (2n, F) und Sp (n) angezeigt. Der Letztere wird manchmal die symplectic Kompaktgruppe genannt, um es vom ersteren zu unterscheiden. Viele Autoren bevorzugen ein bisschen verschiedene Notationen, gewöhnlich sich durch Faktoren 2 unterscheidend. Die Notation verwendet hier ist mit der Größe des matrices im Einklang stehend, der verwendet ist, um die Gruppen zu vertreten. In der Klassifikation von Cartan der einfachen Lüge-Algebra, der Lüge-Algebra der komplizierten Gruppe wird Sp (2n, C) C angezeigt, und Sp (n) ist die echte Kompaktform von Sp (2n, C).

Der Name "symplectic Gruppe" ist wegen Hermann Weyls (Details) als ein Ersatz für die vorherigen verwirrenden Namen (der Linie) Komplex-Gruppe und Gruppe von Abelian, und ist das griechische Analogon "des Komplexes".

Sp (2n, F)

Die symplectic Gruppe des Grads 2n über Feld F, angezeigter Sp (2n, F), ist die Gruppe 2n durch 2n symplectic matrices mit Einträgen in F, und mit der Gruppenoperation diese der Matrixmultiplikation. Seit dem ganzen symplectic haben matrices Determinante 1, die symplectic Gruppe ist eine Untergruppe der speziellen geradlinigen Gruppe SL (2n, F).

Abstrakter kann die symplectic Gruppe als der Satz von geradlinigen Transformationen eines 2n-dimensional Vektorraums über F definiert werden, die einen nichtdegenerierten bewahren, - symmetrische, bilineare Form verdrehen. Solch ein Vektorraum wird einen symplectic Vektorraum genannt. Die symplectic Gruppe eines Auszugs symplectic Vektorraum V ist auch angezeigter Sp (V).

Wenn n = 1, die symplectic Bedingung auf einer Matrix zufrieden ist, ob, und nur wenn die Determinante ein, so dass Sp (2, F) = SL (2, F) ist. Für n> 1 gibt es zusätzliche Bedingungen, d. h. Sp (2n, F) ist dann eine richtige Untergruppe von SL (2n, F).

Gewöhnlich ist Feld F das Feld von reellen Zahlen, R, oder komplexe Zahlen, C. In diesem Fall ist Sp (2n, F) eine echte/komplizierte Lüge-Gruppe der echten/komplizierten Dimension n (2n + 1). Diese Gruppen werden verbunden, aber nichtkompakt. Sp (2n, C) wird einfach verbunden, während Sp (2n, R) eine grundsätzliche zu Z isomorphe Gruppe hat.

Die Lüge-Algebra von Sp (2n, F) wird durch den Satz 2n×2n matrices gegeben (mit Einträgen in F), die befriedigen

:

wo das Umstellen von A ist und Ω das Verdrehen - symmetrische Matrix ist

:

\begin {pmatrix }\

0 & I_n \\

- I_n & 0 \\

\end {pmatrix}.

</Mathematik>

Sp (n)

Die symplectic Kompaktgruppe, Sp (n), ist die Untergruppe von GL (n, H) (invertible quaternionic matrices), der den Standard hermitian Form auf H bewahrt:

:

D. h. Sp ist (n) gerade die quaternionic einheitliche Gruppe, U (n, H). Tatsächlich wird es manchmal die hypereinheitliche Gruppe genannt. Auch Sp (1) ist die Gruppe von quaternions der Einheit 1, gleichwertig zu SU (2) und topologisch ein 3-Bereiche-S.

Bemerken Sie, dass Sp (n) nicht eine symplectic Gruppe im Sinne der vorherigen Abteilung ist - bewahrt es keinen nichtdegenerierten verdrehen - symmetrisch (H-bilinear) Form auf H (tatsächlich, die einzigen verdrehen - symmetrische Form ist die Nullform).

Eher ist es zu einer Untergruppe von Sp (2n, C) isomorph, und bewahrt so einen Komplex symplectic Form in einem Vektorraum der Dimension zweimal so hoch.

Wie erklärt, unten ist die Lüge-Algebra von Sp (n) eine echte Form des Komplexes symplectic Liegen Algebra sp (2n, C).

Sp (n) ist eine echte Lüge-Gruppe mit (der echten) Dimension n (2n + 1). Es ist kompakt, verbunden, und einfach verbunden. Es kann durch die Kreuzung Sp (n) =U (2n)  Sp definiert werden (2n, C), wo U (2n) für die einheitliche Gruppe eintritt.

Die Lüge-Algebra von Sp (n) wird durch den quaternionic gegeben verdrehen matrices, den Satz von n durch n quaternionic matrices-Hermitian, die befriedigen

:

wo das verbundene ist, stellen von um (hier man nimmt den quaternionic verbunden). Die Lüge-Klammer wird durch den Umschalter gegeben.

Beziehungen zwischen den symplectic Gruppen

Die Beziehung zwischen den Gruppen Sp (2n, C), Sp (2n, R) und Sp (n) ist am Niveau ihrer Lüge-Algebra am offensichtlichsten. Es stellt sich heraus, dass die ersten von diesen Liegen, sind Algebra ein complexification der Lüge-Algebra von jeder der letzten zwei Gruppen.

Festgesetzt ein bisschen verschieden, die komplizierte Lüge-Algebra sp (2n, C) der komplizierten Lüge-Gruppe hat Sp (2n, C) mehrere verschiedene echte Formen:

1. die Kompaktform, sp (n), der die Lüge-Algebra von Sp (n), ist
2. die Algebra, sp (p, n &minus; p), die die Lüge-Algebra von Sp sind (p, n &minus; p), die unbestimmte Unterschrift, die zur Kompaktform, gleichwertig

ist

1. die normale Form (oder Spalt-Form), sp (2n, R), der die Lüge-Algebra von Sp (2n, R) ist.

Wichtige Untergruppen

Symplectic Gruppensp (n) wird manchmal als USp (2n) geschrieben, der für die folgenden Gleichungen günstig ist. Die symplectic Gruppe kommt in der Quant-Physik als eine Symmetrie auf poisson Klammern herauf, so ist es wichtig, seine Untergruppen zu verstehen. Einige Hauptuntergruppen sind:

:::

Die symplectic Gruppen sind auch Untergruppen von verschiedenen Lüge-Gruppen:

:::

Es gibt auch den Isomorphismus der Lüge-Algebra usp (4) = o (5) und usp (2) = o (3) = su (2).

Beispiel von symplectic matrices

Für Sp (2), die Gruppe von 2 x 2 matrices mit der Determinante 1, die drei symplectic (0,1) sind-matrices:

:

1 & 0 \\

0 & 1 \end {pmatrix}, \quad

\begin {pmatrix}

1 & 0 \\

1 & 1 \end {pmatrix}, \quad

\begin {pmatrix}

1 & 1 \\

0 & 1 \end {pmatrix} </Mathematik>

Unendlich kleine Generatoren

Der symplectic matrices, M, kann als geschrieben werden:

:

wo die unendlich kleinen Generatoren sind. Die unendlich kleinen Generatoren des symplectic matrices sind Hamiltonian matrices.

:

wo B und C symmetrischer matrices sind.

Siehe auch

• Orthogonale Gruppe
• Einheitliche Gruppe
• Projektive einheitliche Gruppe
• Sammelleitung von Symplectic, Matrix von Symplectic, Vektorraum von Symplectic, Darstellung von Symplectic
• Mechanik von Hamiltonian
• Gruppe von Metaplectic
• Θ10

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