In der Mathematik wird eine Quotient-Algebra, (wo Algebra im Sinne der universalen Algebra verwendet wird), auch genannt eine Faktor-Algebra durch das Verteilen der Elemente einer Algebra in Gleichwertigkeitsklassen erhalten, die durch eine Kongruenz gegeben sind, die eine Gleichwertigkeitsbeziehung ist, die mit allen Operationen der Algebra im formellen Sinn zusätzlich vereinbar ist, der unten beschrieben ist.

Vereinbare Operation

Lassen Sie A ein Satz (von den Elementen einer Algebra) sein, und E eine Gleichwertigkeitsbeziehung auf dem Satz A sein zu lassen. Wie man sagt, ist die Beziehung E mit vereinbar (oder hat das Ersatz-Eigentum in Bezug auf) eine n-stufige Operation f, wenn für alle, wann auch immer einbezieht. Eine mit allen Operationen einer Algebra vereinbare Gleichwertigkeitsbeziehung wird eine Kongruenz genannt.

Kongruenz-Gitter

Für jede Algebra auf dem Satz A, die Identitätsbeziehung auf A, und sind triviale Kongruenzen. Eine Algebra ohne andere Kongruenzen wird einfach genannt.

Lassen Sie, der Satz von Kongruenzen auf der Algebra zu sein. Weil Kongruenzen unter der Kreuzung geschlossen werden, können wir eine entsprechen Operation definieren: durch die einfache Einnahme der Kreuzung der Kongruenzen.

Andererseits werden Kongruenzen unter der Vereinigung nicht geschlossen. Jedoch können wir den Verschluss jeder binären Beziehung E, in Bezug auf eine feste Algebra, solch definieren, dass es eine Kongruenz folgendermaßen ist:. Bemerken Sie, dass (Kongruenz) der Verschluss einer binären Beziehung von den Operationen in nicht nur auf dem Transportunternehmen-Satz abhängt. Definieren Sie jetzt als.

Für jede Algebra, mit den zwei Operationen, die über Formen ein Gitter definiert sind, genannt das Kongruenz-Gitter.

Quotient-Algebra und Homomorphismus

Ein Satz A kann in Gleichwertigkeitsklassen verteilt werden, die durch eine Gleichwertigkeitsbeziehung E gegeben sind, und hat gewöhnlich einen Quotient-Satz genannt, und hat A/E angezeigt. Für eine Algebra ist es aufrichtig, um die auf A/E veranlassten Operationen zu definieren, wenn E eine Kongruenz ist. Spezifisch, für jede Operation von arity in (wo der Exponent einfach anzeigt, dass es eine Operation darin ist) definieren als, wo die Gleichwertigkeitsklasse eines modulo E anzeigt.

Für eine Algebra, in Anbetracht einer Kongruenz E auf, wird die Algebra die Quotient-Algebra (oder Faktor-Algebra) von modulo E genannt. Es gibt einen natürlichen Homomorphismus von dazu, jedes Element zu seiner Gleichwertigkeitsklasse kartografisch darzustellen. Tatsächlich bestimmt jeder Homomorphismus h eine Kongruenz-Beziehung; der Kern des Homomorphismus.

In Anbetracht einer Algebra definiert ein Homomorphismus h so zwei Algebra homomorphic dazu, das Image h und Die zwei, ist ein als der homomorphic Bildlehrsatz bekanntes Ergebnis isomorph. Lassen Sie formell, ein surjective Homomorphismus zu sein. Dann, dort besteht ein einzigartiger Isomorphismus g von auf den solchen, dass g, der mit dem natürlichen Homomorphismus zusammengesetzt ist, der dadurch veranlasst ist, h gleichkommt.

Siehe auch

• Quotient-Ring