In der Trigonometrie und Geometrie ist Triangulation der Prozess, die Position eines Punkts durch das Messen von Winkeln dazu von bekannten Punkten an jedem Ende einer festen Grundlinie zu bestimmen, anstatt Entfernungen zum Punkt direkt (trilateration) zu messen. Der Punkt kann dann als der dritte Punkt eines Dreiecks mit einer bekannter Seite und zwei bekannten Winkeln befestigt werden.

Triangulation kann sich auch auf das genaue Vermessen von Systemen von sehr großen Dreiecken, genannt Triangulationsnetze beziehen. Das ist aus der Arbeit von Willebrord Snell in 1615-17 gefolgt, wer gezeigt hat, wie ein Punkt von den Winkeln gelegen werden konnte, die von drei bekannten Punkten entgegengesetzt sind, aber am neuen unbekannten Punkt aber nicht den vorher festen Punkten gemessen hat, hat ein Problem resectioning genannt. Das Vermessen des Fehlers wird minimiert, wenn ein Ineinandergreifen von Dreiecken an der größten passenden Skala zuerst gegründet wird. Punkte innerhalb der Dreiecke können alle dann bezüglich seiner genau gelegen werden. Solche Triangulationsmethoden wurden für das genaue groß angelegte Land verwendet, bis zum Anstieg von globalen Navigationssatellitensystemen in den 1980er Jahren überblickend.

Anwendungen

Optische 3. Messsysteme verwenden diesen Grundsatz ebenso, um die Raumdimensionen und die Geometrie eines Artikels zu bestimmen. Grundsätzlich besteht die Konfiguration aus zwei Sensoren, die den Artikel beobachten. Einer der Sensoren ist normalerweise ein Digitalkameragerät, und der andere kann auch eine Kamera oder ein leichter Kinoprojektor sein. Die Vorsprung-Zentren der Sensoren und des überlegten Punkts auf der Oberfläche des Gegenstands definieren ein (räumliches) Dreieck. Innerhalb dieses Dreiecks ist die Entfernung zwischen den Sensoren die Basis b und muss bekannt sein. Durch die Bestimmung der Winkel zwischen den Vorsprung-Strahlen der Sensoren und der Basis werden der Kreuzungspunkt, und so die 3. Koordinate, von den Dreiecksbeziehungen berechnet.

Entfernung zu einem Punkt durch das Messen zwei fester Winkel

Die Koordinaten und Entfernung zu einem Punkt können durch das Rechnen der Länge einer Seite eines Dreiecks, gegeben Maße von Winkeln und Seiten des Dreiecks gefunden werden, das durch diesen Punkt und zwei andere bekannte Bezugspunkte gebildet ist.

Die folgenden Formeln gelten in der Wohnung oder Euklidischen Geometrie. Sie werden ungenau, wenn Entfernungen merklich im Vergleich zur Krümmung der Erde werden, aber durch mehr komplizierte abgeleitete Ergebnisse mit der kugelförmigen Trigonometrie ersetzt werden können.

Berechnung

Deshalb

Das Verwenden der trigonometrischen Identitätslohe α = sündigt α / weil α und Sünde (α + β) = α sündigen, weil β + weil α-Sünde β, das gleichwertig ist zu:

Davon ist es leicht, die Entfernung des unbekannten Punkts von jedem Beobachtungspunkt, seiner nördlichen/südlichen und östlichen/westlichen Ausgleiche vom Beobachtungspunkt, und schließlich seiner vollen Koordinaten zu bestimmen.

Geschichte

Triangulation wird heute zu vielen Zwecken, einschließlich des Vermessens, der Navigation, der Metrologie, astrometry, der beidäugigen Vision, der Musterraketentechnik und der Pistole-Richtung von Waffen verwendet.

Der Gebrauch von Dreiecken, um Entfernungen zu schätzen, geht zur Altertümlichkeit zurück. Im 6. Jahrhundert v. Chr. wird der griechische Philosoph Thales als das Verwenden ähnlicher Dreiecke registriert, um die Höhe der Pyramiden zu schätzen, indem er die Länge ihrer Schatten und diesen seiner eigenen im gleichen Moment misst, und die Verhältnisse mit seiner Höhe (Abschnitt-Lehrsatz) vergleicht; und die Entfernungen zu Schiffen, auf See wie gesehen, von einem clifftop, durch das Messen der horizontalen Entfernung geschätzt zu haben, die durch die Gesichtslinie für einen bekannten Fall und das Schuppen bis zur Höhe der ganzen Klippe überquert ist. Solche Techniken wären für die alten Ägypter vertraut gewesen. Problem 57 des Papyrus von Rhind definiert eintausend Jahre früher den seqt oder seked als das Verhältnis des Laufs zum Anstieg eines Hangs, d. h. dem Gegenstück von Anstiegen, wie gemessen, heute. Der Hang und die Winkel wurden mit einer Zielen-Stange gemessen, dass die Griechen einen dioptra, das Vorzeichen des arabischen alidade genannt haben. Eine ausführliche zeitgenössische Sammlung von Aufbauten für den Entschluss von Längen von einer Entfernung mit diesem Instrument, ist Dioptra des Helden Alexandrias bekannt (c. 10-70 n.Chr.), der in der arabischen Übersetzung überlebt hat; aber die Kenntnisse sind verloren in Europa geworden. In China hat Pei Xiu (224-271) "das Messen richtiger Winkel und akuter Winkel" als der fünfte von seinen sechs Grundsätzen für die genaue Kartografie, notwendig identifiziert, um Entfernungen genau zu gründen; während Liu Hui (c. 263) gibt eine Version der Berechnung oben, um rechtwinklige Entfernungen zu unzugänglichen Plätzen zu messen.

Im Feld wurden Triangulationsmethoden anscheinend von den römischen Fachmann-Landvermessern, dem agromensores nicht verwendet; aber wurden ins mittelalterliche Spanien durch arabische Abhandlungen auf dem Astrolabium, wie das von Ibn al-Saffar eingeführt (d. 1035). Abu Rayhan Biruni (d. 1048) auch eingeführte Triangulationstechniken, um die Größe der Erde und der Entfernungen zwischen verschiedenen Plätzen zu messen. Vereinfachte römische Techniken scheinen dann, mit hoch entwickelteren von Berufslandvermessern verwendeten Techniken koexistiert zu haben. Aber es war für solche Methoden selten, in Latein übersetzt zu werden (ein Handbuch auf der Geometrie, das elfte Jahrhundert Geomatria incerti auctoris ist eine seltene Ausnahme), und solche Techniken scheinen, nur langsam in den Rest Europas durchgesickert zu sein. Geschärftes Bewusstsein und Gebrauch solcher Techniken in Spanien können vom Personal des mittelalterlichen Jacobs, verwendet spezifisch beglaubigt werden, um Winkel, der Daten ungefähr von 1300 zu messen; und das Äußere genau überblickter Küstenlinien in den Karten von Portolan, von denen die frühste das überlebt, ist datierter 1296.

Gemma Frisius und Triangulation für die Kartografie

Auf dem Land hat der holländische Kartenzeichner Gemma Frisius vorgehabt, Triangulation zu verwenden, um entfernte Plätze für die Kartografie in seiner 1533-Druckschrift Libellus de Locorum describendorum ratione genau einzustellen (Broschüre bezüglich einer Weise, Plätze zu beschreiben), in dem er als ein Anhang in einer neuen Ausgabe von meistgekauftem 1524-Cosmographica von Peter Apian gebunden hat. Das ist sehr einflussreich, und die Technik-Ausbreitung über Deutschland, Österreich und die Niederlande geworden. Der Astronom Tycho Brahe hat die Methode in Skandinavien angewandt, eine ausführliche Triangulation 1579 der Insel Hven vollendend, wo seine Sternwarte bezüglich Schlüsselgrenzsteine an beiden Seiten Øresund basiert hat, einen Stand-Plan der Insel 1584 erzeugend. In der Methode von England Frisius wurde in die steigende Zahl von Büchern auf dem Vermessen eingeschlossen, das von der Mitte des Jahrhunderts vorwärts, einschließlich des Weltbeschreibenden Glasse von William Cunningham (1559), der Abhandlung von Valentine Leigh erschienen ist, Alle Arten von Ländern (1562), die Regierungen von William Bourne der Navigation (1571), die Geometrische Praxis von Thomas Digges genannt Pantometria (1571), und der Dialog des Landvermessers von John Norden (1607) Zu messen. Es ist darauf hingewiesen worden, dass Christopher Saxton schlechte und rechte Triangulation verwendet haben kann, um Eigenschaften in seine Grafschaftkarten der 1570er Jahre zu legen; aber andere nehmen an, dass, raue Lager zu Eigenschaften von Schlüsselstandpunkten erhalten, er die Entfernungen zu ihnen einfach durch die Spekulation geschätzt haben kann.

Willebrord Snell und moderne Triangulationsnetze

Der moderne systematische Gebrauch von Triangulationsnetzen stammt von der Arbeit des holländischen Mathematikers Willebrord Snell, der 1615 die Entfernung von Alkmaar bis Zoom von Bergen op, etwa 70 Meilen (110 Kilometer) mit einer Kette von Vierecken überblickt hat, die 33 Dreiecke insgesamt enthalten. Die zwei Städte wurden durch einen Grad auf dem Meridian getrennt, so von seinem Maß ist er im Stande gewesen, einen Wert für den Kreisumfang der Erde - eine Leistung zu berechnen, die im Titel seines Buches Eratosthenes Batavus (Der holländische Eratosthenes) gefeiert ist, veröffentlicht 1617. Snell hat gerechnet, wie die planaren Formeln korrigiert werden konnten, um die Krümmung der Erde zu berücksichtigen. Er hat auch gezeigt, wie zur Resektion, oder, die Position eines Punkts innerhalb eines Dreiecks mit dem Winkelwurf zwischen den Scheitelpunkten am unbekannten Punkt rechnen. Diese konnten viel genauer gemessen werden als Lager der Scheitelpunkte, die von einem Kompass abgehangen haben. Das hat die Schlüsselidee gegründet, ein groß angelegtes primäres Netz von Kontrollpunkten zuerst zu überblicken, und dann sekundäre Unterstützungspunkte später innerhalb dieses primären Netzes ausfindig zu machen.

Die Methoden von Snell wurden von Jean Picard aufgenommen, der in 1669-70 einen Grad der Breite entlang dem Pariser Meridian mit einer Kette von dreizehn Dreiecken überblickt hat, die Norden von Paris zum Uhrturm von Sourdon in der Nähe von Amiens strecken. Dank Verbesserungen in Instrumenten und Genauigkeit wird Picard als das erste vernünftig genaue Maß des Radius der Erde abgeschätzt. Im Laufe des nächsten Jahrhunderts wurde diese Arbeit am meisten namentlich von der Familie von Cassini erweitert: Zwischen 1683 und 1718 haben Jean-Dominique Cassini und sein Sohn Jacques Cassini den ganzen der Pariser Meridian von Dunkirk bis Perpignan überblickt; und zwischen 1733 und 1740 haben Jacques und sein Sohn César Cassini die erste Triangulation des ganzen Landes einschließlich eines Wiedervermessens des Meridian-Kreisbogens übernommen, zur Veröffentlichung 1745 der ersten Karte auf strengen Grundsätzen gebauten Frankreichs führend.

Triangulationsmethoden wurden inzwischen für die lokale Kartografie gut gegründet, aber es war nur zum Ende des 18. Jahrhunderts, dass andere Länder begonnen haben, ausführlich berichtete Triangulationsnetzüberblicke zu gründen, um ganze Länder kartografisch darzustellen. Die Haupttriangulation Großbritanniens wurde durch die Amtliche Landesvermessung 1783, obwohl nicht vollendet bis 1853 begonnen; und der Große Trigonometrische Überblick über Indien, das schließlich genannt hat und den Mount Everest und die anderen Himalajaspitzen kartografisch dargestellt hat, wurde 1801 begonnen. Für den Napoleonischen französischen Staat wurde die französische Triangulation von Jean Joseph Tranchot ins deutsche Rheinland von 1801 erweitert, nachher nach 1815 vom preußischen General Karl von Müffling vollendet. Inzwischen wurde der berühmte Mathematiker Carl Friedrich Gauss von 1821 bis 1825 mit der Triangulation des Königreichs Hanovers anvertraut, für das er die Methode von kleinsten Quadraten entwickelt hat, die beste passende Lösung für Probleme von großen Systemen von gleichzeitigen Gleichungen gegeben mehr wirkliche Maße zu finden, als unknowns.

Heute sind groß angelegte Triangulationsnetze für die Positionierung durch die Globalen seit den 1980er Jahren gegründeten Navigationssatellitensysteme größtenteils ersetzt worden. Aber viele der Kontrollpunkte für die früheren Überblicke überleben noch als geschätzte historische Eigenschaften in der Landschaft wie die konkreten Triangulationssäulen, die für die Wiedertriangulation Großbritanniens (1936-1962) oder die Triangulationspunkte aufgestellt sind, die für den Struve Geodätischen Kreisbogen (1816-1855), jetzt aufgestellt sind, vorgesehen als eine UNESCO-Welterbe-Seite.

Siehe auch

• Multilateration, wo ein Punkt mit dem Zeitunterschied der Ankunft zwischen anderen bekannten Punkten berechnet wird
• Trilateration, wo ein Punkt gegeben seine Entfernungen von anderen bekannten Punkten berechnet wird
• GSM Lokalisierung
• Parallaxe
• Resektion
• SOCET SETZEN
• Stereopsis
• Das Vermessen
• Hemmschuh-Punkt
• Triangulation (Sozialwissenschaft) Die Anwendung und Kombination von mehreren Forschungsmethodiken in der Studie desselben Phänomenes.

Weiterführende Literatur

• Bagrow, L. (1964) Geschichte des Kartenzeichnens; revidiert und vergrößert von R.A. Skelton. Universität von Harvard Presse.
• Tante, G.R. (1978 [1953]) Karten und ihre Schöpfer: Eine Einführung in die Geschichte des Kartenzeichnens (5. Hrsg.).
• Tooley, R.V. & Bricker, C. (1969) Eine Geschichte des Kartenzeichnens: 2500 Jahre von Karten und Kartographen
• Keay, J. (2000) Der Große Kreisbogen: Das Dramatische Märchen dessen, Wie Indien Kartografisch dargestellt Wurde und der Everest, Wurde Genannt. London: Harper Collins. Internationale Standardbuchnummer 0-00-257062-9.
• Murdin, P. (2009) Voller Meridian des Ruhms: Lebensgefährliche Abenteuer in der Konkurrenz, um die Erde Zu messen. Springer. Internationale Standardbuchnummer 978-0-387-75533-5.