In der Topologie und den verwandten Zweigen der Mathematik ist ein völlig getrennter Raum ein topologischer Raum, der im Sinn maximal getrennt wird, dass es keine nichttrivialen verbundenen Teilmengen hat. In jedem topologischen Raum werden der leere Satz und die Ein-Punkt-Sätze verbunden; in einem völlig getrennten Raum sind das die einzigen verbundenen Teilmengen.

Ein wichtiges Beispiel eines völlig getrennten Raums ist der Kantor-Satz. Ein anderes Beispiel, eine Schlüsselrolle in der Theorie der algebraischen Zahl spielend, ist Feld Q von p-adic Zahlen.

Definition

Ein topologischer Raum X wird völlig getrennt, wenn die verbundenen Bestandteile in X die Ein-Punkt-Sätze sind.

Beispiele

Der folgende ist Beispiele völlig getrennter Räume:

• Getrennte Räume
• Die rationalen Zahlen
• Die irrationalen Zahlen
• Die p-adic Zahlen; mehr allgemein werden pro-begrenzte Gruppen völlig getrennt.
• Der Kantor hat gesetzt
• Der Baire Raum
• Die Sorgenfrey Linie
• T dimensionale Nullräume
• Extremally hat Räume von Hausdorff getrennt
• Steinräume
• Der Anhänger von Knaster-Kuratowski stellt ein Beispiel eines verbundenen Raums, solch zur Verfügung, dass die Eliminierung eines einzelnen Punkts einen völlig getrennten Raum erzeugt.
• Der Erdős Raum  (Z)  ist ein völlig getrennter Raum, der Dimensionsnull nicht hat.

Eigenschaften

• Subräume, Produkte und coproducts völlig getrennter Räume werden völlig getrennt.
• Völlig getrennte Räume sind T Räume, da Punkte geschlossen werden.
• Dauernde Images völlig getrennter Räume werden tatsächlich nicht notwendigerweise völlig getrennt, jeder metrische Kompaktraum ist ein dauerndes Image des Kantor-Satzes.
• Ein lokal kompakter hausdorff Raum ist nulldimensional, wenn, und nur wenn er völlig getrennt wird.
• Jeder völlig getrennte metrische Kompaktraum ist homeomorphic zu einer Teilmenge eines zählbaren Produktes von getrennten Räumen.
• Es ist im Allgemeinen nicht wahr, dass jeder offene Satz auch geschlossen wird.
• Es ist im Allgemeinen nicht wahr, dass der Verschluss jedes offenen Satzes offen ist, d. h. nicht jeder völlig getrennte Raum von Hausdorff getrennter extremally ist.

Das Konstruieren eines getrennten Raums

Lassen Sie, ein willkürlicher topologischer Raum zu sein. Lassen Sie, wenn und nur wenn (wo die größte verbundene Teilmenge anzeigt, die enthält). Das ist offensichtlich eine Gleichwertigkeitsbeziehung. Dotieren Sie mit der Quotient-Topologie, d. h. der rausten Topologie, die die dauernde Karte macht. Mit ein kleines bisschen der Anstrengung können wir sehen, dass das völlig getrennt wird. Wir haben auch das folgende universale Eigentum: Wenn eine dauernde Karte zu einem völlig getrennten Raum, dann es einzigartig Faktoren darin, wo dauernd ist.

• (Nachdruck von 1970 ursprünglich,)

Siehe auch

• Völlig getrennte Gruppen.