Das Symbol von Levi-Civita, auch genannt das Versetzungssymbol, antisymmetrisches Symbol, oder Wechselsymbol, ist ein mathematisches Symbol verwendet insbesondere in der Tensor-Rechnung. Es wird nach dem italienischen Mathematiker und Physiker Tullio Levi-Civita genannt.

Definition

Drei Dimensionen

In drei Dimensionen wird das Symbol von Levi-Civita wie folgt definiert:

:

\begin {Fälle }\

+1 & \mbox {wenn} (ich, j, k) \mbox (1,2,3), (3,1,2) \mbox {oder} (2,3,1), \\{ist}

- 1 & \mbox {wenn} (ich, j, k) \mbox (1,3,2), (3,2,1) \mbox {oder} (2,1,3), \\{ist}

0 & \mbox {wenn} i=j \mbox {oder} j=k \mbox {oder} k=i

\end {Fälle} </Mathematik>

d. h. ist 1, wenn (ich, j, k) eine gleiche Versetzung (1,2,3), 1 ist, wenn es eine sonderbare Versetzung, und 0 ist, wenn ein Index wiederholt wird. Einige Autoren (z.B). verwenden Sie die verschiedenen Symbole und zu betonen, dass sie nicht direkt durch den Index erhebende oder sinkende Operationen verbunden sind.

Die Formel für das dreidimensionale Symbol von Levi-Civita ist:

:

\varepsilon_ {ijk} = \frac {\\ist (i-j \right) \left (j-k \right) \left (k-i \right)} {2 }\abgereist

</Mathematik>

der ein Produkt von Unterschieden in den Indizes ist; wo jeder Unterschied einer zyklischen Versetzung ihrer alphabetischen Einrichtung entspricht.

Vier Dimensionen

Die Formel in vier Dimensionen ist:

:

\varepsilon_ {ijkl} = \frac {\\ist (i-j \right) \left (i-k \right) \left (i-l \right) \left (j-k \right) \left (j-l \right) \left (k-l \right)} {12 }\abgereist

</Mathematik>

Generalisation zu n Dimensionen

Das Symbol von Levi-Civita kann zu n Dimensionen verallgemeinert werden:

:\begin {Fälle }\

+1 & \mbox {wenn} (ich, j, k, l, \dots) \mbox {eine gleiche Versetzung} (1,2,3,4, \dots) \\ist

- 1 & \mbox {wenn} (ich, j, k, l, \dots) \mbox {eine sonderbare Versetzung} (1,2,3,4, \dots) \\ist

0 & \mbox {sonst }\

\end {Fälle }\

</Mathematik>

So ist es das Zeichen der Versetzung im Fall von einer Versetzung und die Null sonst.

Einige verallgemeinerte Formeln sind:

:

\varepsilon_ {a_1 a_2 a_3 \ldots a_n} = \sgn \! \left (\prod_ {ich

wo n die Dimension (Reihe) und ist

:

\varepsilon_ {a_1 a_2 a_3 \ldots a_n} = \frac {\\prod_ {ich

wo G (n) die G-Funktion von Barnes ist.

Eigenschaften

Ein Tensor, dessen Bestandteile in einer orthonormalen Basis durch das Symbol von Levi-Civita gegeben werden (ein Tensor der kovarianten Reihe n) wird manchmal einen Versetzungstensor genannt. Es ist wirklich ein Pseudotensor, weil unter einer orthogonalen Transformation der jacobian Determinante 1 (d. h. hat eine Folge mit einem Nachdenken gedichtet), es minus das Zeichen erwirbt. Da das Symbol von Levi-Civita ein Pseudotensor ist, ist das Ergebnis, ein Kreuzprodukt zu nehmen, ein Pseudovektor, nicht ein Vektor.

Unter einer allgemeinen Koordinatenänderung werden die Bestandteile des Versetzungstensor mit dem jacobian der Transformationsmatrix multipliziert. Das deutet an, dass in Koordinatenrahmen, die von demjenigen verschieden sind, in dem der Tensor definiert wurde, sich seine Bestandteile von denjenigen des Symbols von Levi-Civita durch einen gesamten Faktor unterscheiden können. Wenn der Rahmen orthonormal ist, wird der Faktor ±1 je nachdem sein, ob die Orientierung des Rahmens dasselbe ist oder nicht.

In der Tensor-Notation ohne Indizes wird das Symbol von Levi-Civita durch das Konzept vom Doppel-Hodge ersetzt.

In diesen Beispielen sollten Exponenten gleichwertig mit Subschriften betrachtet werden.

Zwei Dimensionen

In zwei Dimensionen, wenn alles ich, j, M, n jeder die Werte 1 und 2, nehmen

:

Drei Dimensionen

Index und Symbol-Werte:

In drei Dimensionen, wenn alles ich, j, k, M, n jeder Werte 1, 2, und 3 nehmen:

:

Produkt:

Das Symbol von Levi-Civita ist mit dem Delta von Kronecker verbunden. In drei Dimensionen wird die Beziehung durch die folgenden Gleichungen gegeben (vertikale Linien zeigen die Determinante an):

:

\varepsilon_ {ijk }\\varepsilon_ {lmn} & = \begin {vmatrix }\

\delta_ {il} & \delta_ {im} & \delta_ {in }\\\

\delta_ {jl} & \delta_ {jm} & \delta_ {jn }\\\

\delta_ {kl} & \delta_ {km} & \delta_ {kn }\\\

\end {vmatrix }\\\

& = \delta_ {il }\\verlassen (\delta_ {jm }\\delta_ {kn} - \delta_ {jn }\\delta_ {km }\\Recht) - \delta_ {im }\\ist (\delta_ {jl }\\delta_ {kn} - \delta_ {jn }\\delta_ {kl} \right) + \delta_ {in} \left (\delta_ {jl }\\delta_ {km} - \delta_ {jm }\\delta_ {kl} \right) abgereist

\end {richten} </Mathematik> {aus}

:

\sum_ {i=1} ^3 \varepsilon_ {ijk }\\varepsilon_ {imn} = \delta_ {jm }\\delta_ {kn} - \delta_ {jn }\\delta_ {km }\

</Mathematik> ("zusammengezogene Epsilon-Identität")

In der Notation von Einstein versieht die Verdoppelung von mir mit einem Inhaltsverzeichnis bezieht die Summe auf mir ein. Das vorherige wird dann angezeigt:

:

\sum_ {i=1} ^3 \sum_ {j=1} ^3 \varepsilon_ {ijk }\\varepsilon_ {ijn} = 2\delta_ {kn }\

</Mathematik>

n Dimensionen

Index und Symbol-Werte:

In n Dimensionen, wenn alles ich..., ich, j..., j Werte 1, 2..., n nehme:

:

(wo die exclaimation kennzeichnen! zeigt den factorial an). Für jeden n, das Eigentum

:

\sum_ {ich, j, k, \dots=1} ^n \varepsilon_ {ijk\dots }\\varepsilon_ {ijk\dots} = n!

</Mathematik>

folgt aus den Tatsachen das

• jede Versetzung ist entweder sogar oder seltsam,
• (+1) = (1) = 1, und
• die Zahl von Versetzungen jedes N-Elements ist untergegangen Zahl ist genau n!.

Produkt:

Im Allgemeinen, für n Dimensionen, kann man das Produkt von zwei Symbolen von Levi-Civita als schreiben:

:

\delta_ {i_1 j_1} & \delta_ {i_1 j_2} & \dots & \delta_ {i_1 j_n} \\

\delta_ {i_2 j_1} & \delta_ {i_2 j_2} & \dots & \delta_ {i_2 j_n} \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

\delta_ {i_n j_1} & \delta_ {i_n j_2} & \dots & \delta_ {i_n j_n} \\

\end {vmatrix} </Mathematik>.

Beweise

Für die Gleichung 1 sind beide Seiten mit der Rücksicht auf ij und mn antisymmetrisch. Wir müssen deshalb nur den Fall i  j und M  n in Betracht ziehen. Durch den Ersatz sehen wir, dass die Gleichung für, d. h., weil ich = M = 1 und j = n = 2 hält. (Beide Seiten sind dann eine). Da die Gleichung in ij und mn antisymmetrisch ist, kann jeder Satz von Werten für diese auf den obengenannten Fall reduziert werden (der hält). Die Gleichung hält so für alle Werte von ij und mn.

Mit der Gleichung 1 haben wir für die Gleichung 2

:

Hier haben wir die Summierungstagung von Einstein mit mir verwendet, von 1 bis 2 gehend. Gleichung 3 folgt ähnlich von der Gleichung 2.

Um Gleichung 4 zu gründen, bemerken Sie, dass beide Seiten wenn ich  j verschwinden. Tatsächlich, wenn ich  j, dann man M und solchen n nicht wählen kann, dass beide Versetzungssymbole links Nichtnull sind. Dann, mit mir  j befestigt, gibt es nur zwei Weisen, M und n von den restlichen zwei Indizes zu wählen. Für irgendwelche solche Indizes haben wir

:

(keine Summierung), und das Ergebnis folgt.

Gleichung 5 folgt seitdem 3! = 6 und für irgendwelche verschiedenen Indizes i, j, k, die nehmen, schätzt 1, 2, 3, wir haben

:

(keine Summierung).

Anwendungen und Beispiele

Determinanten

In der geradlinigen Algebra, der Determinante 3 × kann 3 Quadratmatrix = (a) geschrieben werden

:

Ähnlich kann die Determinante eines n × n Matrix = (a) als geschrieben werden

:

wo jeder ich mehr als 1..., n, oder gleichwertig summiert werden sollte:

:

wo jetzt jeder ich und jeder j mehr als 1 summiert werden sollten.. n.

Vektor-Kreuzprodukt

Kreuzprodukt (zwei Vektoren)

Wenn = (a, a, a) und b = (b, b, b) Vektoren darin sind (vertreten in einem rechtshändigen Koordinatensystem mit einer orthonormalen Basis), kann ihr Kreuzprodukt als eine Determinante geschrieben werden:

:

\mathbf {ein \times b} =

\begin {vmatrix}

\mathbf {e_1} & \mathbf {e_2} & \mathbf {e_3} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end {vmatrix }\

\sum_ {ich

1\^3 \sum_ {j=1} ^3 \sum_ {k=1} ^3 \varepsilon_ {ijk} \mathbf {e} _i a_j b_k

</Mathematik>

folglich auch mit dem Symbol von Levi-Civita, und einfacher:

:

(\mathbf {ein \times b}) _i = \sum_ {j=1} ^3 \sum_ {k=1} ^3 \varepsilon_ {ijk} a_j b_k.

</Mathematik>

In der Notation von Einstein können die Summierungssymbole weggelassen werden, und der ith Bestandteil ihres Kreuzproduktes kommt gleich

:

Zum Beispiel ist der erste Bestandteil

:.

Dreifaches Skalarprodukt (drei Vektoren)

Vom obengenannten Ausdruck für das Kreuzprodukt haben wir:

:.

Wenn c = (c, c, c) ein anderer Vektor ist, dann kommt das dreifache Skalarprodukt gleich

:

Von diesem Ausdruck kann es gesehen werden, dass das dreifache Skalarprodukt antisymmetrisch ist, wenn es irgendwelche angrenzenden Argumente austauscht. Zum Beispiel,

:.

Locke (ein Vektorfeld)

Wenn F = (F, F, F) ein Vektorfeld ist, das auf einem offenen Satz als eine Funktion der Position x = (x, x, x) (das Verwenden Kartesianischer Koordinaten) definiert ist. Dann kommt der ith Bestandteil der Locke von F gleich

:

der aus dem Kreuzprodukt-Ausdruck oben folgt, Bestandteile des Anstieg-Vektor-Maschinenbedieners (nabla) einsetzend.

Tensor-Dichte

In jedem willkürlichen krummlinigen Koordinatensystem und sogar ohne einen metrischen auf der Sammelleitung, wie man betrachten kann, ist das Symbol von Levi-Civita, wie definiert, oben ein Tensor-Dichte-Feld auf zwei verschiedene Weisen. Es kann als eine kontravariante Tensor-Dichte des Gewichts +1 oder als eine kovariante Tensor-Dichte des Gewichts 1 betrachtet werden. In vier Dimensionen,

:

Bemerken Sie, dass sich der Wert, und insbesondere das Zeichen, nicht ändern.

Gewöhnlicher Tensor

In Gegenwart von einem metrischen Tensor-Feld kann man ein gewöhnliches kontravariantes Tensor-Feld definieren, das mit dem Symbol von Levi-Civita an jedem Ereignis übereinstimmt, wann auch immer das Koordinatensystem solch ist, dass das metrische an diesem Ereignis orthonormal ist. Ähnlich kann man auch ein gewöhnliches kovariantes Tensor-Feld definieren, das mit dem Symbol von Levi-Civita an jedem Ereignis übereinstimmt, wann auch immer das Koordinatensystem solch ist, dass das metrische an diesem Ereignis orthonormal ist. Diese gewöhnlichen Tensor-Felder sollten mit einander nicht verwirrt sein, noch sie sollten mit den Tensor-Dichte-Feldern verwirrt sein, die oben erwähnt sind. Eines dieser gewöhnlichen Tensor-Felder kann zu anderem durch die Aufhebung oder das Senken der Indizes mit dem metrischen umgewandelt werden, wie üblich ist, aber minus das Zeichen ist erforderlich, wenn die metrische Unterschrift eine ungerade Zahl von Negativen enthält. Zum Beispiel, im Raum von Minkowski (die vier dimensionale Raum-Zeit der speziellen Relativität)

:

Bemerken Sie minus das Zeichen.

Siehe auch

• Symmetrischer Tensor
• Antisymmetrischer Tensor
• Delta von Kronecker

Links

• Versetzungstensor - mathworld.wolfram