Die Kunst des Origamis oder der Papierfalte hat einen beträchtlichen Betrag der mathematischen Studie erhalten. Interessenbereiche schließen eine gegebene Papiermusterwohnung-foldability ein (ob das Modell glatt gemacht werden kann, ohne es zu beschädigen), und der Gebrauch von Papierfalten, um mathematische Gleichungen zu lösen.

Geschichte

1893 hat T. Sundara Rao "Geometrische Übungen in der Papierfalte" veröffentlicht, die Papier verwendet hat, das sich faltet, um Beweise von geometrischen Aufbauten zu demonstrieren. Diese Arbeit wurde durch den Gebrauch des Origamis im Kindergarten-System begeistert. Dieses Buch hatte eine ungefähre Dreiteilung von Winkeln und hat angedeutet, dass der Aufbau einer Würfel-Wurzel unmöglich war. 1936 hat Margharita P. Beloch gezeigt, dass der Gebrauch der 'Falte von Beloch', später verwendet im sechsten von den Huzita-Hatori Axiomen, dem General erlaubt hat, der kubisch ist, mit dem Origami gelöst zu werden. 1949 hat das Buch von R C Yeates "Geometrische Methoden" drei erlaubte Aufbauten entsprechend dem ersten, zweiten, und fünft der Huzita-Hatori Axiome beschrieben. Die Axiome wurden von Jacques Justin 1989 entdeckt. aber überblickt bis wurden die ersten sechs von Humiaki Huzita 1991 wieder entdeckt. Die 1. Internationale Sitzung der Origami-Wissenschaft und Technologie (jetzt Internationale Konferenz für das Origami in der Wissenschaft, Mathematik und Ausbildung) wurde 1989 in Ferrara, Italien gehalten.

Reines Origami

Flache Falte

Der Aufbau von Origami-Modellen wird manchmal als Falte-Muster gezeigt. Die Hauptfrage über solche Falte-Muster besteht darin, ob ein gegebenes Falte-Muster zu einem flachen Modell gefaltet werden kann, und wenn so, wie man sie faltet; das ist ein NP-complete Problem. Zusammenhängende Probleme, wenn die Falten orthogonal sind, werden Karte genannt, die Probleme faltet. Es gibt vier mathematische Regeln, um flache-foldable Origami-Falte-Muster zu erzeugen:

1. Falte-Muster sind zwei angebliche
2. Der Lehrsatz von Maekawa: An jedem Scheitelpunkt die Zahl von Tal- und Bergfalten unterscheiden sich immer durch zwei in jeder Richtung
3. Kawasaki Lehrsatz: An jedem Scheitelpunkt beläuft sich die Summe aller sonderbaren Winkel auf 180 Grade, wie sogar tun.
4. eine Platte kann in eine Falte nie eindringen.

Papier stellt Nullkrümmung von Gaussian an allen Punkten auf seiner Oberfläche aus, und faltet sich nur natürlich entlang Linien der Nullkrümmung. Gekrümmte Oberflächen, die nicht glatt gemacht werden können, können mit einer nichtgefalteten Falte in der Zeitung erzeugt werden, wie mit nassem Papier oder einem Fingernagel leicht getan wird.

Wie man

bewiesen hat, ist das Zuweisen Falte-Muster-Berg- und Talfalten, um ein flaches Modell zu erzeugen, von Marshall Bern und Barry Hayes abgeschlossener NP gewesen. Weitere Verweisungen und technische Ergebnisse werden im zweiten Teil von Geometrischen sich Faltenden Algorithmen besprochen.

Huzita-Hatori Axiome

Wie man

beweist, sind einige klassische Bauprobleme der Geometrie — nämlich einen willkürlichen Winkel, oder Verdoppelung des Würfels dreimal zu teilen — unlösbarer Verwenden-Kompass und Haarlineal, aber können mit nur einigen Papierfalten behoben werden. Papierfalte-Streifen können gebaut werden, um Gleichungen bis zum Grad 4 zu lösen. Die Huzita-Hatori Axiome sind ein wichtiger Beitrag zu diesem Studienfach. Diese beschreiben, was mit einer Folge von Falten mit höchstens zwei gebaut werden kann, weisen hin oder Linienanordnungen sofort. Ganze Methoden, um alle Gleichungen bis zum Grad 4 durch die Verwendung von Methoden zu lösen, die diese Axiome befriedigen, werden im Detail im Geometrischen Origami besprochen.

Aufbauten

Infolge der Origami-Studie durch die Anwendung geometrischer Grundsätze haben Methoden wie der Lehrsatz von Haga paperfolders erlaubt, die Seite eines Quadrats in Drittel, Fünftel, Siebtel und Neuntel genau zu falten. Andere Lehrsätze und Methoden haben paperfolders erlaubt, andere Gestalten von einem Quadrat, wie gleichseitige Dreiecke, Pentagon, Sechsecke und spezielle Rechtecke wie das goldene Rechteck und das Silberrechteck zu bekommen. Methoden, um regelmäßigste Vielecke bis zu und einschließlich des 19-gon Stammkunden zu falten, sind entwickelt worden.

Die Lehrsätze von Haga

Die Seite eines Quadrats kann an einem willkürlichen vernünftigen Bruchteil in einer Vielfalt von Wegen geteilt werden. Die Lehrsätze von Haga sagen, dass ein besonderer Satz von Aufbauten für solche Abteilungen verwendet werden kann. Überraschend sind wenige Falten notwendig, um große sonderbare Bruchteile zu erzeugen. Zum Beispiel kann mit drei Falten erzeugt werden; halbieren Sie zuerst eine Seite, dann verwenden Sie den Lehrsatz von Haga zweimal, um zuerst und dann zu erzeugen.

Das Begleitdiagramm zeigt den ersten Lehrsatz von Haga:

:

Die Funktion, die die Länge AP zu QC ändert, ist selbst Gegenteil. Lassen Sie x AP dann sein mehrere andere Längen sind auch vernünftige Funktionen von x. Zum Beispiel:

Verdoppelung des Würfels

Das klassische Problem, den Würfel zu verdoppeln, kann durch das erste Falten eines Quadrats von Papier in drei gleiche Streifen, wie gezeigt, im Diagramm behoben werden. Dann wird der unterste Rand so eingestellt der Eckpunkt P ist am Spitzenrand, und das Falte-Zeichen am Rand entspricht das andere Falte-Zeichen Q. Die Länge PB wird dann die Würfel-Wurzel von 2mal der Länge der AP sein.

Der Rand mit dem Falte-Zeichen wird als ein gekennzeichnetes Haarlineal, etwas betrachtet, wem im Kompass und den Haarlineal-Aufbauten nicht erlaubt wird. Das Verwenden eines gekennzeichneten Haarlineals wird auf diese Weise einen neusis Aufbau in der Geometrie genannt.

Einen Winkel dreimal zu teilen

Winkeldreiteilung ist ein anderes der klassischen Probleme, die mit einem Kompass und dem nicht markierten Lineal nicht gelöst werden können, aber mit dem Origami gelöst werden können. Das Winkel-TAXI wird durch das Bilden von Falte-SEITEN' und QQ' Parallele zur Basis mit QQ' halbwegs zwischen dreimal geteilt. Dann wird Punkt P gefaltet, um online AC zu liegen und zur gleichen Zeit anzuspitzen, dass A gemacht wird, online QQ' an zu liegen'. Der Winkel A'AB ist ein Drittel des ursprünglichen Winkel-TAXIS. Das ist, weil PAQ, A'AQ und A'AR drei kongruente Dreiecke sind. Das Übereinstimmen der zwei Punkte auf den zwei Linien ist ein anderer neusis Aufbau als in der Lösung der Verdoppelung des Würfels.

Zusammenhängende Probleme

Das Problem des starren Origamis, die Falten als Scharniere behandelnd, die sich zwei flachen, starren Oberflächen wie Metallblech anschließen, hat große praktische Wichtigkeit. Zum Beispiel ist die Karte-Falte von Miura eine starre Falte, die verwendet worden ist, um große Sonnenkollektor-Reihe für Raumsatelliten einzusetzen.

Das Serviette-Falte-Problem ist das Problem dessen, ob ein Quadrat oder Rechteck von Papier so gefaltet werden können, ist der Umfang der flachen Zahl größer als dieses des ursprünglichen Quadrats.

Gekrümmtes Origami stellt auch einen (sehr verschiedenen) Satz von mathematischen Herausforderungen auf.

Gekrümmtes Origami erlaubt dem Papier, Developable-Oberflächen zu bilden, die nicht flach sind.

Sich nass faltendes Origami erlaubt eine noch größere Reihe von Gestalten.

Die maximale Zahl von Zeiten ein incompressible Material kann gefaltet werden, ist abgeleitet worden. Mit jeder Falte wird ein bestimmter Betrag von Papier gegen die potenzielle Falte verloren. Die Verlust-Funktion, um Papier entzwei in einer einzelnen Richtung zu falten, wurde gegeben, um zu sein, wo L die minimale Länge des Papiers (oder anderes Material) ist, ist t die Dicke des Materials, und n ist die Zahl von möglichen Falten. Die Entfernungen L und t müssen in denselben Einheiten wie Zoll ausgedrückt werden. Diese Funktion wurde von Britney Gallivan 2001 abgeleitet (dann nur ein Student der Höheren Schule), wer dann eine Platte von Papier entzwei 12mal gegen den populären Glauben gefaltet hat, dass das Papier jeder Größe höchstens achtmal gefaltet werden konnte. Sie hat auch die Gleichung abgeleitet, um sich in abwechselnden Richtungen zu falten.

Das Problem der Falte-Und-Kürzung fragt, was Gestalten durch die Falte eines Stückes der Papierwohnung und das Bilden einer einzelnen geraden ganzen Kürzung erhalten werden können. Die Lösung, die als der Falte- und Kürzungslehrsatz bekannt ist, stellt fest, dass jede Gestalt mit geraden Seiten erhalten werden kann.

Siehe auch

• Flexagon
• Die Methode von Lill
• Serviette-Falte-Problem
• Karte, die sich faltet
• Regelmäßige paperfolding Folge (zum Beispiel, die Drache-Kurve)

Referenzen

Weiterführende Literatur

Links

• Papier, das Geometrie an der Knoten-Kürzung Faltet
• Das Teilen eines Segmentes in Gleiche Teile durch Papier, das Sich an der Knoten-Kürzung Faltet
• Britney Gallivan hat das Papier behoben, das Problem Faltet