In der Mathematik, einer Folge von Sheffer oder poweroid ist eine polynomische Folge, d. h., eine Folge {p (x): n = 0, 1, 2, 3...} Polynome, in denen der Index jedes Polynoms seinem Grad gleichkommt, Bedingungen befriedigend, die mit der umbral Rechnung in combinatorics verbunden sind. Sie werden für Isadore M. Sheffer genannt.

Definition

Befestigen Sie eine polynomische Folge p.

Definieren Sie einen geradlinigen Maschinenbediener Q auf Polynomen in x durch

Das bestimmt Q auf allen Polynomen. Die polynomische Folge p ist eine Folge von Sheffer, wenn der geradlinige gerade definierte Maschinenbediener Q shift-equivariant ist. Hier definieren wir einen geradlinigen Maschinenbediener Q auf Polynomen, um shift-equivariant zu sein, wenn, wann auch immer f (x) = g (x + a) eine "Verschiebung" von g (x), dann (Qf) (x) = (Qg) (x + a) ist, d. h., Q mit jedem "Verschiebungsmaschinenbediener" pendelt. Solch ein Q ist ein Delta-Maschinenbediener.

Eigenschaften

Der Satz aller Folgen von Sheffer ist eine Gruppe unter der Operation der umbral Zusammensetzung von polynomischen Folgen, definiert wie folgt. Denken Sie {p (x): n = 0, 1, 2, 3...} und {q (x): n = 0, 1, 2, 3...} sind polynomische Folgen, die durch gegeben sind

Dann ist die umbral Zusammensetzung die polynomische Folge, deren n-ter Begriff ist

(die Subschrift n erscheint in p, da das der n Begriff dieser Folge, aber nicht in q ist, da sich das auf die Folge als Ganzes aber nicht einen seiner Begriffe bezieht).

Das neutrale Element dieser Gruppe ist die Standardmonom-Basis

Zwei wichtige Untergruppen sind die Gruppe von Folgen von Appell, die jene Folgen sind, für die der Maschinenbediener Q bloße Unterscheidung und die Gruppe von Folgen des binomischen Typs ist, die diejenigen sind, die die Identität befriedigen

Eine Sheffer Folge {p (x): n = 0, 1, 2...} ist des binomischen Typs wenn und nur wenn beide

und

Die Gruppe von Folgen von Appell ist abelian; die Gruppe von Folgen des binomischen Typs ist nicht. Die Gruppe von Folgen von Appell ist eine normale Untergruppe; die Gruppe von Folgen des binomischen Typs ist nicht. Die Gruppe von Folgen von Sheffer ist ein halbdirektes Produkt der Gruppe von Folgen von Appell und der Gruppe von Folgen des binomischen Typs. Hieraus folgt dass jeder coset der Gruppe von Folgen von Appell genau eine Folge des binomischen Typs enthält. Zwei Sheffer Folgen sind in demselben solchem coset, wenn, und nur wenn der Maschinenbediener Q oben beschrieben hat - gerufen hat, ist der "Delta-Maschinenbediener" dieser Folge - derselbe geradlinige Maschinenbediener in beiden Fällen. (Allgemein ist ein Delta-Maschinenbediener shift-equivariant geradliniger Maschinenbediener auf Polynomen, der Grad durch einen reduziert. Der Begriff ist wegen F. Hildebrandts.)

Wenn s (x) eine Folge von Sheffer ist und p (x) eine Folge des binomischen Typs ist, der denselben Delta-Maschinenbediener, dann teilt

Manchmal wird die Begriff-Folge von Sheffer definiert, um eine Folge zu bedeuten, die diese Beziehung zu einer Folge des binomischen Typs trägt.

Insbesondere wenn {s (x)} eine Folge von Appell, dann ist

Die Folge von Polynomen von Hermite, die Folge von Polynomen von Bernoulli und die Monome {x: n = 0, 1, 2...} sind Beispiele von Folgen von Appell.

Eine Sheffer Folge p wird durch seine Exponentialerzeugen-Funktion charakterisiert

wo A und B (formelle) Macht-Reihe in t sind. Folgen von Sheffer sind so Beispiele von verallgemeinerten Polynomen von Appell und haben folglich eine verbundene Wiederauftreten-Beziehung.

Beispiele

Beispiele von polynomischen Folgen, die Folgen von Sheffer sind, schließen ein:

• Die Polynome von Abel;
• Die Polynome von Bernoulli;
• Die factorial Hauptpolynome;
• Die Hermite Polynome;
• Die Laguerre Polynome;
• Die Polynome von Mahler;
• Die Monome {x: n = 0, 1, 2...};
• Die Mott Polynome;

• Nachgedruckt in der folgenden Verweisung.

Links

• Sheffer Folge an MathWorld