Im mathematischen Feld der Differenzialgeometrie ist ein metrischer Tensor ein Typ der auf einer Sammelleitung definierten Funktion (wie eine Oberfläche im Raum), der als Eingang ein Paar von Tangente-Vektoren v und w nimmt und eine reelle Zahl (Skalar) g (v, w) in einem Weg erzeugt, der viele der vertrauten Eigenschaften des Skalarprodukts von Vektoren im Euklidischen Raum verallgemeinert. Ebenso als ein Skalarprodukt wird ein metrischer Tensor verwendet, um die Länge und den Winkel zwischen Tangente-Vektoren zu definieren, aber ist nicht erforderlich, positiv-bestimmt zu sein.

Eine mit einem metrischen Tensor ausgestattete Sammelleitung ist als eine Sammelleitung von Riemannian bekannt. Durch die Integration erlaubt der metrische Tensor, die Länge von Kurven auf der Sammelleitung zu definieren und zu schätzen. Ein geodätischer ist eine Kurve, die zwei Punkte verbindet, der lokal meist oder größte Länge hat, und seine Länge die Entfernung ist, die ein Passagier in der Sammelleitung überqueren muss, um von einem Punkt bis den anderen zu gehen. Ausgestattet mit diesem Begriff der Länge ist eine Sammelleitung von Riemannian ein metrischer Raum, bedeutend, dass es eine Entfernungsfunktion d hat (p, q), wessen Wert an einem Paar von Punkten p und q die Entfernung von p bis q ist. Umgekehrt ist der metrische Tensor selbst die Ableitung der Entfernungsfunktion (genommen auf eine passende Weise). So gibt der metrische Tensor die unendlich kleine Entfernung auf der Sammelleitung.

Während der Begriff eines metrischen Tensor in einem Sinn Mathematikern wie Carl Gauss vom Anfang des 19. Jahrhunderts, erst als der Anfang des 20. Jahrhunderts bekannt war, dass seine Eigenschaften als ein Tensor durch, insbesondere Gregorio Ricci-Curbastro und Tullio Levi-Civita verstanden wurden, der zuerst den Begriff eines Tensor kodifiziert hat. Der metrische Tensor ist ein Beispiel eines Tensor-Feldes, bedeutend, dass hinsichtlich eines lokalen Koordinatensystems auf der Sammelleitung ein metrischer Tensor die Form einer symmetrischen Matrix übernimmt, deren sich Einträge kovariant unter Änderungen zum Koordinatensystem verwandeln. So ist ein metrischer Tensor ein kovarianter symmetrischer Tensor. Aus dem koordinatenunabhängigen Gesichtspunkt wird ein metrischer Tensor definiert, um eine nichtdegenerierte symmetrische bilineare Form auf jedem Tangente-Raum zu sein, der sich glatt vom Punkt bis Punkt ändert.

Einführung

Carl Friedrich Gauss in seinen 1827 Disquisitiones generales um superficies curvas (Allgemeine Untersuchungen von gekrümmten Oberflächen) hat eine Oberfläche parametrisch, mit den Kartesianischen Koordinaten x, y und z von Punkten auf der Oberfläche abhängig von zwei Hilfsvariablen u und v gedacht. So ist eine parametrische Oberfläche (in heutigen Begriffen) ein Vektor hat Funktion geschätzt

:

abhängig von einem befohlenen Paar von echten Variablen (u, v), und definiert in einem offenen Satz D im uv-plane. Eines der Hauptziele der Untersuchungen von Gauss sollte jene Eigenschaften der Oberfläche ableiten, die durch eine Funktion beschrieben werden konnte, die unverändert bleiben würde, wenn die Oberfläche eine Transformation im Raum (wie das Verbiegen der Oberfläche erleben würde, ohne es zu strecken), oder eine Änderung in der besonderen parametrischen Form derselben geometrischen Oberfläche.

Ein natürlicher solche invariant Menge ist die Länge einer entlang der Oberfläche gezogenen Kurve. Ein anderer ist der Winkel zwischen einem Paar von Kurven, die entlang der Oberfläche gezogen sind und sich an einem allgemeinen Punkt, oder Tangente-Vektoren an demselben Punkt der Oberfläche treffend. Ein Drittel solche Menge ist das Gebiet eines Stückes der Oberfläche. Die Studie dieser invariants einer Oberfläche hat Gauss dazu gebracht, den Vorgänger des modernen Begriffs des metrischen Tensor vorzustellen.

Arclength

Wenn die Variablen u und v genommen werden, um von einer dritten Variable, t abzuhängen, Werte in einem Zwischenraum [a, b] nehmend, dann eine parametrische Kurve in der M verfolgen werden. Der arclength dieser Kurve wird durch den integrierten gegeben

:

s &= \int_a^b\left \|\frac {d} {dt }\\vec {r} (u (t), v (t)) \right \| \, dt \\

&= \int_a^b \sqrt {u' (t) ^2 \,\vec {r} _u\cdot\vec {r} _u + 2u' (t) v' (t) \, \vec {r} _u\cdot\vec {r} _v + v' (t) ^2 \,\vec {r} _v\cdot\vec {r} _v }\\, \, \, dt.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

wo die Euklidische Norm vertritt. Hier ist die Kettenregel angewandt worden, und die Subschriften zeigen partielle Ableitungen an. Der integrand ist die Beschränkung zur Kurve der Quadratwurzel des (quadratischen) Differenzials

wo

Die Menge ds in wird das Linienelement genannt, während ds die erste grundsätzliche Form der M genannt wird. Intuitiv vertritt es den Hauptteil des Quadrats der Versetzung, die dadurch erlebt ist, wenn u durch du Einheiten vergrößert wird, und v durch dv Einheiten vergrößert wird.

Mit der Matrixnotation wird die erste grundsätzliche Form

:\begin {richten }\aus

ds^2

&=

\begin {bmatrix }\

du&dv

\end {bmatrix }\

\begin {bmatrix }\

E&F \\

F&G

\end {bmatrix}

\begin {bmatrix }\

du \\dv

\end {bmatrix }\\\

\end {richten }\aus</Mathematik>

Koordinatentransformationen

Denken Sie, jetzt wo ein verschiedener parameterization ausgewählt wird, indem er u und v erlaubt wird, von einem anderen Paar von Variablen u&prime abzuhängen; und v&prime;. dann ist das Analogon für die neuen Variablen

Die Kettenregel bezieht sich E&prime; F&prime; und G&prime; zu E, F, und G über die Matrixgleichung

wo der Exponent T anzeigt, dass die Matrix umstellt. Die Matrix mit den Koeffizienten E, F, und G eingeordnet verwandeln sich auf diese Weise deshalb durch die Matrix von Jacobian der Koordinatenänderung

:

\frac {\\teilweise u\{\\teilweiser u'} &\\frac {\\teilweise u\{\\teilweiser v' }\\\

\frac {\\teilweise v\{\\teilweiser u'} &\\frac {\\teilweise v\{\\teilweiser v' }\

\end {bmatrix}. </Mathematik>

Eine Matrix, die sich auf diese Weise verwandelt, ist eine Art dessen, was einen Tensor genannt wird. Die Matrix

:\begin {bmatrix }\E&F \\F&G \end {bmatrix}</Mathematik>

mit dem Transformationsgesetz ist als der metrische Tensor der Oberfläche bekannt.

Invariance von arclength unter Koordinatentransformationen

zuerst beobachtet die Bedeutung eines Systems von Koeffizienten E, F, und G, der sich auf diese Weise beim Übergang von einem System von Koordinaten zu einem anderen verwandelt hat. Das Ergebnis ist, dass die erste grundsätzliche Form invariant unter Änderungen im Koordinatensystem ist, und dass das exklusiv von den Transformationseigenschaften von E, F, und G folgt. Tatsächlich, durch die Kettenregel,

:\begin {bmatrix }\du \\dv\end {bmatrix }\

\begin {bmatrix }\

\frac {\\teilweise u\{\\teilweiser u'} & \frac {\\teilweise u\{\\teilweiser v' }\\\

\frac {\\teilweise v\{\\teilweiser u'} & \frac {\\teilweise v\{\\teilweiser v' }\

\end {bmatrix }\\begin {bmatrix }\

du' \\dv'

\end {bmatrix }\</Mathematik>

so dass

:\begin {richten }\ausds^2 &= \begin {bmatrix }\du&dv \end {bmatrix }\\begin {bmatrix }\E&F \\F&G \end {bmatrix}\begin {bmatrix }\du \\dv\end {bmatrix }\\\

&= \begin {bmatrix }\

du'&dv'

\end {bmatrix }\\begin {bmatrix }\ \frac {\\teilweise u\{\\teilweiser u'} & \frac {\\teilweise u\{\\teilweiser v' }\\\\frac {\\teilweise v\{\\teilweiser u'} & \frac {\\teilweise v\{\\teilweiser v' }\

\end {bmatrix} ^\\Spitze

\begin {bmatrix }\E&F \\F&G \end {bmatrix }\\begin {bmatrix }\ \frac {\\teilweise u\{\\teilweiser u'} & \frac {\\teilweise u\{\\teilweiser v' }\\\\frac {\\teilweise v\{\\teilweiser u'} & \frac {\\teilweise v\{\\teilweiser v' }\\end {bmatrix}\begin {bmatrix }\du' \\dv'\end {bmatrix }\\\

&=

\begin {bmatrix }\du'&dv'\end {bmatrix }\\begin {bmatrix }\

E'&F' \\

F'&G'

\end {bmatrix }\\begin {bmatrix }\du' \\dv'\end {bmatrix }\\\

&= (der)^2 von d.

\end {richten }\aus</Mathematik>

Skalarprodukt von zwei Tangente-Vektoren

Eine andere Interpretation des metrischen Tensor, der auch von Gauss betrachtet ist, ist, dass er einen Weg zur Verfügung stellt, auf den man den Winkel zwischen zwei Tangente-Vektoren zur Oberfläche schätzt. In zeitgenössischen Begriffen erlaubt der metrische Tensor, das Punktprodukt von der parametrischen Beschreibung der Oberfläche gewissermaßen unabhängigen Tangente-Vektoren zu schätzen. Jeder Tangente-Vektor an einem Punkt der parametrischen OberflächenM kann in der Form geschrieben werden

:

für passende reelle Zahlen p und p. Wenn zwei Tangente-Vektoren gegeben werden

::

dann mit dem bilinearity des Punktproduktes,

:\begin {richten }\aus

\mathbf {ein} \cdot \mathbf {b} &= a_1 b_1 \vec {r} _u\cdot\vec {r} _u + a_1b_2 \vec {r} _u\cdot\vec {r} _v + b_1a_2 \vec {r} _v\cdot\vec {r} _u + a_2 b_2 \vec {r} _v\cdot\vec {r} _v \\

&= a_1 b_1 E + a_1b_2 F + b_1a_2 F + a_2b_2G \\

&= \begin {bmatrix }\

a_1 & a_2

\end {bmatrix }\\begin {bmatrix }\

E&F \\

F&G \end {bmatrix }\\begin {bmatrix }\

b_1 \\b_2

\end {bmatrix }\

\end {richten sich aus}.

</Mathematik>

Das ist einfach eine Funktion der vier Variablen a, b, a, und b. Es wird jedoch als eine Funktion mehr rentabel angesehen, die ein Paar von Argumenten = [] und b = [b b] nimmt, die Vektoren im uv-plane sind. D. h. gestellter

:

Das ist eine symmetrische Funktion in a und b, das bedeutend

:

Es ist auch das bilineare Meinen, dass es in jeder Variable a und b getrennt geradlinig ist. Das, ist

::

für irgendwelche Vektoren a, a&prime; b, und b&prime; im uv Flugzeug und irgendwelchen reellen Zahlen μ und λ.

Euklidische Norm eines Tangente-Vektoren

Die Euklidische Norm einer Tangente leitet einfach der Quadratwurzel des Skalarprodukts des Vektoren mit sich zu sein:

:

Winkel zwischen zwei Tangente-Vektoren

Der Winkel &theta; zwischen zwei Tangente-Vektoren a und b kann von ihrem Skalarprodukt berechnet werden:

:

Deshalb,

:

Gebiet

Die Fläche ist eine andere numerische Menge, die nur von der Oberfläche selbst, und nicht davon abhängen sollte, wie es parametrisiert wird. Wenn die OberflächenM durch die Funktion über das Gebiet D im uv-plane parametrisiert wird, dann wird die Fläche der M durch den integrierten gegeben

:

wo &times; zeigt das Kreuzprodukt an, und der absolute Wert zeigt die Länge eines Vektoren im Euklidischen Raum an. Durch die Identität von Lagrange für das Kreuzprodukt kann das Integral geschrieben werden

:

\iint_D &\\sqrt {(\vec {r} _u\cdot\vec {r} _u) (\vec {r} _v\cdot\vec {r} _v) - (\vec {r} _u\cdot\vec {r} _v) ^2 }\\, du \, dv \\

&\\Viererkabel =\iint_D\sqrt {EG-F^2 }\\, du \, dv \\

&\\Viererkabel =\iint_D\sqrt {\\operatorname {det }\\beginnen {bmatrix} E&F \\F&G \end {bmatrix} }\

\, du \, dv\end {richten }\aus

</Mathematik>

wo det die Determinante ist.

Definition

Lassen Sie M eine glatte Sammelleitung der Dimension n sein; zum Beispiel eine Oberfläche (im Fall n = 2) oder Hyperoberfläche im Kartesianischen Raum R. An jedem Punkt p  M gibt es einen Vektorraum TM, genannt den Tangente-Raum, aus allen Tangente-Vektoren zur Sammelleitung am Punkt p bestehend. Ein metrischer an p ist eine Funktion g (X, Y), der als Eingänge ein Paar von Tangente-Vektoren X und Y an p nimmt, und als eine Produktion eine reelle Zahl (Skalar) erzeugt, so dass die folgenden Bedingungen zufrieden sind:

• g ist bilinear. Eine Funktion von zwei Vektor-Argumenten ist bilinear, wenn es getrennt in jedem Argument geradlinig ist. So, wenn U, V, Y drei Tangente-Vektoren an p und a sind und b reelle Zahlen, dann sind

::::

• g ist symmetrisch. Eine Funktion von zwei Vektor-Argumenten ist vorausgesetzt, dass für alle Vektoren X und Y, symmetrisch

::

• g ist nichtdegeneriert. Eine bilineare Funktion ist vorausgesetzt, dass, für jeden Tangente-Vektoren X  0, die Funktion nichtdegeneriert

::

:obtained, indem er X Konstante gehalten wird und Y erlaubt wird sich zu ändern, ist nicht identisch Null-. D. h. für alle X  0 dort besteht ein solcher Y dass g (X, Y)  0.

Ein metrischer Tensor g auf der M teilt jedem Punkt p von der M ein metrischer g im Tangente-Raum an p in einem Weg zu, der sich glatt mit p ändert. Genauer, in Anbetracht jeder offenen Teilmenge U der mannigfaltigen M und irgendwelcher (glatten) Vektorfelder X und Y auf U, die echte Funktion

:

ist eine glatte Funktion von p.

Bestandteile des metrischen

Die Bestandteile des metrischen in jeder Basis von Vektorfeldern oder Rahmen, f = (X, …, X) werden durch gegeben

Die N-Funktionen g [f] bilden die Einträge n&times;n symmetrische Matrix, G [f]. Wenn

:

sind zwei Vektoren an p  U, dann wird der Wert des metrischen, das auf v und w angewandt ist, durch die Koeffizienten durch bilinearity bestimmt:

:

Die Bezeichnung der Matrix (g [f]) durch G [f] und das Ordnen der Bestandteile der Vektoren v und w in Spaltenvektoren v [f] und w [f],

:

wo v [f] und w [f] das Umstellen der Vektoren v [f] und w [f] beziehungsweise anzeigen. Unter einer Änderung der Basis der Form

:

für einen invertible n&times;n Matrix = (a), die Matrix von Bestandteilen der metrischen Änderungen durch ebenso. Das, ist

:

oder, in Bezug auf die Einträge dieser Matrix,

:

Deshalb, wie man sagt, verwandelt sich das System von Mengen g [f] kovariant in Bezug auf Änderungen im Rahmen f.

Metrisch in Koordinaten

Ein System von n echten geschätzten Funktionen (x, …, x), ein lokales Koordinatensystem auf einem offenen Satz U in der M gebend, bestimmt eine Basis von Vektorfeldern auf U

:

Der metrische g hat Bestandteile hinsichtlich dieses durch gegebenen Rahmens

:

Hinsichtlich eines neuen Systems von lokalen Koordinaten, sagen Sie

:

der metrische Tensor wird eine verschiedene Matrix von Koeffizienten, bestimmen

:

Dieses neue System von Funktionen ist mit dem ursprünglichen g (f) mittels des Kette Regel verbunden

:so dass:

Oder, in Bezug auf den matrices G [f] = (g [f]) und G [f&prime;] = (g [f&prime;]),

:

wo Dy die Matrix von Jacobian der Koordinatenänderung anzeigt.

Unterschrift eines metrischen

Vereinigt zu jedem metrischen Tensor ist die quadratische Form, die in jedem Tangente-Raum durch definiert ist

:

Wenn q für die ganze Nichtnull X positiv ist, dann ist das metrische bestimmt an der M positiv. Wenn das metrische bestimmt an jeder M  M positiv ist, dann wird g metrischen Riemannian genannt. Mehr allgemein, wenn die quadratischen Formen q unveränderliche der M unabhängige Unterschrift haben, dann ist die Unterschrift von g diese Unterschrift, und g wird einen pseudo-Riemannian metrischen genannt. Wenn M verbunden wird, dann hängt die Unterschrift von q von M nicht ab.

Nach dem Gesetz von Sylvester der Trägheit kann eine Basis von Tangente-Vektoren X lokal so dass die quadratische Form diagonalizes auf die folgende Weise gewählt werden

:

für einen p zwischen 1 und n. Irgendwelche zwei solche Ausdrücke von q (an demselben Punkt M von M) werden dieselbe Nummer p von positiven Zeichen haben. Die Unterschrift von g ist das Paar von ganzen Zahlen (p, n &minus; p), das Bedeuten, dass es p positive Zeichen und n &minus gibt; p negative Zeichen in jedem solchem Ausdruck. Gleichwertig hat das metrische Unterschrift (p, n &minus; p) wenn die Matrix g des metrischen p positiv und n &minus hat; p negativer eigenvalues.

Bestimmte metrische Unterschriften, die oft in Anwendungen entstehen, sind:

• Wenn g Unterschrift hat (n, 0), dann ist g Riemannian metrisch, und M wird eine Sammelleitung von Riemannian genannt. Sonst ist g ein pseudo-Riemannian metrischer, und M wird eine Pseudo-Riemannian-Sammelleitung genannt (der Begriff wird semi-Riemannian auch verwendet).
• Wenn M mit der Unterschrift (1,3) oder (3,1) vierdimensional ist, dann wird das metrische Lorentzian genannt. Mehr allgemein, ein metrischer Tensor in der Dimension n anders als 4 der Unterschrift (1, n &minus; 1) oder (n &minus; 1, wird manchmal auch 1) Lorentzian genannt.
• Wenn M 2n-dimensional ist und g Unterschrift hat (n, n), dann wird das metrische ultrahyperbolisch genannt.

Metrisches Gegenteil

Lassen Sie f = (X, …, X) eine Basis von Vektorfeldern, und als über gelassenem G [f] sein, die Matrix von coeffients sein

:

Man kann die umgekehrte Matrix G [f] denken, der mit dem Gegenteil metrisch (oder verbunden oder Doppel-metrisch) identifiziert wird. Das metrische Gegenteil befriedigt ein Transformationsgesetz, wenn der Rahmen f durch eine Matrix über geändert wird

Das metrische Gegenteil verwandelt sich kontravariant, oder in Bezug auf das Gegenteil der Änderung der Basismatrix A. Wohingegen das metrische selbst eine Weise zur Verfügung stellt, die Länge (oder Winkel zwischen) Vektorfelder, der umgekehrte metrische Bedarf ein Mittel zu messen, die Länge (oder Winkel zwischen) covector Felder zu messen; d. h. Felder von geradlinigem functionals.

Um das zu sehen, nehmen Sie an, dass α ein covector Feld ist. Zum Witz, für jeden Punkt p, bestimmt α eine Funktion α definiert auf Tangente-Vektoren an p, so dass die folgende Linearitätsbedingung für alle Tangente-Vektoren X und Y und alle reellen Zahlen a und b hält:

:

Da sich p ändert, wie man annimmt, ist α eine glatte Funktion im Sinn das

:

ist eine glatte Funktion von p für jedes glatte Vektorfeld X.

Jedes covector Feld α hat Bestandteile in der Basis von Vektorfeldern f. Diese werden durch bestimmt

:

Zeigen Sie den Zeilenvektoren dieser Bestandteile durch an

:

Unter einer Änderung von f durch eine Matrix A α ändert sich [f] durch die Regel

:

D. h. der Zeilenvektor von Bestandteilen α [f] verwandelt sich als ein kovarianter Vektor.

Für ein Paar α und β von covector Feldern, definieren Sie das Gegenteil metrisch angewandt auf diese zwei covectors durch

Die resultierende Definition, obwohl es die Wahl der Basis f einschließt, hängt von f auf eine wesentliche Weise nicht wirklich ab. Tatsächlich gibt das Ändern der Basis zu fA

:

\alpha [\mathbf {f}] G [\mathbf {f}] ^ {-1 }\\Beta [\mathbf {f}] ^\\Spitze &= (\alpha [\mathbf {f}] A) \left (A^ {-1} G [\mathbf {f}] ^ {-1} (A^ {-1}) ^\\top\right) A^\\top\beta [\mathbf {f}] ^\\Spitze \\

&= \alpha [\mathbf {f}] G [\mathbf {f}] ^ {-1 }\\Beta [\mathbf {f}] ^\\Spitze.

\end {richten }\aus</Mathematik>

So dass die Rechte der Gleichung durch das Ändern der Basis f zu jeder anderen Basis fA was auch immer ungekünstelt ist. Folglich kann die Gleichung eine Bedeutung unabhängig von der Wahl der Basis zugeteilt werden. Die Einträge der Matrix G [f] werden durch g angezeigt, wo die Indizes i und j erhoben worden sind, um das Transformationsgesetz anzuzeigen.

Die Aufhebung und das Senken von Indizes

In einer Basis von Vektorfeldern f = (X, …, X), kann jedes glatte Tangente-Vektorfeld X in der Form geschrieben werden

für einige einzigartig entschlossene glatte Funktionen v, …, v. Nach dem Ändern der Basis f durch eine nichtsinguläre Matrix A, die Koeffizienten v Änderung auf solche Art und Weise, dass Gleichung wahr bleibt. Das, ist

:

X = \mathbf {fA} v [\mathbf {fA}] = \mathbf {f} v [\mathbf {f}].

</Mathematik>

Folglich, v [fA] = Av [f]. Mit anderen Worten verwandeln sich die Bestandteile eines Vektoren kontravariant (in Bezug auf das Gegenteil) unter einer Änderung der Basis durch die nichtsinguläre Matrix A. Die Kontravarianz der Bestandteile von v [f] ist benannter notationally durch das Stellen der Indizes von v [f] in der oberen Position.

Ein Rahmen erlaubt auch covectors, in Bezug auf ihre Bestandteile ausgedrückt zu werden. Für die Basis von Vektorfeldern f = (X, …, X) definieren die Doppelbasis, um der geradlinige functionals (θ [f], …, θ [f]) solch dass zu sein

:

D. h. θ [f] (X) = δ, das Delta von Kronecker. Lassen Sie

:

Unter einer Änderung der Basis f  fA für eine nichtsinguläre Matrix A θ verwandelt sich [f] über

:

Jeder geradlinige funktionelle α auf Tangente-Vektoren kann in Bezug auf die Doppelbasis θ\ausgebreitet werden

wo [f] den Zeilenvektoren [[f] … [f]] anzeigt. Die Bestandteile ein Umgestalten, wenn die Basis f durch fA auf solche Art und Weise ersetzt wird, dass Gleichung fortsetzt zu halten. Das, ist

:

woher, weil θ [fA] = Aθ [f], hieraus folgt dass [fA] = [f] A. D. h. die Bestandteile ein Umgestalten kovariant (durch die Matrix A aber nicht sein Gegenteil). Die Kovarianz der Bestandteile [f] ist benannter notationally durch das Stellen der Indizes [f] in der niedrigeren Position.

Jetzt gibt der metrische Tensor ein Mittel, Vektoren und covectors wie folgt zu identifizieren. X befestigt, die Funktion haltend

:

des Tangente-Vektoren definiert Y einen geradlinigen funktionellen auf dem Tangente-Raum an p. Diese Operation nimmt einen Vektoren X an einem Punkt p und erzeugt einen covector g (X, &minus). In einer Basis von Vektorfeldern f, wenn ein Vektorfeld X Bestandteile v [f], dann die Bestandteile des covector Feldes g hat (X, &minus) in der Doppelbasis werden durch die Einträge des Zeilenvektoren gegeben

:

Unter einer Änderung der Basis ffA verwandelt sich die Rechte dieser Gleichung über

:

so dass [fA] = [f] A: ein Umgestalten kovariant. Die Operation des Verbindens zu den (kontravarianten) Bestandteilen eines Vektorfeldes v [f] = [v [f] v [f] … v [f]  ] die (kovarianten) Bestandteile des covector Feldes [f] = [[f] [f] … [f]  ] wo

:

wird genannt, den Index senkend.

Um den Index zu erheben, wendet man denselben Aufbau, aber mit dem statt des metrischen metrischen Gegenteil an. Wenn [f] = [[f] [f] … [f]  ] sind die Bestandteile eines covector in der Doppelbasis θ [f], dann der Spaltenvektor

hat Bestandteile, die sich kontravariant verwandeln:

:

Folglich hängt die Menge X = fv [f] von der Wahl der Basis f auf eine wesentliche Weise nicht ab, und definiert so ein Vektorfeld auf der M. Die Operation , zu den (kovarianten) Bestandteilen eines covector [f] die (kontravarianten) Bestandteile eines Vektoren v [f] gegeben verkehrend, wird genannt, den Index erhebend. In Bestandteilen, ist

:

Veranlasst metrisch

Lassen Sie U ein offener Satz in R sein, und φ unaufhörlich differentiable Funktion von U in den Euklidischen Raum R wo m> n sein zu lassen. φ kartografisch darzustellen, wird eine Immersion genannt, wenn φ eine Injective-Funktion ist und die Matrix von Jacobian von φ Reihe n an jedem Punkt von U hat. Das Image von φ wird eine versunkene Subsammelleitung genannt.

Nehmen Sie an, dass φ eine Immersion auf die submannigfaltige M  R ist. Das übliche Euklidische Punktprodukt in R ist ein metrischer, der, wenn eingeschränkt, auf die Vektor-Tangente zur M, ein Mittel gibt, für das Punktprodukt dieser Tangente-Vektoren zu nehmen. Das wird das veranlasste metrische genannt.

Nehmen Sie an, dass v ein Tangente-Vektor an einem Punkt von U ist, sagen Sie

:

wo e die Standardkoordinatenvektoren in R sind. Wenn φ auf U angewandt wird, geht der Vektor v zur Vektor-Tangente zur durch gegebenen M durch

:

(Das wird den pushforward von v entlang φ genannt.) Gegeben zwei solche Vektoren, v und w, wird das veranlasste metrische durch definiert

:

Es folgt aus einer aufrichtigen Berechnung, die die Matrix des veranlassten metrischen in der Basis von Koordinatenvektorfeldern e durch gegeben wird

:

wo Dφ die Matrix von Jacobian ist:

:

\frac {\\partial\phi^1} {\\teilweiser x^1} &\\frac {\\partial\phi^1} {\\teilweiser x^2} &\\dots& \frac {\\partial\phi^1} {\\teilweiser x^n }\\\[1ex]

\frac {\\partial\phi^2} {\\teilweiser x^1} &\\frac {\\partial\phi^2} {\\teilweiser x^2} &\\dots& \frac {\\partial\phi^2} {\\teilweiser x^n }\\\

\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\

\frac {\\partial\phi^m} {\\teilweiser x^1} &\\frac {\\partial\phi^m} {\\teilweiser x^2} &\\dots& \frac {\\partial\phi^m} {\\teilweiser x^n }\\\

\end {bmatrix}.

</Mathematik>

Innere Definitionen eines metrischen

Der Begriff eines metrischen kann wirklich mit der Sprache von Faser-Bündeln und Vektor-Bündeln definiert werden. In diesen Begriffen ist ein metrischer Tensor eine Funktion

vom Faser-Produkt des Tangente-Bündels der M zu solchem R, dass die Beschränkung von g zu jeder Faser ist nichtdegeneriert bilinear kartografisch darzustellen

:

kartografisch darzustellen, ist erforderlich, und häufig unaufhörlich differentiable dauernd, oder echt analytisch abhängig vom Fall von Interesse glatt zu sein, und ob M solch eine Struktur unterstützen kann.

Metrisch als eine Abteilung eines Bündels

Durch das universale Eigentum des Tensor-Produktes irgendwelcher bilinear kartografisch darzustellen, führt natürlich zu einem Abschnitt g des Doppel-vom Tensor-Produktbündel von TM mit sich

:

Der Abschnitt g wird auf einfachen Elementen von TMTM durch definiert

:

und wird auf willkürlichen Elementen von TMTM durch das Verlängern geradlinig bis zu geradlinige Kombinationen von einfachen Elementen definiert. Die ursprüngliche bilineare Form g ist wenn und nur wenn symmetrisch

:wo:

ist die Litzen-Karte.

Da M endlich-dimensional ist, gibt es einen natürlichen Isomorphismus

:

so dass g auch als eine Abteilung des Bündels betrachtet wird, stopfen T*MT*M des Kotangens T*M mit sich. Da g symmetrisch ist als, bilinear kartografisch darzustellen, hieraus folgt dass g ein symmetrischer Tensor ist.

Metrisch in einem Vektor-Bündel

Mehr allgemein kann man von einem metrischen in einem Vektor-Bündel sprechen. Wenn E ein Vektor-Bündel über eine mannigfaltige M ist, dann ist ein metrischer kartografisch darzustellen

:

vom Faser-Produkt von E zu R, der in jeder Faser bilinear ist:

:

Mit der Dualität als oben wird ein metrischer häufig mit einer Abteilung des Tensor-Produktbündels identifiziert, (Sieh metrisch (Vektor-Bündel).)

Isomorphismus des Tangente-Kotangens

Der metrische Tensor gibt einen natürlichen Isomorphismus vom Tangente-Bündel bis das Kotangens-Bündel, manchmal genannt den Musikisomorphismus. Dieser Isomorphismus wird durch das Setzen, für jeden Tangente-Vektoren X  TM, erhalten

:

das geradlinige funktionelle auf TM, der einen Tangente-Vektoren Y an p zu g (X, Y) sendet. D. h. in Bezug auf die Paarung [&minus;,&minus;] zwischen TM und seinem DoppelraumT*M,

:

für alle Tangente-Vektoren X und Y. Der kartografisch darstellende S ist eine geradlinige Transformation von TM bis T*M. Es folgt aus der Definition der Nichtentartung, dass der Kern von S auf die Null reduziert wird, und so durch den Lehrsatz der Reihe-Ungültigkeit ist S ein geradliniger Isomorphismus. Außerdem ist S eine symmetrische geradlinige Transformation im Sinn das

:

für alle Tangente-Vektoren X und Y.

Umgekehrt, jeder geradlinige Isomorphismus S: TM  TM definiert eine nichtdegenerierte bilineare Form auf TM mittels

:

Diese bilineare Form ist symmetrisch, wenn, und nur wenn S symmetrisch ist. Es gibt so eine natürliche isomorphe Ähnlichkeit zwischen symmetrischen bilinearen Formen auf TM und symmetrischem geradlinigem Isomorphismus von TM zum DoppelT*M.

Da sich p über die M ändert, definiert S eine Abteilung des Bündels Hom (TM, T*M) vom Vektor-Bündel-Isomorphismus des Tangente-Bündels zum Kotangens-Bündel. Diese Abteilung hat dieselbe Glätte wie g: Es, ist differentiable dauernd, glatt, oder je nachdem, wie g echt-analytisch. Der kartografisch darstellende S, der zu jedem Vektorfeld auf der M ein covector Feld auf der M verkehrt, gibt eine abstrakte Formulierung, "den Index" auf einem Vektorfeld zu senken. Das Gegenteil von S ist T*M  TM kartografisch darzustellen, der analog eine abstrakte Formulierung gibt, "den Index" auf einem covector Feld zu erheben.

Das Gegenteil S definiert geradlinig kartografisch darzustellen

:

der nichtsingulär und im Sinn das symmetrisch

ist:

für den ganzen covectors α, β. Solch ein nichtsingulär symmetrisch kartografisch darzustellen, führt (durch den Tensor-hom adjunction) zu einer Karte

:

oder durch den doppelten Doppelisomorphismus zu einer Abteilung des Tensor-Produktes

:

Arclength und das Linienelement

Nehmen Sie an, dass g auf der M metrischer Riemannian ist. In einem lokalen Koordinatensystem x erscheine ich = 1,2, …, n, der metrische Tensor als eine Matrix, angezeigt hier durch G, dessen Einträge die Bestandteile g des metrischen Tensor hinsichtlich der Koordinatenvektorfelder sind.

Lassen Sie γ (t) ein piecewise differentiable parametrische Kurve in der M, für einen t  b sein. Der arclength der Kurve wird durch definiert

:

Im Zusammenhang mit dieser geometrischen Anwendung, die quadratische Differenzialform

:

wird die erste grundsätzliche zum metrischen vereinigte Form genannt, während ds das Linienelement ist. Wenn ds zum Image einer Kurve in der M zurückgezogen wird, vertritt es das Quadrat des Differenzials in Bezug auf arclength.

Für einen pseudo-Riemannian metrischen wird die Länge-Formel oben nicht immer definiert, weil der Begriff unter der Quadratwurzel negativ werden kann. Wir definieren allgemein nur die Länge einer Kurve, wenn die Menge unter der Quadratwurzel immer eines Zeichens oder des anderen ist. Definieren Sie in diesem Fall

:

Bemerken Sie, dass, während diese Formeln Koordinatenausdrücke verwenden, sie tatsächlich der gewählten Koordinaten unabhängig sind; sie hängen nur vom metrischen, und die Kurve ab, entlang der die Formel integriert wird.

Die Energie, abweichenden Grundsätze und geodesics

In Anbetracht eines Segmentes einer Kurve ist eine andere oft definierte Menge die (kinetische) Energie der Kurve:

:

Dieser Gebrauch kommt aus der Physik, spezifisch, klassischen Mechanik, wo, wie man sehen kann, der integrierte E der kinetischen Energie einer Punkt-Partikel direkt entspricht, die die Oberfläche einer Sammelleitung vorwärtstreibt. So, zum Beispiel, in der Formulierung von Jacobi des Grundsatzes von Maupertuis, wie man sehen kann, entspricht der metrische Tensor dem Massentensor einer bewegenden Partikel.

In vielen Fällen, wann auch immer eine Berechnung auffordert, dass die Länge verwendet wird, kann eine ähnliche Berechnung mit der Energie ebenso getan werden. Das führt häufig zu einfacheren Formeln durch das Vermeiden des Bedürfnisses nach der Quadratwurzel. So, zum Beispiel, können die geodätischen Gleichungen durch die Verwendung abweichender Grundsätze entweder auf die Länge oder auf die Energie erhalten werden. Im späteren Fall, wie man sieht, entstehen die geodätischen Gleichungen aus dem Grundsatz von kleinster Handlung: Sie beschreiben die Bewegung einer "freien Partikel" (eine Partikel, keine Kräfte fühlend), der beschränkt wird, um die Sammelleitung vorwärtszutreiben, aber sich sonst frei mit dem unveränderlichen Schwung innerhalb der Sammelleitung bewegt.

Kanonisches Maß und Volumen-Form

In der Analogie mit dem Fall von Oberflächen verursacht ein metrischer Tensor auf einer n-dimensional mannigfaltigen ParakompaktM eine natürliche Weise, das n-dimensional Volumen von Teilmengen der Sammelleitung zu messen. Das resultierende natürliche positive Maß von Borel erlaubt, eine Theorie zu entwickeln, Funktionen auf der Sammelleitung mittels verbundenen integrierten Lebesgue zu integrieren.

Ein Maß, kann durch den Darstellungslehrsatz von Riesz, durch das Geben eines positiven geradlinigen funktionellen Λ auf dem Raum C (M) von kompakt unterstützten dauernden Funktionen auf der M definiert werden. Genauer, wenn M eine Sammelleitung mit (pseudo-) Riemannian metrischer Tensor g ist, dann gibt es ein einzigartiges positives Maß von Borel μ solch das für jede Koordinatenkarte (U, φ),

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für den ganzen in U unterstützten ƒ. Hier ist det g die Determinante der Matrix, die durch die Bestandteile des metrischen Tensor in der Koordinatenkarte gebildet ist. Das Λ ist auf in der Koordinatennachbarschaft unterstützten Funktionen bestimmt, wird durch die Änderung von Jacobian von Variablen gerechtfertigt. Es streckt sich bis zu einen einzigartigen positiven geradlinigen funktionellen auf C (M) mittels einer Teilung der Einheit aus.

Wenn M außerdem orientiert wird, dann ist es möglich, eine natürliche Volumen-Form vom metrischen Tensor zu definieren. In einem positiv orientierten Koordinatensystem (x..., x) wird die Volumen-Form als vertreten

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wo die dx die Koordinatendifferenziale sind und der Keil  das Außenprodukt in der Algebra von Differenzialformen anzeigt. Die Volumen-Form gibt auch eine Weise, Funktionen auf der Sammelleitung zu integrieren, und dieses geometrische Integral stimmt mit dem durch das kanonische Maß von Borel erhaltenen Integral zu.

Beispiele

Das Euklidische metrische

Das vertrauteste Beispiel ist das der elementaren Euklidischen Geometrie: der zweidimensionale Euklidische metrische Tensor. Im üblichen - Koordinaten können wir schreiben

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Die Länge einer Kurve nimmt zur Formel ab:

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Das Euklidische metrische in einigen anderen allgemeinen Koordinatensystemen kann wie folgt geschrieben werden.

Polarkoordinaten:

:::

So

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durch die trigonometrische Identität.

Im Allgemeinen, in einem Kartesianischen Koordinatensystem x auf einem Euklidischen Raum, sind die partiellen Ableitungen in Bezug auf das Euklidische metrische orthonormal. So ist der metrische Tensor das Delta von Kronecker δ in diesem Koordinatensystem. Durch den metrischen Tensor in Bezug auf den willkürlichen (vielleicht krummlinig) Koordinaten wird gegeben:

::

Die auf einem Bereich metrische Runde

Der Einheitsbereich in R kommt ausgestattet mit einem natürlichen vom umgebenden Euklidischen metrischen veranlassten metrischen. In kugelförmigen Standardkoordinaten, mit der Co-Breite, der Winkel, der von der z Achse und dem Winkel von der x Achse im xy Flugzeug gemessen ist, nimmt das metrische die Form an

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Das wird gewöhnlich in der Form geschrieben

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Metrik von Lorentzian von der Relativität

In der Wohnung Raum von Minkowski (spezielle Relativität) mit Koordinaten ist das metrische

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Für eine Kurve mit - für die mit dem Beispiel unveränderliche Zeitkoordinate nimmt die Länge-Formel damit metrisch zur üblichen Länge-Formel ab. Für eine Zeitmäßigkurve gibt die Länge-Formel die richtige Zeit entlang der Kurve.

In diesem Fall wird der Raum-Zeit-Zwischenraum als geschrieben

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Das Schwarzschild metrische beschreibt die Raum-Zeit um einen kugelförmig symmetrischen Körper, wie ein Planet oder ein schwarzes Loch. Mit Koordinaten können wir das metrische als schreiben

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wo G (innerhalb der Matrix) die Gravitationskonstante und M die Masse des Körpers ist.

Siehe auch

• Grundlegende Einführung in die Mathematik der gekrümmten Raum-Zeit
• Algebra von Clifford
• Finsler vervielfältigen
• Liste von Koordinatenkarten
• Rechnung von Ricci

Zeichen

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• übersetzt durch A.M.Hiltebeitel und J.C.Morehead; "Disquisitiones generales um superficies curvas", Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores Vol. VI (1827), Seiten 99-146.

. . . .

• (um zu erscheinen).

Außenverbindungen

• Caltech Tutorenkurs auf der Relativität - Eine einfache Einführung in die Grundlagen der Metrik im Zusammenhang der Relativität.