In der Mathematik ist das von Leo August Pochhammer eingeführte Symbol von Pochhammer die Notation, wo eine natürliche Zahl ist. Abhängig vom Zusammenhang kann das Symbol von Pochhammer entweder das Steigen factorial oder das Fallen factorial, wie definiert, unten vertreten. Sorge muss gebracht werden, um zu überprüfen, welche Interpretation in jedem besonderen Artikel verwendet wird. Pochhammer, der selbst wirklich mit noch einer anderen Bedeutung verwendet ist, um nämlich den binomischen Koeffizienten anzuzeigen.

In diesem Artikel wird das Symbol von Pochhammer verwendet, um das Fallen factorial zu vertreten (manchmal hat das "Absteigen factorial", "fallendes folgendes Produkt genannt" "senken factorial"):

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In diesem Artikel wird das Symbol für das Steigen factorial verwendet (manchmal hat die "Funktion von Pochhammer", "Polynom von Pochhammer", genannt, "factorial" steigend, "sich folgendes Produkt" oder "oberer factorial" erhebend):

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Diese Vereinbarung wird in combinatorics verwendet. Jedoch in der Theorie von speziellen Funktionen (insbesondere die hypergeometrische Funktion) wird das Symbol von Pochhammer verwendet, um das Steigen factorial zu vertreten.

Wenn eine natürliche Zahl ist, dann die Zahl - Versetzungen - Element-Satz, oder gleichwertig die Zahl von Injective-Funktionen von einer Reihe der Größe bis eine Reihe der Größe gibt. Jedoch für diese Bedeutungen werden andere Notationen wie und P (x, n) allgemein verwendet. Das Pochhammer Symbol dient größtenteils für mehr algebraischen Gebrauch zum Beispiel, wenn ein unbestimmter ist, in welchem Fall ein besonderes Polynom des Grads darin benennt.

Eigenschaften

Das Steigen und Fallen factorials können verwendet werden, um einen binomischen Koeffizienten auszudrücken:

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So trägt viele Identität auf binomischen Koeffizienten zum Fallen und Steigen factorials vor.

Ein Steigen factorial kann als ein Fallen factorial ausgedrückt werden, der vom anderen Ende anfängt:

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Das ist ein spezieller Fall der Tatsache, dass das Steigen und Fallen factorials wie folgt verbunden sind:

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Das Steigen und Fallen factorials werden in jedem Ring gut definiert, und deshalb kann x genommen werden, um, zum Beispiel, eine komplexe Zahl, einschließlich negativer ganzer Zahlen, oder eines Polynoms mit komplizierten Koeffizienten oder jeder Komplex-geschätzten Funktion zu sein.

Das Steigen factorial kann zu echten Werten erweitert werden, die Gammafunktion zur Verfügung gestellt zu verwenden, und ist komplexe Zahlen, die nicht negative ganze Zahlen sind:

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und auch kann das Fallen factorial:

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Wenn Unterscheidung in Bezug darauf anzeigt, hat man

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Beziehung zur umbral Rechnung

Das Fallen factorial kommt in einer Formel vor, die Polynome mit dem Vorwärtsunterschied-Maschinenbediener vertritt, und die dem Lehrsatz von Taylor der Rechnung formell ähnlich ist. In dieser Formel und in vielen anderen Plätzen spielt das Fallen factorial in der Rechnung von begrenzten Unterschieden die Rolle in der Differenzialrechnung. Bemerken Sie zum Beispiel die Ähnlichkeit von

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zu

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Ein ähnliches Ergebnis hält für das Steigen factorial.

Die Studie von Analogien dieses Typs ist als umbral Rechnung bekannt. Eine allgemeine Theorie, die solche Beziehungen, einschließlich des Fallens und Steigens factorial Funktionen bedeckt, wird durch die Theorie von polynomischen Folgen des binomischen Typs und Folgen von Sheffer gegeben.

Wenn sie

sich erheben und fallen, sind factorials Folgen von Sheffer des binomischen Typs:

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wo die Koeffizienten dasselbe als diejenigen in der Vergrößerung einer Macht eines Binoms (Identität von Chu-Vandermonde) sind.

Verbindungskoeffizienten

Seit dem Fallen sind factorials eine Basis für den polynomischen Ring, wir können das Produkt von zwei von ihnen als eine geradlinige Kombination wiederausdrücken, factorials zu fallen:

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Die Koeffizienten (x), genannt Verbindungskoeffizienten, haben eine kombinatorische Interpretation als die Zahl von Weisen (oder Leim zusammen) Elemente jeder von einer Reihe der Größe und einer Reihe der Größe zu identifizieren.

Abwechselnde Notationen

Eine neue Notation wurde von Ronald L. Graham, Donald E. Knuth und Oren Patashnik in ihrer Buchbeton-Mathematik eingeführt. Sie, definieren für das Steigen factorial:

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und für das Fallen factorial:

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sie haben auch vor, diese Ausdrücke als "zum Steigen" und "zum Fallen", beziehungsweise auszusprechen.

Andere Notationen für das Fallen factorial schließen ein, oder. (Sieh Versetzung und Kombination.)

Eine abwechselnde Notation für das Steigen factorial ist das weniger allgemeine. Wenn die Notation für das Steigen factorial verwendet wird, wird die Notation normalerweise für das gewöhnliche Fallen factorial verwendet, um Verwirrung zu vermeiden.

Generalisationen

Das Pochhammer Symbol hat eine verallgemeinerte Version genannt das verallgemeinerte Symbol von Pochhammer, das in der multivariate Analyse verwendet ist. Es gibt auch eine Q-Entsprechung, das q-Pochhammer Symbol.

Eine Generalisation des Fallens factorial, in dem eine Funktion auf einer hinuntersteigenden arithmetischen Folge von ganzen Zahlen und den Werten bewertet wird, wird multipliziert ist:

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wo die Verminderung ist und die Zahl von Faktoren ist. Die entsprechende Generalisation des Steigens factorial ist

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Diese Notation vereinigt das Steigen und Fallen factorials, die [x] und [x] beziehungsweise sind.

Siehe auch

• K-Symbol von Pochhammer
• Identität von Chu-Vandermonde

Referenzen

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