Ein mit dem Widerstandkondensatorstromkreis (RC-Stromkreis), oder RC-Filter oder RC-Netz, ist ein elektrischer Stromkreis, der aus Widerständen und Kondensatoren zusammengesetzt ist, die durch eine Stromspannung oder aktuelle Quelle gesteuert sind. Eine erste Ordnung RC-Stromkreis wird aus einem Widerstand und einem Kondensator zusammengesetzt und ist der einfachste Typ des RC-Stromkreises.

RC-Stromkreise können verwendet werden, um ein Signal durch das Blockieren bestimmter Frequenzen und den Übergang von anderen zu filtern. Die zwei allgemeinsten RC-Filter sind die Filter des hohen Passes und Filter des niedrigen Passes; Bandfilter und Filter des Band-Halts verlangen gewöhnlich RLC Filter, obwohl grobe mit RC-Filtern gemacht werden können.

Einführung

Es gibt drei grundlegende, geradlinige passive zusammengelegte analoge Stromkreis-Bestandteile: der Widerstand (R), der Kondensator (C), und der Induktor (L). Diese können im RC-Stromkreis, dem RL Stromkreis, dem LC Stromkreis und dem RLC Stromkreis mit den Abkürzungen verbunden werden, die anzeigen, welche Bestandteile verwendet werden. Diese Stromkreise, unter ihnen, stellen eine Vielzahl von wichtigen Typen des Verhaltens aus, die für viel analoge Elektronik grundsätzlich sind. Insbesondere sie sind im Stande, als passive Filter zu handeln. Dieser Artikel denkt den RC-Stromkreis, sowohl in der Reihe als auch in den parallelen Formen, wie gezeigt, in den Diagrammen unten.

:This-Artikel verlässt sich auf Kenntnisse der komplizierten Scheinwiderstand-Darstellung von Kondensatoren und auf Kenntnissen der Frequenzbereichsdarstellung von Signalen.

Natürliche Antwort

Der einfachste RC-Stromkreis ist ein Kondensator und ein Widerstand der Reihe nach. Wenn ein Stromkreis aus nur einem beladenen Kondensator und einem Widerstand besteht, wird der Kondensator seine versorgte Energie durch den Widerstand entladen. Die Stromspannung über den Kondensator, der zeitabhängig ist, kann durch das Verwenden des aktuellen Gesetzes von Kirchhoff gefunden werden, wo der Strom durch den Kondensator dem Strom durch den Widerstand gleichkommen muss. Das läuft auf die lineare Differenzialgleichung hinaus

:

C\frac {dV} {dt} + \frac {V} {R} =0

</Mathematik>.

Das Lösen dieser Gleichung für V Erträge die Formel für den Exponentialzerfall:

:

V (t) =V_0 e^ {-\frac {t} {FERNSTEUERUNG}} \,

</Mathematik>

wo V die Kondensatorstromspannung in der Zeit t = 0 ist.

Die für die Stromspannung erforderliche Zeit, dazu zu fallen, wird die RC-Zeit unveränderlich genannt und wird durch gegeben

:

Komplizierter Scheinwiderstand

Der komplizierte Scheinwiderstand, Z (in Ohm) eines Kondensators mit der Kapazität C (in Farad) ist

:

Die komplizierte Frequenz s, ist im Allgemeinen, eine komplexe Zahl,

:wo

• j vertritt die imaginäre Einheit:

:

• ist der Exponentialzerfall unveränderlich (in radians pro Sekunde), und
• ist die sinusförmige winkelige Frequenz (auch in radians pro Sekunde).

Sinusförmiger unveränderlicher Staat

Sinusförmiger unveränderlicher Staat ist ein spezieller Fall, in dem die Eingangsstromspannung aus einem reinen sinusoid (ohne Exponentialzerfall) besteht. Infolgedessen,

:

\sigma \= \0

</Mathematik>

und die Einschätzung von s wird

:

s \= \j \omega

</Mathematik>

Reihe-Stromkreis

Durch die Betrachtung des Stromkreises als ein Spannungsteiler ist die Stromspannung über den Kondensator:

:

V_C (s) = \frac {1/Cs} {R + 1/Cs} V_ {in} (s) = \frac {1} {1 + RCs} V_ {in} (s)

</Mathematik>

und die Stromspannung über den Widerstand ist:

:

V_R (s) = \frac {R} {R + 1/Cs} V_ {in} (s) = \frac {RCs} {1 + RCs} V_ {in} (s)

</Mathematik>.

Übertragungsfunktionen

Die Übertragungsfunktion von der Eingangsstromspannung bis die Stromspannung über den Kondensator ist

:

H_C (s) = {V_C (s) \over V_ {in} (s)} = {1 \over 1 + RCs}

</Mathematik>.

Ähnlich ist die Übertragungsfunktion vom Eingang bis die Stromspannung über den Widerstand

:

H_R (s) = {V_R (s) \over V_ {in} (s)} = {RCs \over 1 + RCs }\

</Mathematik>.

Pole und Nullen

Beide Übertragungsfunktionen ließen einen einzelnen Pol an liegen

:

s = - {1 \over RC-}\

</Mathematik>.

Außerdem ließ die Übertragungsfunktion für den Widerstand eine Null am Ursprung liegen.

Gewinn und Phase

Der Umfang der Gewinne über die zwei Bestandteile ist:

:

G_C = | H_C (j \omega) | = \left |\frac {V_C (j \omega)} {V_ {in} (j \omega) }\\Recht | = \frac {1} {\\sqrt {1 + \left (\omega RC\right) ^2} }\

</Mathematik>und:

G_R = | H_R (j \omega) | = \left |\frac {V_R (j \omega)} {V_ {in} (j \omega) }\\Recht | = \frac {\\Omega-FERNSTEUERUNG} {\\sqrt {1 + \left (\omega RC\right) ^2} }\

</Mathematik>,

und die Phase-Winkel sind:

:

\phi_C = \angle H_C (j \omega) = \tan^ {-1 }\\ist (-\omega RC\right) abgereist

</Mathematik>und:

\phi_R = \angle H_R (j \omega) = \tan^ {-1 }\\ist (\frac {1} {\\Omega-FERNSTEUERUNG }\\Recht) abgereist

</Mathematik>.

Diese Ausdrücke können zusammen in den üblichen Ausdruck für den Operator eingesetzt werden, der die Produktion vertritt:

:

V_C \= \G_ {C} V_ {in} e^ {j\phi_C }\

</Mathematik>:

V_R \= \G_{R} V_ {in} e^ {j\phi_R }\

</Mathematik>.

Strom

Der Strom im Stromkreis ist dasselbe überall, da der Stromkreis der Reihe nach ist:

:

Ich (s) = \frac {V_ {in} (s)} {R + \frac {1} {Cs}} = {Cs \over 1 + RCs} V_ {in} (s)

</Mathematik>

Impuls-Antwort

Die Impuls-Antwort für jede Stromspannung ist umgekehrter Laplace verwandeln sich von der entsprechenden Übertragungsfunktion. Es vertritt die Antwort des Stromkreises zu einer Eingangsstromspannung, die aus einem Impuls oder Delta-Funktion von Dirac besteht.

Die Impuls-Antwort für die Kondensatorstromspannung ist

:

h_C (t) = {1 \over FERNSTEUERUNG} e^ {-t / FERNSTEUERUNG} u (t) = {1 \over \tau} e^ {-t / \tau} u (t)

</Mathematik>

wo u (t) die Schritt-Funktion von Heaviside und der ist

:

\tau \= \FERNSTEUERUNG </Mathematik>

ist die unveränderliche Zeit.

Ähnlich ist die Impuls-Antwort für die Widerstand-Stromspannung

:

h_R (t) = \delta (t) - {1 \over FERNSTEUERUNG} e^ {-t / FERNSTEUERUNG} u (t) = \delta (t) - {1 \over \tau} e^ {-t / \tau} u (t)

</Mathematik>

wo δ (t) die Delta-Funktion von Dirac ist

Frequenzgebiet-Rücksichten

Das sind Frequenzbereichsausdrücke. Die Analyse von ihnen wird sich zeigen, welche Frequenzen die Stromkreise (oder Filter) passieren und zurückweisen. Diese Analyse ruht auf einer Rücksicht dessen, was mit diesen Gewinnen geschieht, weil die Frequenz sehr groß und sehr klein wird.

Als:

:

:.

Als:::.

Das zeigt, dass, wenn die Produktion über den Kondensator genommen wird, hohe Frequenzen verdünnt werden, werden (zurückgewiesene) und niedrige Frequenzen passiert. So benimmt sich der Stromkreis als ein Filter des niedrigen Passes. Wenn aber die Produktion über den Widerstand genommen wird, werden hohe Frequenzen passiert, und niedrige Frequenzen werden zurückgewiesen. In dieser Konfiguration benimmt sich der Stromkreis als ein Filter des hohen Passes.

Die Reihe von Frequenzen, die der Filter passiert, wird seine Bandbreite genannt. Der Punkt, an dem der Filter das Signal zur Hälfte seiner ungefilterten Macht verdünnt, wird seine Abkürzungsfrequenz genannt. Das verlangt, dass der Gewinn des Stromkreises auf reduziert wird

:.

Das Lösen der obengenannten Gleichung gibt nach

:

oder

:

der die Frequenz ist, die der Filter zur Hälfte seiner ursprünglichen Macht verdünnen wird.

Klar hängen die Phasen auch von Frequenz ab, obwohl diese Wirkung allgemein weniger interessant ist als die Gewinn-Schwankungen.

Als:::.Als:::

So am Gleichstrom (0 Hz) ist die Kondensatorstromspannung in der Phase mit der Signalstromspannung, während die Widerstand-Stromspannung es durch 90 ° führt. Als Frequenz zunimmt, kommt die Kondensatorstromspannung, um einen 90 °-Zeitabstand hinsichtlich des Signals zu haben, und die Widerstand-Stromspannung kommt, um inphasigem mit dem Signal zu sein.

Zeitabschnitt-Rücksichten

:This-Abteilung verlässt sich auf Kenntnisse von e, der natürlichen logarithmischen Konstante.

Die aufrichtigste Weise, das Zeitabschnitt-Verhalten abzuleiten, ist, Laplace zu verwenden, verwandelt sich von den Ausdrücken für und gegeben oben. Das verwandelt sich effektiv. Das Annehmen eines Schritt-Eingangs (d. h. vorher und dann später):

:

V_ {in} (s) = V\frac {1} {s }\

</Mathematik>:

V_C (s) = V\frac {1} {1 + sRC }\\frac {1} {s }\

</Mathematik>und:

V_R (s) = V\frac {sRC} {1 + sRC }\\frac {1} {s }\

</Mathematik>.

Teilweise Bruchteil-Vergrößerungen und umgekehrter Laplace gestalten Ertrag um:

:

\\! V_C (t) = V\left (1 - e^ {-t/RC }\\Recht)

</Mathematik>:

\\! V_R (t) = Ve^ {-t/RC }\

</Mathematik>.

Diese Gleichungen sind, für die Stromspannung über den Kondensator und Widerstand beziehungsweise zu berechnen, während der Kondensator stürmt; für die Entladung sind die Gleichungen umgekehrt. Diese Gleichungen können in Bezug auf die Anklage und den Strom mit den Beziehungen C=Q/V und V=IR umgeschrieben werden (sieh das Gesetz des Ohms).

So neigt die Stromspannung über den Kondensator zu V, weil Zeit geht, während die Stromspannung über den Widerstand zu 0, wie gezeigt, in den Zahlen neigt. Das ist in Übereinstimmung mit dem intuitiven Punkt, dass der Kondensator von der Versorgungsstromspannung stürmen wird, wie Zeit geht, und schließlich völlig beladen wird.

Diese Gleichungen zeigen, dass ein Reihe-RC-Stromkreis eine Zeit unveränderlich hat, gewöhnlich die Zeit angezeigt zu sein, zu der man die Stromspannung über den Bestandteil zu jedem Anstieg (über C) oder Fall (über R) innerhalb von seinem Endwert braucht. D. h. ist die Zeit, die man braucht, um zu reichen und zu reichen.

Die Rate der Änderung ist ein unbedeutender pro. So, im Gehen von zu, wird sich die Stromspannung über 63.2 % des Weges von seinem Niveau an zu seinem Endwert bewegt haben. So wird C zu ungefähr 63.2 % danach beladen, und im Wesentlichen völlig beladen (99.3 %) danach ungefähr. Wenn die Stromspannungsquelle durch ein Kurzschließen, durch C völlig beladen, die Stromspannung über C-Fälle exponential mit t von zu 0 ersetzt wird. C wird zu ungefähr 36.8 % danach entladen, und im Wesentlichen völlig entladen (0.7 %) danach ungefähr. Bemerken Sie, dass sich der Strom, im Stromkreis benimmt, wie die Stromspannung über R über das Gesetz des Ohms tut.

Diese Ergebnisse können auch durch das Lösen der Differenzialgleichungen abgeleitet werden, die den Stromkreis beschreiben:

:

\frac {V_ {in} - V_C} {R} = C\frac {dV_C} {dt }\

</Mathematik>und:

\\! V_R = V_ {in} - V_C

</Mathematik>.

Die erste Gleichung wird durch das Verwenden eines Integrierungsfaktors gelöst, und das zweite folgt leicht; die Lösungen sind genau dasselbe, weil sich diejenigen, die über Laplace erhalten sind, verwandeln.

Integrator

Denken Sie die Produktion über den Kondensator an der hohen Frequenz d. h.

:.

Das bedeutet, dass der Kondensator ungenügende Zeit hat, um zu stürmen, und so ist seine Stromspannung sehr klein. So kommt die Eingangsstromspannung ungefähr der Stromspannung über den Widerstand gleich. Um das zu sehen, denken Sie den Ausdruck für den gegebenen oben:

:

I = \frac {V_ {in}} {R+1/j\omega C }\

</Mathematik>

aber bemerken Sie, dass die Frequenzbedingung Mittel das beschrieben

hat:

\omega C \gg \frac {1} {R }\

</Mathematik>

so

:

Ich \approx \frac {V_ {in}} {R }\

</Mathematik>, der gerade das Gesetz des Ohms ist.

Jetzt,

:

V_C = \frac {1} {C }\\int_ {0} ^ {t} Idt

</Mathematik>so:

V_C \approx \frac {1} {RC-}\\int_ {0} ^ {t} V_ {in} dt

</Mathematik>,

der ein Integrator über den Kondensator ist.

Differentiator

Denken Sie die Produktion über den Widerstand an der niedrigen Frequenz d. h.,

:

\omega \ll \frac {1} {RC-}\

</Mathematik>.

Das bedeutet, dass der Kondensator Zeit hat, um herauf bis seine Stromspannung zu stürmen, ist fast der Stromspannung der Quelle gleich. Das Betrachten des Ausdrucks für wieder, wenn

:

R \ll \frac {1} {\\Omega C }\

</Mathematik>,so:

Ich \approx \frac {V_ {in}} {1/j\omega C }\

</Mathematik>:

V_ {in} \approx \frac {ich} {j\omega C} = V_C

</Mathematik>Jetzt,:

V_R = IR = C\frac {dV_C} {dt} R

</Mathematik>:

V_R \approx RC\frac {dV_ {in}} {dt }\

</Mathematik>

der ein differentiator über den Widerstand ist.

Genauere Integration und Unterscheidung können durch das Stellen von Widerständen und Kondensatoren als passend auf dem Eingang und der Feed-Back-Schleife von betrieblichen Verstärkern erreicht werden (sieh betrieblichen Verstärker-Integrator und betrieblichen Verstärker differentiator).

Paralleler Stromkreis

Der parallele RC-Stromkreis ist allgemein von weniger Interesse als der Reihe-Stromkreis. Das ist größtenteils, weil die Produktionsstromspannung der Eingangsstromspannung - infolgedessen gleich ist, handelt dieser Stromkreis als ein Filter auf dem Eingangssignal, wenn nicht gefüttert, durch eine aktuelle Quelle nicht.

Mit komplizierten Scheinwiderständen:

:

I_R = \frac {V_ {in}} {R }\\,

</Mathematik>und:

I_C = j\omega C V_ {in }\\,

</Mathematik>.

Das zeigt, dass der Kondensatorstrom 90 ° gegenphasig mit dem Widerstand (und Quelle) Strom ist. Wechselweise können die regierenden Differenzialgleichungen verwendet werden:

:

I_R = \frac {V_ {in}} {R }\

</Mathematik>und:

I_C = C\frac {dV_ {in}} {dt }\

</Mathematik>.

Wenn gefüttert, durch eine aktuelle Quelle ist die Übertragungsfunktion eines parallelen RC-Stromkreises:

:

\frac {V_} {I_ {in}} = \frac {R} {1+sRC }\

</Mathematik>.

Siehe auch

• RL Stromkreis
• LC Stromkreis
• RLC Stromkreis
• Elektrisches Netz
• Liste von Elektronik-Themen
• Schritt-Antwort
• RC-Stromkreis und Hypothek der dauernden Erstattung