In der geradlinigen Algebra sind zwei Vektoren in einem Skalarprodukt-Raum orthonormal, wenn sie orthogonal sind und beide der Einheitslänge. Eine Reihe von Vektoren bildet einen orthonormalen Satz, wenn alle Vektoren im Satz gegenseitig orthogonal sind und die ganze Einheitslänge. Ein orthonormaler Satz, der eine Basis bildet, wird eine orthonormale Basis genannt.

Intuitive Übersicht

Der Aufbau von orthogonality von Vektoren wird durch einen Wunsch motiviert, den intuitiven Begriff von rechtwinkligen Vektoren zu hoch-dimensionalen Räumen zu erweitern. Im Kartesianischen Flugzeug, wie man sagt, sind zwei Vektoren rechtwinklig, wenn der Winkel zwischen ihnen 90 ° ist (d. h. wenn sie einen richtigen Winkel bilden). Diese Definition kann im Kartesianischen Raum durch das Definieren des Punktproduktes und das Spezifizieren formalisiert werden, dass zwei Vektoren im Flugzeug orthogonal sind, wenn ihr Punktprodukt Null ist.

Ähnlich wird der Aufbau der Norm eines Vektoren durch einen Wunsch motiviert, den intuitiven Begriff der Länge eines Vektoren zu hoch-dimensionalen Räumen zu erweitern. Im Kartesianischen Raum ist die Norm eines Vektoren die Quadratwurzel des mit sich punktierten Vektoren. Das, ist

Viele wichtige Ergebnisse in der geradlinigen Algebra befassen sich mit Sammlungen von zwei oder mehr orthogonalen Vektoren. Aber häufig ist es leichter, sich mit Vektoren der Einheitslänge zu befassen. D. h. es vereinfacht häufig Dinge, nur Vektoren zu denken, deren Norm 1 gleich ist. Der Begriff, orthogonale Paare von Vektoren zu nur denjenigen der Einheitslänge einzuschränken, ist wichtig genug, um ein spezieller Name gegeben zu werden. Wie man sagt, sind zwei Vektoren, die orthogonal sind und der Länge 1, orthonormal.

Einfaches Beispiel

Was tut ein Paar von orthonormalen Vektoren im 2. Euklidischen Raum, sind ähnlich?

Lassen Sie u = (x, y) und v = (x, y).

Betrachten Sie die Beschränkungen von x, x, y, y als erforderlich, u und v ein orthonormales Paar bilden zu lassen.

• Von der orthogonality Beschränkung, u · v = 0.
• Von der Einheitslänge-Beschränkung von u, u = 1.
• Von der Einheitslänge-Beschränkung von v, v = 1.

Erweiterung dieser Begriffe gibt 3 Gleichungen: