In der Mathematik erzeugt der Aufbau von Cayley-Dickson, genannt nach Arthur Cayley und Leonard Eugene Dickson, eine Folge von Algebra über das Feld von reellen Zahlen, jedem mit zweimal der Dimension der vorherigen. Die durch diesen Prozess erzeugten Algebra sind als Algebra von Cayley-Dickson bekannt; da sie die komplexen Zahlen erweitern, sind sie hyperkomplizierte Zahlen.

Diese Algebra alle haben eine Involution (oder verbunden), mit dem Produkt eines Elements und seines verbundenen (oder manchmal die Quadratwurzel davon) haben die Norm genannt.

Für die ersten paar Schritte verliert die folgende Algebra ein spezifisches algebraisches Eigentum.

Mehr allgemein nimmt der Aufbau von Cayley-Dickson jede Algebra mit der Involution zu einer anderen Algebra mit der Involution zweimal der Dimension.

Komplexe Zahlen als befohlene Paare

Die komplexen Zahlen können als befohlene Paare (a, b) von reellen Zahlen a und b mit dem Hinzufügungsmaschinenbediener geschrieben werden, der Bestandteil-für-Bestandteil-ist und mit der durch definierten Multiplikation

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Eine komplexe Zahl, deren zweiter Bestandteil Null ist, wird mit einer reellen Zahl vereinigt: Die komplexe Zahl (a, 0) ist die reelle Zahl a.

Eine andere wichtige Operation auf komplexen Zahlen ist Konjugation. Das verbundene (a, b) (a, b) wird durch gegeben

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Das verbundene hat das Eigentum das

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= (+ b b, ein b - b a) = (a^2 + b^2, 0), \, </Mathematik>

der eine nichtnegative reelle Zahl ist. Auf diese Weise definiert Konjugation eine Norm, die komplexen Zahlen einen normed Vektorraum über die reellen Zahlen machend: Die Norm einer komplexen Zahl z ist

:

Außerdem, für jede komplexe Nichtnullzahl z, gibt Konjugation ein multiplicative Gegenteil,

:

In so viel, wie komplexe Zahlen aus zwei unabhängigen reellen Zahlen bestehen, bilden sie einen 2-dimensionalen Vektorraum über die reellen Zahlen.

Außer, der höheren Dimension zu sein, wie man sagen kann, haben die komplexen Zahlen an einem algebraischem Eigentum der reellen Zahlen Mangel: Eine reelle Zahl ist sein eigenes verbundenes.

Quaternions

Der nächste Schritt im Aufbau soll die Multiplikation und Konjugationsoperationen verallgemeinern.

Bilden Sie befohlene Paare von komplexen Zahlen und mit der durch definierten Multiplikation

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= (ein c - d^* b, d + b c^ *). \, </math>

Geringe Schwankungen auf dieser Formel sind möglich; die resultierenden Aufbauten werden bis zu den Zeichen von Basen identische Strukturen nachgeben.

Die Ordnung der Faktoren scheint seltsam jetzt, aber wird im nächsten Schritt wichtig sein. Definieren Sie den verbundenen von durch

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Diese Maschinenbediener sind direkte Erweiterungen ihrer komplizierten Analoga: Wenn und von der echten Teilmenge von komplexen Zahlen genommen werden, hat das Äußere des verbundenen in den Formeln keine Wirkung, so sind die Maschinenbediener dasselbe als diejenigen für die komplexen Zahlen.

Das Produkt eines Elements mit seinem verbundenen ist eine nichtnegative reelle Zahl:

:

= (a^ *,-b) (a, b)

= (a^* + b^* b, b a^* - b a^ *)

= (|a |^2 + |b |^2, 0). \, </math>

Wie zuvor gibt das verbundene so eine Norm und ein Gegenteil für jedes solches befohlene Paar nach. So im Sinn haben wir oben erklärt, diese Paare setzen eine Algebra etwas wie die reellen Zahlen ein. Sie sind der quaternions, der von Hamilton 1843 genannt ist.

Weil quaternions aus zwei unabhängigen komplexen Zahlen bestehen, bilden sie einen 4-dimensionalen Vektorraum über die reellen Zahlen.

Die Multiplikation von quaternions ist nicht ganz der Multiplikation von reellen Zahlen ähnlich, dennoch. Es ist nicht auswechselbar, d. h. wenn und quaternions sind, ist es das nicht allgemein wahr.

Octonions

Zukünftig werden alle Schritte dasselbe schauen.

Dieses Mal bilden Sie befohlene Paare von

quaternions und, mit der Multiplikation und Konjugation definiert genau bezüglich des quaternions:

:

= (p r - s^* q, s p + q r^ *). \, </math>

Bemerken Sie jedoch, dass, weil die quaternions nicht auswechselbar sind, die Ordnung der Faktoren in der Multiplikationsformel wichtig wird — wenn der letzte Faktor in der Multiplikationsformel aber nicht war

, die Formel für die Multiplikation eines Elements durch sein verbundenes würde keine reelle Zahl nachgeben.

Aus genau denselben Gründen wie zuvor gibt der Konjugationsmaschinenbediener eine Norm und ein multiplicative Gegenteil jedes Nichtnullelements nach.

Diese Algebra wurde von John T. Graves 1843 entdeckt, und wird den octonions oder die "Zahlen von Cayley" genannt.

Weil octonions aus zwei quaternions bestehen, bilden die octonions einen 8-dimensionalen Vektorraum über die reellen Zahlen.

Die Multiplikation von octonions ist noch sonderbarer als dieser von quaternions. Außer, nichtauswechselbar zu sein, ist es nicht assoziativ: D. h. wenn, und octonions sind, ist es allgemein das nicht wahr

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Aus dem Grund dieses non-associativity haben octonions keine Matrixdarstellung.

Weitere Algebra

Die Algebra sofort im Anschluss an den octonions wird den sedenions genannt. Es behält ein algebraisches Eigentum genannt Macht associativity, bedeutend, dass, wenn ein sedenion ist, aber das Eigentum verliert, eine alternative Algebra zu sein, und folglich keine Zusammensetzungsalgebra sein kann.

Der Aufbau von Cayley-Dickson kann ad infinitum an jedem Schritt fortgesetzt werden, der eine mit der Macht assoziative Algebra erzeugt, deren Dimension die der Algebra des vorhergehenden Schritts doppelt ist.

Aufbau von General Cayley-Dickson

hat

eine geringe Generalisation gegeben, das Produkt und die Involution auf B=AA für eine Algebra mit der Involution (mit (xy) = yx) definierend, um zu sein

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= (p r - \gamma s^* q, s p + q r^ *) \, </math>

:

für γ eine zusätzliche Karte, die mit * und verlassen und richtige Multiplikation durch jedes Element pendelt. (Über den reals sind alle Wahlen von γ zu &minus;1, 0 oder 1 gleichwertig.) In diesem Aufbau ist A eine Algebra mit der Involution, bedeutend:

• A ist eine abelian Gruppe unter +
• Ein Haben eines Produktes, das verlassen wird und Recht, das über + verteilend

ist

• Ein Haben einer Involution *, mit x ** = x, (x+y) * = x * + y *, (xy) * =y*x*.

Die Algebra durch den Aufbau von Cayley-Dickson erzeugter B=AA ist auch eine Algebra mit der Involution.

B erbt Eigenschaften von Einem unveränderten wie folgt.

• Wenn A eine Identität 1 hat, dann hat B eine Identität (1, 0).
• Wenn A das Eigentum hat, das x+x, xx vereinigen und mit allen Elementen eintauschen, dann so tut B. Dieses Eigentum deutet an, dass jedes Element einen Ersatzassoziativen *-algebra erzeugt, so insbesondere ist die Algebra assoziative Macht.

Andere Eigenschaften Eines einzigen veranlassen schwächere Eigenschaften von B:

• Wenn A auswechselbar ist und triviale Involution hat, dann ist B auswechselbar.
• Wenn A auswechselbar und dann B assoziativ ist, ist assoziativ.
• Wenn A assoziativ ist und x+x, xx verkehren und mit allem pendeln, dann ist B alternativ.
• (sieh p. 171)
• . (Sieh "Abschnitt 2.2, Der Aufbau von Cayley-Dickson")

Links

• Hyperjeff, die Geschichte von hyperkomplizierten Nummern (1996-2006) skizzierend.