In der Mathematik vor den 1970er Jahren hat der Begriff umbral Rechnung, die auf die überraschende Ähnlichkeit zwischen polynomischen Gleichungen anscheinend ohne Beziehung und bestimmten schattigen Techniken verwiesen ist, gepflegt, sie 'zu beweisen'. Diese Techniken wurden dadurch eingeführt und werden manchmal die symbolische Methode von Blissard genannt. Sie werden häufig Édouard Lucas zugeschrieben (oder James Joseph Sylvester), wer die Technik umfassend verwendet hat.

In den 1930er Jahren und 1940er Jahren hat Eric Temple Bell versucht, die umbral Rechnung auf einem strengen Stand zu setzen.

In den 1970er Jahren, Steven Roman, Gian-Carlo Rota, und haben andere die umbral Rechnung mittels geradlinigen functionals auf Räumen von Polynomen entwickelt. Zurzeit, umbral Rechnung bezieht sich auf die Studie von Folgen von Sheffer, einschließlich polynomischer Folgen des binomischen Typs und Folgen von Appell.

Das 19. Jahrhundert umbral Rechnung

Diese Methode ist ein notational Gerät, um Identität abzuleiten, die mit einem Inhaltsverzeichnis versehene Folgen von Zahlen durch das Vorgeben einschließt, dass die Indizes Hochzahlen sind. Analysiert wörtlich ist es absurd, und noch ist es erfolgreich; über die umbral Rechnung abgeleitete Identität kann auch durch mehr komplizierte Methoden abgeleitet werden, die wörtlich ohne logische Schwierigkeit genommen werden können. Ein Beispiel schließt die Polynome von Bernoulli ein., Denken Sie zum Beispiel, die gewöhnliche binomische Vergrößerung

und die bemerkenswert ähnlich aussehende Beziehung auf den Polynomen von Bernoulli:

Vergleichen Sie auch die gewöhnliche Ableitung

zu einer sehr ähnlich aussehenden Beziehung auf den Polynomen von Bernoulli:

Diese Ähnlichkeiten erlauben, umbral Beweise zu bauen, die, auf der Oberfläche nicht richtig sein, aber scheinen können, irgendwie zu arbeiten. So, zum Beispiel, durch das Vorgeben dass die Subschrift n − k ist eine Hochzahl:

und dann das Unterscheiden, man bekommt das gewünschte Ergebnis:

Im obengenannten ist die Variable b ein "Kernschatten" (Latein für den Schatten).

Siehe auch die Formel von Faulhaber.

Reihe von Umbral Taylor

Ähnliche Beziehungen wurden auch in der Theorie von begrenzten Unterschieden beobachtet. Die umbral Version der Reihe von Taylor wird durch einen ähnlichen Ausdruck gegeben, der den k 'th Vorwärtsunterschiede einer polynomischen Funktion f, einschließt

wo

ist das Symbol von Pochhammer verwendet hier für das fallende folgende Produkt. Eine ähnliche Beziehung hält für die rückwärts gerichteten Unterschiede und sich factorial erhebend.

Diese Reihe ist auch bekannt als die Reihe von Newton oder die Vorwärtsunterschied-Vergrößerung von Newton.

Die Analogie zur Vergrößerung von Taylor wird in der Rechnung von begrenzten Unterschieden verwertet.

Bell und Riordan

In den 1930er Jahren und 1940er Jahren hat Eric Temple Bell erfolglos versucht, diese Art des Arguments logisch streng zu machen. Der combinatorialist John Riordan in seinem Buch Kombinatorische Identität veröffentlicht in den 1960er Jahren, verwendete Techniken dieser Sorte umfassend.

Die moderne umbral Rechnung

Ein anderer combinatorialist, Gian-Carlo Rota, hat darauf hingewiesen, dass das Mysterium verschwindet, wenn man den geradlinigen funktionellen L auf Polynomen in durch als definiertem y betrachtet

Dann kann man schreiben

usw. hat Abwechselnder Dienst später festgestellt, dass sich so viel Verwirrung aus dem Misserfolg ergeben hat, zwischen drei Gleichwertigkeitsbeziehungen zu unterscheiden, die oft in diesem Thema vorkommen, von denen alle durch "=" angezeigt wurden.

In einer 1964 veröffentlichten Zeitung hat Abwechselnder Dienst umbral Methoden verwendet, die recursion Formel zu gründen, die durch die Zahlen von Bell zufrieden ist, die Teilungen von begrenzten Sätzen aufzählen.

In der Zeitung des Römers und Abwechselnden Dienstes, der unten zitiert ist, wird die umbral Rechnung als die Studie der umbral Algebra charakterisiert, die als die Algebra von geradlinigem functionals auf dem Vektorraum von Polynomen in einer Variable x, mit einem Produkt LL von geradlinigem durch definiertem functionals definiert ist

Wenn polynomische Folgen Folgen von Zahlen als Images von y unter dem geradlinigen kartografisch darstellenden L ersetzen, dann, wie man sieht, ist die umbral Methode ein wesentlicher Bestandteil der allgemeinen Theorie des abwechselnden Dienstes von speziellen Polynomen, und diese Theorie ist die umbral Rechnung durch einige modernere Definitionen des Begriffes. Eine kleine Probe dieser Theorie kann im Artikel über polynomische Folgen des binomischen Typs gefunden werden. Ein anderer ist betitelte Folge von Sheffer des Artikels.

Referenzen

• G.-C. Abwechselnder Dienst, D. Kahaner und A. Odlyzko, "Begrenzte Maschinenbediener-Rechnung," Zeitschrift der Mathematischen Analyse und seine Anwendungen, vol. 42, Nr. 3, Juni 1973. Nachgedruckt im Buch mit demselben Titel, Akademischer Presse, New York, 1975.

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