Numerische gewöhnliche Differenzialgleichungen sind der Teil der numerischen Analyse, die die numerische Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen (ODEN) studiert. Dieses Feld ist auch unter dem Namen numerische Integration bekannt, aber einige Menschen bestellen diesen Begriff für die Berechnung von Integralen vor.

Viele Differenzialgleichungen können analytisch nicht gelöst werden; jedoch, in der Wissenschaft und Technik, ist eine numerische Annäherung an die Lösung häufig gut genug, um ein Problem zu beheben. Die Algorithmen studiert hier können verwendet werden, um solch eine Annäherung zu schätzen. Eine alternative Methode ist, Techniken von der Rechnung zu verwenden, um eine Reihenentwicklung der Lösung zu erhalten.

Gewöhnliche Differenzialgleichungen kommen in vielen wissenschaftlichen Disziplinen, zum Beispiel in Physik, Chemie, Biologie und Volkswirtschaft vor. Außerdem wandeln einige Methoden in numerischen teilweisen Differenzialgleichungen die teilweise Differenzialgleichung in eine gewöhnliche Differenzialgleichung um, die dann gelöst werden muss.

Das Problem

Wir wollen der Lösung der Differenzialgleichung näher kommen

:

wo f eine Funktion ist, die [t,  kartografisch darstellt) × R zu R, und die anfängliche Bedingung y  R ein gegebener Vektor ist.

Die obengenannte Formulierung wird ein Anfangswert-Problem (IVP) genannt. Der Picard-Lindelöf Lehrsatz stellt fest, dass es eine einzigartige Lösung gibt, wenn f dauernder Lipschitz ist. Im Gegensatz geben Grenzwertprobleme (BVPs) (Bestandteile) die Lösung y an mehr als einem Punkt an. Verschiedene Methoden müssen verwendet werden, um BVPs, zum Beispiel die schießende Methode (und seine Varianten) oder globalen Methoden wie begrenzte Unterschiede, Methoden von Galerkin oder Kollokationsmethoden zu lösen.

Bemerken Sie, dass wir uns zu Differenzialgleichungen der ersten Ordnung einschränken (das Meinen, dass nur die erste Ableitung von y in der Gleichung und keinen höheren Ableitungen erscheint). Das schränkt jedoch die Allgemeinheit des Problems nicht ein, da eine höherwertige Gleichung zu einem System von Gleichungen der ersten Ordnung durch das Einführen von Extravariablen leicht umgewandelt werden kann. Zum Beispiel, die Gleichung der zweiten Ordnung y

Methoden

Drei elementare Methoden werden besprochen, um dem Leser ein Gefühl für das Thema zu geben. Danach werden Zeigestöcke anderen Methoden zur Verfügung gestellt (die allgemein genauer und effizient sind). Die Methoden erwähnt hier werden in der folgenden Abteilung analysiert.

Die Euler Methode

Eine kurze Erklärung:

Von jedem Punkt auf einer Kurve können Sie eine Annäherung eines nahe gelegenen Punkts auf der Kurve finden, indem Sie eine kurze Entfernung entlang einer Linientangente zur Kurve bewegen.

Strenge Entwicklung:

Mit der Differenzialgleichung (1) anfangend, ersetzen wir die Ableitung y durch die begrenzte Unterschied-Annäherung

:

der wenn umgeordnete Erträge die folgende Formel

:

und das Verwenden (1) gibt:

:

Diese Formel wird gewöhnlich folgendermaßen angewandt. Wir wählen eine Schritt-Größe h, und wir bauen die Folge t, t = t + h, t = t + 2h, … zeigen Wir durch y eine numerische Schätzung der genauen Lösung y (t) an. Motiviert durch (3) schätzen wir diese Schätzungen durch das folgende rekursive Schema

:

Das ist die Methode von Euler (oder Vorwärtsmethode von Euler im Vergleich mit der rückwärts gerichteten Methode von Euler, um unten beschrieben zu werden). Die Methode wird nach Leonhard Euler genannt, der sie 1768 beschrieben hat.

Die Euler Methode ist ein Beispiel einer ausführlichen Methode. Das bedeutet, dass der neue Wert y in Bezug auf Dinge definiert wird, die bereits wie y bekannt sind.

Die rückwärts gerichtete Methode von Euler

Wenn, statt (2), wir die Annäherung verwenden

:

wir bekommen die rückwärts gerichtete Methode von Euler:

:

Die rückwärts gerichtete Methode von Euler ist eine implizite Methode, bedeutend, dass wir eine Gleichung lösen müssen, um y zu finden. Man verwendet häufig befestigte Punkt-Wiederholung oder (etwas Modifizierung) die Methode des Newtons-Raphson, das zu erreichen. Natürlich kostet es Zeit, um diese Gleichung zu lösen; diese Kosten müssen in Betracht gezogen werden, wenn man die Methode auswählt zu verwenden. Der Vorteil von impliziten Methoden solcher als (6) besteht darin, dass sie gewöhnlich stabiler sind, für eine steife Gleichung zu lösen, bedeutend, dass eine größere Schritt-Größe h verwendet werden kann.

Die Exponentialmethode von Euler

Wenn die Differenzialgleichung von der Form ist

:

dann kann eine ungefähre ausführliche Lösung durch gegeben werden

:

Diese Methode wird in Nervensimulationen allgemein verwendet, und es ist der Verzug-Integrator in der ENTSTEHUNG Nervensimulator.

Generalisationen

Die Euler Methode ist häufig nicht genau genug. In genaueren Begriffen hat es nur Ordnung eine (das Konzept der Ordnung wird unten erklärt). Das hat Mathematiker veranlasst, nach höherwertigen Methoden zu suchen.

Eine Möglichkeit ist, nicht nur den vorher geschätzten Wert y zu verwenden, um y zu bestimmen, aber die Lösung mehr von vorigen Werten abhängen zu lassen. Das gibt eine so genannte Mehrschritt-Methode nach. Sich vielleicht ist das einfachste die Bockspringen-Methode, die die zweite Ordnung ist und (grob sprechend) auf zwei Zeitwerte verlässt.

Fast alle praktischen Mehrschritt-Methoden fallen innerhalb der Familie von geradlinigen Mehrschritt-Methoden, die die Form haben

:

+ \alpha_0 y_n </Mathematik>

::

f (t_ {n+k-1}, y_ {n+k-1}) + \cdots + \beta_0 f (t_n, y_n) \right]. </Mathematik>

Eine andere Möglichkeit ist, mehr Punkte im Zwischenraum [t, t] zu verwenden. Das führt zur Familie von Runge-Kutta Methoden, genannt nach Carl Runge und Martin Kutta. Eine ihrer Methoden der vierten Ordnung ist besonders populär.

Fortgeschrittene Eigenschaften

Eine gute Durchführung von einer dieser Methoden, für eine ODE zu lösen, hat mehr zur Folge als die zeitgehende Formel.

Es ist häufig ineffizient, um dieselbe Schritt-Größe die ganze Zeit zu verwenden, so sind variable Stiefgröße-Methoden entwickelt worden. Gewöhnlich wird die Schritt-Größe solch gewählt, dass der (lokale) Fehler pro Schritt unter einem Toleranz-Niveau ist. Das bedeutet, dass die Methoden auch einen Fehlerhinweis, eine Schätzung des lokalen Fehlers schätzen müssen.

Eine Erweiterung dieser Idee soll dynamisch zwischen verschiedenen Methoden von verschiedenen Ordnungen wählen (das wird eine variable Ordnungsmethode genannt). Methoden, die auf der Extrapolation von Richardson wie der Bulirsch-Stoer Algorithmus gestützt sind, werden häufig verwendet, um verschiedene Methoden von verschiedenen Ordnungen zu bauen.

Andere wünschenswerte Eigenschaften schließen ein:

• dichte Produktion: preiswerte numerische Annäherungen für den ganzen Integrationszwischenraum, und nicht nur an den Punkten t, t, t...
• Ereignis-Position: Entdeckung der Zeiten, wo, sagen wir, eine besondere Funktion verschwindet. Das verlangt normalerweise den Gebrauch eines wurzelfindenden Algorithmus.
• Unterstützung für die parallele Computerwissenschaft.
• wenn verwendet, um in Bezug auf die Zeit, Zeitumkehrbarkeit zu integrieren

Alternative Methoden

Viele Methoden fallen innerhalb des Fachwerks besprochen hier nicht. Einige Klassen von alternativen Methoden sind:

• mehrabgeleitete Methoden, die nicht nur die Funktion f sondern auch seine Ableitungen verwenden. Diese Klasse schließt Methoden von Hermite-Obreschkoff und Methoden von Fehlberg, sowie Methoden wie die Methode von Parker-Sochacki oder Methode von Bychkov-Scherbakov ein, die die Koeffizienten der Reihe von Taylor der Lösung y rekursiv schätzen.
• Methoden für die zweite Ordnung ODEN. Wir haben gesagt, dass alle höherwertigen ODEN in die erste Ordnung ODEN der Form (1) umgestaltet werden können. Während das sicher wahr ist, kann es nicht die beste Weise sein weiterzugehen. Insbesondere Nyström Methoden arbeiten direkt mit Gleichungen der zweiten Ordnung.
• geometrische Integrationsmethoden werden besonders für spezielle Klassen von ODEN (z.B, symplectic Integratoren für die Lösung von Gleichungen von Hamiltonian) entworfen. Sie passen auf, dass die numerische Lösung die zu Grunde liegende Struktur oder Geometrie dieser Klassen respektiert.

Analyse

Numerische Analyse ist nicht nur das Design von numerischen Methoden, sondern auch ihre Analyse. Drei Hauptkonzepte in dieser Analyse sind:

• Konvergenz: Ob die Methode der Lösung, näher kommt
• Ordnung: Wie gut es der Lösung und dem näher kommt
• Stabilität: Ob Fehler gedämpft werden.

Konvergenz

Wie man

sagt, ist eine numerische Methode konvergent, wenn sich die numerische Lösung der genauen Lösung nähert, als die Schritt-Größe h zu 0 geht. Genauer verlangen wir, dass für jede ODE (1) mit Lipschitz f und jeder t> 0, fungieren

:

Alle Methoden, die oben erwähnt sind, sind konvergent. Tatsächlich muss ein numerisches Schema konvergent sein, um von jedem Nutzen zu sein.

Konsistenz und Ordnung

Nehmen Sie an, dass die numerische Methode ist

:

Der Vorortszug (Stutzung) Fehler der Methode ist der durch einen Schritt der Methode begangene Fehler. D. h. es ist der Unterschied zwischen dem durch die Methode gegebenen Ergebnis, annehmend, dass kein Fehler in früheren Schritten und der genauen Lösung gemacht wurde:

:Wie man

sagt, entspricht die Methode wenn

:

Die Methode hat Ordnung wenn

:

Folglich entspricht eine Methode, wenn sie eine Ordnung hat, die größer ist als 0. Die (fortgeschrittene) Methode von Euler (4) und die rückwärts gerichtete Methode von Euler (6) eingeführt über beiden haben Auftrag 1, so entsprechen sie. Die meisten Methoden, die in der Praxis verwenden werden, erreichen höhere Ordnung. Konsistenz ist eine notwendige Bedingung für die Konvergenz, aber nicht genügend; für eine Methode, konvergent zu sein, muss es sowohl konsequent als auch nullstabil sein.

Ein zusammenhängendes Konzept ist das globale (Stutzung) Fehler, der in allen Schritten gestützte Fehler man muss eine feste Zeit t erreichen. Ausführlich ist der globale Fehler in der Zeit t y &minus; y (t) wo N = (t&minus;t)/h. Der globale Fehler eines pth befiehlt, dass schrittweise Methode O (h) ist; insbesondere solch eine Methode ist konvergent. Diese Behauptung ist für Mehrschritt-Methoden nicht notwendigerweise wahr.

Stabilität und Steifkeit

Für einige Differenzialgleichungen stellt die Anwendung von Standardmethoden - wie die Methode von Euler, ausführlichen Runge-Kutta Methoden, oder Mehrschritt-Methoden (z.B, Methoden von Adams-Bashforth) - Instabilität in den Lösungen aus, obwohl andere Methoden stabile Lösungen erzeugen können. Dieses "schwierige Verhalten" in der Gleichung (der selbst nicht notwendigerweise kompliziert sein kann) wird als Steifkeit beschrieben, und wird häufig durch die Anwesenheit verschiedener zeitlicher Rahmen im zu Grunde liegenden Problem verursacht. Steife Probleme sind in chemischer Kinetik, Steuerungstheorie, fester Mechanik, Wettervorhersage, Biologie, Plasmaphysik und Elektronik allgegenwärtig.

Geschichte

Unten ist eine Zeitachse von einigen wichtigen Entwicklungen in diesem Feld.

• 1768 - Leonhard Euler veröffentlicht seine Methode.
• 1824 - Augustin Louis Cauchy beweist Konvergenz der Methode von Euler. In diesem Beweis verwendet Cauchy die implizite Methode von Euler.
• 1855 - Die erste Erwähnung der Mehrschritt-Methoden von John Couch Adams in einem von F. Bashforth geschriebenen Brief.
• 1895 - Carl Runge veröffentlicht die erste Runge-Kutta Methode.
• 1905 - Martin Kutta beschreibt die populäre vierte Ordnung Runge-Kutta Methode.
• 1910 - Lewis Fry Richardson gibt seine Extrapolationsmethode, Extrapolation von Richardson bekannt.
• 1952 - Charles F. Curtiss und Joseph Oakland Hirschfelder rufen den Begriff steife Gleichungen ins Leben.

Numerische Lösungen der Zweiten Ordnung Dimensionale Grenzwertprobleme

Gewöhnlich Grenzwertprobleme (BVPs) werden durch das Beheben eines ungefähr gleichwertigen Matrixproblems numerisch behoben, das durch discretizing der ursprüngliche BVP erhalten ist.

Die meistens verwendete Methode, um bvps in 1d numerisch zu lösen, wird die Begrenzte Unterschied-Methode genannt. Diese Methode verwendet hauptsächlich geradlinige abgeleitete Annäherungen solcher als, wo die Entfernung zwischen dem Grenzen x Werte auf dem discretized Gebiet ist, um ein System von geradlinigen Gleichungen zu erhalten, die gelöst werden können, kann dieses geradlinige System dann durch Standardmatrixmethoden gelöst werden.

Nehmen Sie zum Beispiel an, dass die zu lösende Gleichung ist:

Dann konnte der nächste Schritt, zu discretize das Problem sein und geradlinige abgeleitete Annäherungen solcher als verwenden

Das würde zu Gleichungen führen wie:

Auf der ersten Betrachtung dieses Gleichungssystems scheint, eine Schwierigkeit mit der Tatsache vereinigen zu lassen, dass die Gleichung keine Begriffe einschließt, die mit Variablen nicht multipliziert werden, aber tatsächlich ist das falsch. Weil, an i=1 und n-1 sehen, dort ist ein Begriff, der die Grenzwerte einschließt, und und da diese zwei Werte bekannt sind, kann man sie einfach in diese Gleichung einsetzen und infolgedessen ein non-homogenous geradliniges Gleichungssystem haben, das nichttriviale Lösungen hat

Siehe auch

• Courant-Friedrichs-Lewy-Bedingung
• Energieantrieb
• Liste der numerischen Analyse topics#Numerical Methoden für gewöhnliche Differenzialgleichungen
• Umkehrbarer Bezugssystemfortpflanzungsalgorithmus

Software für das ODE-Lösen

• MATLAB
• J. C. Butcher, Numerische Methoden für gewöhnliche Differenzialgleichungen, internationale Standardbuchnummer 0-471-96758-0
• Ernst Hairer, Syvert Paul Nørsett und Gerhard Wanner, gewöhnliche Differenzialgleichungen I Lösend: Nichtsteife Probleme, die zweite Ausgabe, Springer Verlag, Berlin, 1993. Internationale Standardbuchnummer 3-540-56670-8.
• Ernst Hairer und Gerhard Wanner, gewöhnliche Differenzialgleichungen II Lösend: Steife und differenzialalgebraische Probleme, die zweite Ausgabe, Springer Verlag, Berlin, 1996. Internationale Standardbuchnummer 3-540-60452-9. (Diese zweibändige Monografie bedeckt systematisch alle Aspekte des Feldes.)
• Arieh Iserles, Eine Vorspeise in der Numerischen Analyse von Differenzialgleichungen, Universität von Cambridge Presse, 1996. Internationale Standardbuchnummer 0-521-55376-8 (eingebundenes Buch), internationale Standardbuchnummer 0-521-55655-4 (Paperback). (Lehrbuch, ins Visier nehmend hat Studenten und Doktoranden in der Mathematik vorgebracht, die auch numerische teilweise Differenzialgleichungen bespricht.)
• John Denholm Lambert, Numerische Methoden für Gewöhnliche Differenzialsysteme, John Wiley & Sons, Chichester, 1991. Internationale Standardbuchnummer 0-471-92990-5. (Lehrbuch, das ein bisschen anspruchsvoller ist als das Buch durch Iserles.)

Links

• Joseph W. Rudmin, Anwendung der Methode von Parker-Sochacki zur Himmlischen Mechanik, 1998.
• Dominique Tournès, L'intégration approchée des équations différentielles ordinaires (1671-1914), thèse de doctorat de l'université Paris 7 - Denis Diderot, juin 1996. Réimp. Villeneuve d'Ascq: Presses universitaires du Septentrion, 1997, 468 p. (Das umfassende Online-Material auf der ODE numerische Analyse-Geschichte, für das Englischsprachige Material auf der Geschichte der ODE numerische Analyse, sieht z.B die Papierbücher von Chabert und von ihm zitiertem Goldstine.)