Die Methode von Mechanischen Lehrsätzen (auch gekennzeichnet als Die Methode) ist eine Arbeit von Archimedes, der den ersten beglaubigten ausführlichen Gebrauch von indivisibles (manchmal verwiesen auf als infinitesimals) enthält. Wie man ursprünglich dachte, wurde die Arbeit verloren, aber wurde im berühmten Palimpsest von Archimedes wieder entdeckt. Der Palimpsest schließt die Rechnung von Archimedes der "mechanischen Methode", so genannt ein, weil es sich auf das Gesetz des Hebels verlässt, der zuerst von Archimedes, und des Zentrums des Ernstes demonstriert wurde, den er für viele spezielle Fälle gefunden hatte.

Archimedes hat infinitesimals als ein Teil der strengen Mathematik nicht zugelassen, und hat deshalb seine Methode in den formellen Abhandlungen nicht veröffentlicht, die die Ergebnisse enthalten. In diesen Abhandlungen beweist er dieselben Lehrsätze durch die Erschöpfung, strenge obere und niedrigere Grenzen findend, die beide zur erforderlichen Antwort zusammenlaufen. Dennoch war die mechanische Methode, was er gepflegt hat, die Beziehungen zu entdecken, für die er später strenge Beweise gegeben hat.

Gebiet einer Parabel

Um die Methode von Archimedes heute zu erklären, ist es günstig, von ein kleines bisschen der Kartesianischen Geometrie Gebrauch zu machen, obwohl das natürlich zurzeit nicht verfügbar war. Seine Idee ist, das Gesetz des Hebels zu verwenden, um die Gebiete von Zahlen vom bekannten Zentrum der Masse anderer Zahlen zu bestimmen. Das einfachste Beispiel auf der modernen Sprache ist das Gebiet der Parabel. Archimedes verwendet eine elegantere Methode, aber auf der Kartesianischen Sprache berechnet seine Methode den integrierten

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der 1/3 durch die elementare Integralrechnung ist.

Um dieses Integral zu finden, denken Sie, ein Dreieck mit der Parabel zu erwägen. Das Dreieck ist das Gebiet im x-y Flugzeug zwischen der X-Achse, und die Linie y = x weil ändert sich x von 0 bis 1. Die Parabel ist das Gebiet im x-y Flugzeug zwischen der X-Achse und y = x, auch weil sich x von 0 bis 1 ändert.

Schneiden Sie das Dreieck und die Parabel in vertikale Scheiben, ein für jeden Wert von x auf. Stellen Sie sich vor, dass die X-Achse ein Hebel mit einem Hebepunkt an x=0 ist. Nach dem Gesetz des Hebels - die Massenzeiten muss die Entfernung zum Hebepunkt in der Größenordnung von zwei Dingen gleich sein zu balancieren. Die Masse der Scheibe des Dreiecks an der Position x ist seiner Höhe x gleich, und es ist in einer Entfernung x vom Hebepunkt, so dass es die entsprechende Scheibe der Parabel, der Höhe x erwägen wird, wenn es an x = −1, in einer Entfernung 1 auf der anderen Seite des Hebepunkts gelegt wird.

Seit jeder Scheibe Gleichgewichte erwägt die ganze Parabel das ganze Dreieck. Das bedeutet, dass, wenn die Parabel durch einen Haken vom Punkt x = −1 gehängt wird, es das Dreieck erwägen wird, das zwischen x = 0 und x = 1 sitzt.

Das Zentrum der Masse eines Dreiecks kann durch die folgende Methode auch wegen Archimedes leicht gefunden werden. Wenn eine Mittellinie von irgendwelchen der Scheitelpunkte eines Dreiecks zum entgegengesetzten Rand E gezogen wird, wird das Dreieck auf der Mittellinie, betrachtet als ein Hebepunkt balancieren. Der Grund besteht darin, dass, wenn das Dreieck in die unendlich kleine Liniensegment-Parallele zu E geteilt wird, jedes Segment gleiche Länge auf Gegenseiten der Mittellinie hat, so folgt Gleichgewicht durch die Symmetrie. Dieses Argument kann streng durch die Erschöpfung durch das Verwenden kleiner Rechtecke statt unendlich kleiner Linien leicht gemacht werden, und das ist, worin Archimedes Auf dem Gleichgewicht von Flugzeugen tut.

So muss das Zentrum der Masse eines Dreiecks am Kreuzungspunkt der Mittellinien sein. Für das fragliche Dreieck ist eine Mittellinie die Linie y = x/2, während eine zweite Mittellinie die Linie y = 1 &minus ist; x. Die Kreuzung der zwei Mittellinien ist am Punkt x = 2/3, so dass von der Gesamtmasse des Dreiecks als stoßend unten auf diesem Punkt gedacht werden kann. Das Gesamtgebiet des Dreiecks ist 1/2, so ist das durch das Dreieck ausgeübte Gesamtdrehmoment 1/2 Zeiten die Entfernung zum Zentrum der Masse, 2/3, der zu 1/3 herauskommt. Die Masse der Parabel, das Gebiet der Parabel, muss dann 1/3 sein.

Dieser Typ der Methode kann verwendet werden, um das Gebiet einer willkürlichen Abteilung einer Parabel zu finden, und ähnliche Argumente können verwendet werden, um das Integral jeder Macht von x zu finden, obwohl höhere Mächte kompliziert ohne Algebra werden. Archimedes ist nur gegangen, so weit das Integral von x, den er gepflegt hat, das Zentrum der Masse einer Halbkugel, und in anderer Arbeit, dem Zentrum der Masse einer Parabel zu finden.

Der erste Vorschlag im Palimpsest

Die Kurve in dieser Zahl ist eine Parabel.

Die Punkte A und B sind auf der Kurve. Die Linie AC ist zur Achse der Parabel parallel. Die Linie ist v. Chr. Tangente zur Parabel.

Die ersten Vorschlag-Staaten:

Das:The-Gebiet des Dreieck-Abc ist genau dreimal das Gebiet, das durch die Parabel und die schneidende Linie AB begrenzt ist.

:Proof: Lassen Sie D der Mittelpunkt von AC sein. Der Punkt D ist der Hebepunkt eines Hebels, der die Linie JB ist. Die Punkte J und B sind in gleichen Entfernungen vom Hebepunkt. Da sich Archimedes gezeigt hatte, ist das Zentrum des Ernstes des Interieurs des Dreiecks an einem Punkt I auf dem so gelegenen "Hebel" dass DI:DB = 1:3. Deshalb genügt es, um zu zeigen, dass, wenn sich das ganze Gewicht des Interieurs des Dreiecks an mir und dem ganzen Gewicht der Abteilung der Parabel an J ausruht, der Hebel im Gleichgewicht ist. Wenn sich das ganze Gewicht des Dreiecks an mir ausruht, übt es dasselbe Drehmoment auf den Hebel aus, als ob das ungeheuer kleine Gewicht jedes Querschnitts WIE zur Achse der Parabel-Reste am Punkt G anpasst, wo es den Hebel durchschneidet. Deshalb genügt es, um das zu zeigen, wenn das Gewicht dieses Querschnitts an G und dem Gewicht des Querschnitts EF der Abteilung der Parabel-Reste an J ausruhen lässt, dann ist der Hebel im Gleichgewicht. Mit anderen Worten genügt es, um dem EF:GD = EH:JD zu zeigen. Das ist zu EF:DG = EH:DB gleichwertig. Und das ist zu EF:EH = AE:AB gleichwertig. Aber das ist gerade die Gleichung der Parabel. Q.E.D.

Volumen eines Bereichs

Wieder, um die mechanische Methode zu illuminieren, ist es günstig, ein kleines bisschen der Koordinatengeometrie zu verwenden. Wenn ein Bereich des Radius 1 an x = 1 gelegt wird, wird der böse Schnittradius an jedem x zwischen 0 und 2 durch die folgende Formel gegeben:

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Die Masse dieser bösen Abteilung, zum Zwecke des Ausgleichens auf einem Hebel, ist zum Gebiet proportional:

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Archimedes hat dann gedacht, das Gebiet zwischen y = 0 und y = x auf dem x-y Flugzeug um die X-Achse rotieren zu lassen, einen Kegel zu bilden. Die böse Abteilung dieses Kegels ist ein Kreis des Radius

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und das Gebiet dieser bösen Abteilung ist

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So, wenn Scheiben des Kegels und des Bereichs beide zusammen gewogen werden sollen, ist die vereinigte Querschnittsfläche:

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Wenn die zwei Scheiben zusammen in der Entfernung 1 vom Hebepunkt gelegt werden, würde ihr Gesamtgewicht durch einen Kreis des Gebiets in einer Entfernung x vom Hebepunkt auf der anderen Seite genau erwogen. Das bedeutet, dass der Kegel und der Bereich zusammen einen Zylinder auf der anderen Seite erwägen werden.

In der Größenordnung von den Scheiben, um in diesem Argument zu balancieren, sollte jede Scheibe des Bereichs und des Kegels in einer Entfernung 1 vom Hebepunkt gehängt werden, so dass das Drehmoment gerade zum Gebiet proportional sein wird. Aber die entsprechende Scheibe des Zylinders sollte an der Position x auf der anderen Seite gehängt werden. Als x Reihen von 0 bis 2 wird der Zylinder ein Zentrum des Ernstes eine Entfernung 1 vom Hebepunkt haben, so, wie man betrachten kann, ist das ganze Gewicht des Zylinders an der Position 1. Die Bedingung des Gleichgewichtes stellt sicher, dass das Volumen des Kegels plus das Volumen des Bereichs dem Volumen des Zylinders gleich ist.

Das Volumen des Zylinders ist das böse Abteilungsgebiet, Zeiten die Höhe, die 2 ist, oder. Archimedes konnte auch das Volumen des Kegels mit der mechanischen Methode seitdem in modernen Begriffen finden, das beteiligte Integral ist genau dasselbe als dasjenige für das Gebiet der Parabel. Das Volumen des Kegels ist 1/3 seine Grundbereichszeiten die Höhe. Die Basis des Kegels ist ein Kreis des Radius 2, mit dem Gebiet, während die Höhe 2 ist, so ist das Gebiet. Das Volumen des Kegels vom Volumen des Zylinders Abstriche zu machen, gibt das Volumen des Bereichs:

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Die Abhängigkeit des Volumens des Bereichs auf dem Radius ist vom Schuppen offensichtlich, obwohl das auch nicht trivial war, um strengen Rücken dann zu machen. Die Methode gibt dann die vertraute Formel für das Volumen eines Bereichs. Indem er die Dimensionen geradlinig erklettert hat, hat Archimedes leicht das Volumen-Ergebnis zu Sphäroiden erweitert.

Argument von Archimedes ist fast zum Argument oben identisch, aber sein Zylinder hatte einen größeren Radius, so dass der Kegel und der Zylinder in einer größeren Entfernung vom Hebepunkt gehangen haben. Er hat gedacht, dass dieses Argument sein größtes Zu-Stande-Bringen war, dass die Begleitzahl des erwogenen Bereichs, Kegels und Zylinders bittend, auf seinen Grabstein eingraviert werden.

Fläche eines Bereichs

Um die Fläche des Bereichs zu finden, hat Archimedes behauptet, dass gerade als vom Gebiet des Kreises als ungeheuer viele unendlich kleine rechtwinklige Dreiecke gedacht werden konnte, die um den Kreisumfang gehen (sieh Maß des Kreises), vom Volumen des Bereichs, konnte wie geteilt, in viele Kegel mit der Höhe gedacht werden, die dem Radius und der Basis auf der Oberfläche gleich ist. Die Kegel alle haben dieselbe Höhe, so ist ihr Volumen 1/3 die Grundbereichszeiten die Höhe.

Archimedes stellt fest, dass das Gesamtvolumen des Bereichs dem Volumen eines Kegels gleich ist, dessen Basis dieselbe Fläche wie der Bereich hat, und dessen Höhe der Radius ist. Es gibt keine für das Argument gegebenen Details, aber der offensichtliche Grund besteht darin, dass der Kegel in unendlich kleine Kegel durch das Aufteilen des Grundgebiets geteilt werden kann, und jeder Kegel einen Beitrag gemäß seinem Grundgebiet, genau so als im Bereich leistet.

Lassen Sie die Oberfläche des Bereichs S sein. Das Volumen des Kegels mit Gebiet S und der Höhe r ist, der dem Volumen des Bereichs gleichkommen muss:. Deshalb muss die Fläche des Bereichs, oder "viermal sein größter Kreis" sein. Archimedes beweist das streng in Auf dem Bereich und Zylinder.

Krummlinige Gestalten mit vernünftigen Volumina

Eines der bemerkenswerten Dinge über die Methode ist, dass Archimedes zwei Gestalten definiert durch Abteilungen von Zylindern findet, deren Volumen &pi nicht einschließt; trotz der Gestalten, die krummlinige Grenzen haben. Das ist ein Mittelpunkt der in der Untersuchung bestimmten krummlinigen Gestalten konnte vom Lineal und Kompass berichtigt werden, so dass es nichttriviale vernünftige Beziehungen zwischen den durch die Kreuzungen von geometrischen Festkörpern definierten Volumina gibt.

Archimedes betont das am Anfang der Abhandlung, und lädt den Leser ein zu versuchen, die Ergebnisse durch eine andere Methode wieder hervorzubringen. Verschieden von den anderen Beispielen wird das Volumen dieser Gestalten in keiner seiner anderen Arbeiten streng geschätzt. Von Bruchstücken im Palimpsest scheint es, dass Archimedes wirklich eingeschrieben und Gestalten umschrieben hat, um strenge Grenzen für das Volumen zu beweisen, obwohl die Details nicht bewahrt worden sind.

Die zwei Gestalten, die er denkt, sind die Kreuzung von zwei Zylindern rechtwinklig, die das Gebiet (x, y, z) das Befolgen ist:

:: (2Cyl)

und das kreisförmige Prisma, das das Gebiet-Befolgen ist:

:: (CirP)

Beide Probleme haben ein Schneiden, das ein leichtes Integral für die mechanische Methode erzeugt. Für das kreisförmige Prisma, Kürzung die X-Achse in Scheiben. Das Gebiet im y-z Flugzeug an jedem x ist das Interieur eines rechtwinkligen Dreieckes der Seitenlänge, deren Gebiet ist, so dass das Gesamtvolumen ist:

:: (CirP)

der mit der mechanischen Methode leicht berichtigt werden kann. Das Hinzufügen zu jeder Dreiecksabteilung eine Abteilung einer Dreieckspyramide mit dem Gebiet erwägt ein Prisma, dessen böse Abteilung unveränderlich ist.

Für die Kreuzung von zwei Zylindern wird das Schneiden im Manuskript verloren, aber es kann auf eine offensichtliche Weise in der Parallele zum Rest des Dokumentes wieder aufgebaut werden: Wenn das x-z Flugzeug die Scheibe-Richtung ist, geben die Gleichungen für den Zylinder das

:: (2Cyl)

Und das ist dasselbe Integral bezüglich des vorherigen Beispiels.

Andere Vorschläge im Palimpsest

Eine Reihe von Vorschlägen der Geometrie wird im Palimpsest durch ähnliche Argumente bewiesen. Ein Lehrsatz ist dass die Position eines Zentrums des Ernstes, von gelegenem 5/8 des Weges vom Pol zum Zentrum des Bereichs zu sein. Dieses Problem ist bemerkenswert, weil es ein Kubikintegral bewertet.

Siehe auch

• Methode von indivisibles
• Methode der Erschöpfung

Referenzen

• (übersetzt von Thomas Little Heath).