Quant-Verwirrung ist ein Zweig der Physik, die studiert, wie chaotische klassische dynamische Systeme in Bezug auf die Quant-Theorie beschrieben werden können. Die primäre Frage, auf die sich Quant-Verwirrung bemüht zu antworten, ist, "Wie ist die Beziehung zwischen Quant-Mechanik und klassischer Verwirrung?" Der Ähnlichkeitsgrundsatz stellt fest, dass klassische Mechanik die klassische Grenze der Quant-Mechanik ist. Wenn das wahr ist, dann muss es Quant-Mechanismen geben, die klassischer Verwirrung unterliegen; obwohl das keine fruchtbare Weise sein kann, klassische Verwirrung zu untersuchen. Wenn Quant-Mechanik keine Exponentialempfindlichkeit zu anfänglichen Bedingungen demonstriert, wie Exponentialempfindlichkeit zu anfänglichen Bedingungen kann, in der klassischen Verwirrung entstehen, die muss die Ähnlichkeitsgrundsatz-Grenze der Quant-Mechanik sein? Im Bemühen, die grundlegende Frage der Quant-Verwirrung zu richten, sind mehrere Annäherungen verwendet worden:

1. Die Entwicklung von Methoden, um Quant-Probleme zu beheben, wo die Unruhe klein in der Unruhe-Theorie nicht betrachtet werden kann, und wo Quantenzahlen groß sind.
2. Das Entsprechen statistischer Beschreibungen von eigenvalues (Energieniveaus) mit dem klassischen Verhalten desselben Hamiltonian (System).
3. Halbklassische Methoden wie Theorie der periodischen Bahn, die die klassischen Schussbahnen des dynamischen Systems mit Quant-Eigenschaften verbindet.
4. Direkte Anwendung des Ähnlichkeitsgrundsatzes.

Geschichte

Während der ersten Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts wurde das chaotische Verhalten in der Mechanik (als im Drei-Körper-Problem in der himmlischen Mechanik) anerkannt, aber nicht gut verstanden. Die Fundamente der modernen Quant-Mechanik wurden dass Periode angelegt, im Wesentlichen das Problem der mit dem Quant klassischen Ähnlichkeit in Systemen deren klassische Grenze-Ausstellungsstück-Verwirrung bei Seite lassend.

Annäherungen

Mit dem Ähnlichkeitsgrundsatz verbundene Fragen entstehen in vielen verschiedenen Zweigen der Physik, im Intervall vom Kern-zur molekularen Atom- und Halbleiterphysik, und sogar zur Akustik, den Mikrowellen und der Optik. Wichtige mit klassisch chaotischen Quant-Systemen häufig vereinigte Beobachtungen sind geisterhafte Niveau-Repulsion, dynamische Lokalisierung in der Zeitevolution (z.B Ionisationsraten von Atomen), und haben stationäre Welle-Intensitäten in Gebieten des Raums erhöht, wo klassische Dynamik nur nicht stabile Schussbahnen (als im Zerstreuen) ausstellt.

In der halbklassischen Annäherung der Quant-Verwirrung werden Phänomene in der Spektroskopie durch das Analysieren des statistischen Vertriebs von geisterhaften Linien und durch das Anschließen von geisterhaften Periodizitäten mit klassischen Bahnen identifiziert. Andere Phänomene tauchen in der Zeitevolution eines Quant-Systems, oder in seiner Antwort auf verschiedene Typen von Außenkräften auf. In einigen Zusammenhängen, wie Akustik oder Mikrowellen, sind Welle-Muster direkt erkennbar und stellen unregelmäßigen Umfang-Vertrieb aus.

Quant-Verwirrung befasst sich normalerweise mit Systemen, deren Eigenschaften mit entweder numerischen Techniken oder Annäherungsschemas berechnet werden müssen (sieh z.B Reihe von Dyson). Einfache und genaue Lösungen werden durch die Tatsache ausgeschlossen, dass die Bestandteile des Systems entweder einander auf eine komplizierte Weise beeinflussen, oder zeitlich davon abhängen, Außenkräfte zu ändern.

Quant-Mechanik in non-perturbative Regimen

Für konservative Systeme soll die Absicht der Quant-Mechanik in non-perturbative Regimen finden

der eigenvalues und die Eigenvektoren von Hamiltonian der Form

:

wo in einem Koordinatensystem trennbar ist, ist im Koordinatensystem nichttrennbar, in dem getrennt wird, und ein Parameter ist, der klein nicht betrachtet werden kann. Physiker haben sich Problemen dieser Natur historisch genähert, indem sie versuchen, das Koordinatensystem zu finden, in dem nichttrennbarer Hamiltonian am kleinsten und dann nichttrennbarer Hamiltonian als eine Unruhe behandelnd ist.

Die Entdeckung von Konstanten der Bewegung, so dass diese Trennung durchgeführt werden kann, kann ein schwieriger (manchmal unmöglich) analytische Aufgabe sein. Das Beheben des klassischen Problems kann wertvolle Scharfsinnigkeit ins Beheben des Quant-Problems geben. Wenn es regelmäßige klassische Lösungen von gibt

derselbe Hamiltonian dann gibt es (mindestens) ungefähre Konstanten der Bewegung, und durch das Beheben des klassischen Problems, wir bekommen Hinweise für die Lösung, wie man sie findet.

Andere Annäherungen sind in den letzten Jahren entwickelt worden. Man soll Hamiltonian in ausdrücken

verschiedene Koordinatensysteme in verschiedenen Gebieten des Raums, den nichttrennbaren Teil von Hamiltonian in jedem Gebiet minimierend. Wavefunctions werden in diesen Gebieten erhalten, und eigenvalues werden durch das Zusammenbringen von Grenzbedingungen erhalten.

Eine andere Annäherung ist numerische Matrix diagonalization. Wenn die Matrix von Hamiltonian in einer ganzer Basis, eigenvalues geschätzt wird und Eigenvektoren durch diagonalizing erhalten werden

die Matrix. Jedoch sind alle ganzen Basissätze unendlich, und wir müssen die Basis stutzen und noch genaue Ergebnisse erhalten. Diese Techniken laufen auf die Auswahl einer gestutzten Basis hinaus, von der genauer wavefunctions gebaut werden kann. Die rechenbetonte Zeit hat zu diagonalize verlangt, den eine Matrix als erklettert, wo die Dimension der Matrix ist, so ist es wichtig, die kleinste mögliche Basis zu wählen, von dem der relevante wavefunctions gebaut werden kann. Es ist auch günstig, eine Basis in der die Matrix zu wählen

ist

spärlich, und/oder die Matrixelemente werden durch einfache algebraische Ausdrücke gegeben, weil Rechenmatrixelemente auch eine rechenbetonte Last sein können.

Gegebener Hamiltonian teilt dieselben Konstanten der Bewegung sowohl für klassischen als auch für Quant

Dynamik. Quant-Systeme können auch zusätzliche Quantenzahlen entsprechend getrenntem symmetries (wie Paritätsbewahrung von der Nachdenken-Symmetrie) haben. Jedoch, wenn wir bloß Quant-Lösungen von Hamiltonian finden, der durch die Unruhe-Theorie nicht zugänglich ist, können wir sehr viel von Quant-Lösungen erfahren, aber wir haben wenig von der Quant-Verwirrung erfahren. Dennoch ist das Lernen, wie man solche Quant-Probleme behebt, ein wichtiger Teil, auf die Frage der Quant-Verwirrung zu antworten.

Das Entsprechen statistischer Beschreibungen der Quant-Mechanik mit dem klassischen Verhalten

Statistische Maßnahmen der Quant-Verwirrung sind aus einem Wunsch geboren gewesen, geisterhafte Eigenschaften von komplizierten Systemen zu messen. Zufällige Matrixtheorie wurde in einem Versuch entwickelt, Spektren von komplizierten Kernen zu charakterisieren. Das bemerkenswerte Ergebnis besteht darin, dass die statistischen Eigenschaften von vielen Systemen mit unbekanntem Hamiltonians mit zufälligem matrices des richtigen vorausgesagt werden können

Symmetrie-Klasse. Außerdem sagt zufällige Matrixtheorie auch richtig statistische Eigenschaften voraus

des eigenvalues von vielen chaotischen Systemen mit bekanntem Hamiltonians. Das macht es nützlich als ein Werkzeug, um Spektren zu charakterisieren, die große numerische Anstrengungen verlangen zu rechnen.

Mehrere statistische Maßnahmen sind verfügbar, um geisterhafte Eigenschaften auf eine einfache Weise zu messen. Es ist von großem Interesse, ob es universale statistische Handlungsweisen klassisch chaotischer Systeme gibt. Die statistischen Tests erwähnt hier sind mindestens zu Systemen mit wenigen Graden der Freiheit universal (Berry, und Tabor haben starke Argumente für einen Vertrieb von Poisson im Fall von der regelmäßigen Bewegung vorgebracht, und Heusler. präsentieren eine halbklassische Erklärung der so genannten Bohigas-Giannoni-Schmit-Vermutung, die Allgemeinheit von geisterhaften Schwankungen in der chaotischen Dynamik behauptet). Der Nah-Nachbarvertrieb (NND) von Energieniveaus ist relativ einfach zu dolmetschen, und er ist weit verwendet worden, um Quant-Verwirrung zu beschreiben.

Qualitative Beobachtungen von Niveau-Repulsionen können gemessen und mit der klassischen Dynamik verbunden werden

das Verwenden des NND, der, wie man glaubt, eine wichtige Unterschrift der klassischen Dynamik in Quant-Systemen ist. Es wird gedacht, dass regelmäßige klassische Dynamik durch einen Vertrieb von Poisson von Energieniveaus manifestiert wird:

:

Außerdem, wie man erwartet, werden Systeme, die chaotische klassische Bewegung zeigen, durch die Statistik der zufälligen Matrix eigenvalue Ensembles charakterisiert. Für Systeme invariant unter der Zeitumkehrung, wie man gezeigt hat, sind die Energieniveau-Statistiken mehrerer chaotischer Systeme in der guten Abmachung mit den Vorhersagen des Gaussian Orthogonalen Ensembles (GOE) von zufälligem matrices gewesen, und es ist darauf hingewiesen worden, dass dieses Phänomen für alle chaotischen Systeme mit dieser Symmetrie allgemein ist. Wenn der normalisierte Abstand zwischen zwei Energieniveaus ist, wird dem normalisierten Vertrieb des Abstands durch gut näher gekommen

:

der der Vertrieb von Wigner ist.

Wie man

gefunden hat, haben viele Hamiltonian Systeme, die klassisch integrable (nichtchaotisch) sind, Quant-Lösungen gehabt, die nächsten Nachbarvertrieb nachgeben, der dem Vertrieb von Poisson folgt. Ähnlich sind viele Systeme, die klassische Verwirrung ausstellen, mit Quant-Lösungen gefunden worden, die einen Vertrieb von Wigner so nachgeben, die Ideen oben unterstützend. Eine bemerkenswerte Ausnahme ist diamagnetic Lithium, das, obwohl, klassische Verwirrung ausstellend, Wigner (chaotische) Statistik für die Energieniveaus der geraden Bitzahl und fast Poisson (regelmäßige) Statistik für den Sonderbar-Paritätsenergieniveau-Vertrieb demonstriert.

Halbklassische Methoden

Periodische Bahn-Theorie

Theorie der periodischen Bahn gibt ein Rezept für Rechenspektren aus den periodischen Bahnen eines Systems. Im Gegensatz zur Methode von Einstein-Brillouin-Keller der Handlung quantization, der nur für integrable oder nahe - integrable Systeme gilt und individuellen eigenvalues von jeder Schussbahn schätzt, ist Theorie der periodischen Bahn sowohl auf integrable als auch auf non-integrable Systeme anwendbar und behauptet, dass jede periodische Bahn eine sinusförmige Schwankung in der Dichte von Staaten erzeugt.

Das Hauptergebnis dieser Entwicklung ist ein Ausdruck für die Dichte von Staaten, die die Spur der Funktion des halbklassischen Greens ist und durch die Spur-Formel von Gutzwiller gegeben wird:

\frac {1} {2\sinh {(\chi_ {nk}/2)} }\\,

e^ {ich (nS_k - \alpha_ {nk} \pi/2)}. </Mathematik>

Der Index unterscheidet die primitiven periodischen Bahnen: die kürzesten Periode-Bahnen eines gegebenen Satzes von anfänglichen Bedingungen. ist die Periode der primitiven periodischen Bahn und ist seine klassische Handlung. Jede primitive Bahn verfolgt sich zurück, zu einer neuen Bahn mit der Handlung und eine Periode führend, die ein integriertes Vielfache der primitiven Periode ist. Folglich ist jede Wiederholung einer periodischen Bahn eine andere periodische Bahn. Diese Wiederholungen werden durch die Zwischensumme über die Indizes getrennt klassifiziert. ist der Index von Maslov der Bahn.

Der Umfang-Faktor vertritt die Quadratwurzel der Dichte von benachbarten Bahnen. Benachbarte Schussbahnen einer nicht stabilen periodischen Bahn weichen exponential rechtzeitig aus der periodischen Bahn ab. Die Menge charakterisiert die Instabilität der Bahn. Eine stabile Bahn treibt einen Ring im Phase-Raum und benachbarten Schussbahn-Wind darum vorwärts. Für stabile Bahnen, wird, wo das Winden ist

Zahl der periodischen Bahn., wo die Zahl von Zeiten ist, dass benachbarte Bahnen die periodische Bahn in einer Periode durchschneiden. Das präsentiert eine Schwierigkeit weil an einer klassischen Gabelung. Das veranlasst den Beitrag dieser Bahn zur Energiedichte abzuweichen. Das kommt auch im Zusammenhang des Photoabsorptionsspektrums vor.

Das Verwenden der Spur-Formel, um ein Spektrum zu schätzen, verlangt das Summieren über alle periodischen Bahnen eines Systems. Das präsentiert mehrere Schwierigkeiten für chaotische Systeme: 1) wuchert Die Zahl von periodischen Bahnen exponential als eine Funktion der Handlung. 2) gibt Es eine unendliche Zahl von periodischen Bahnen, und die Konvergenz-Eigenschaften der Theorie der periodischen Bahn sind unbekannt. Diese Schwierigkeit ist da, wenn auch sie Theorie der periodischen Bahn auf regelmäßige Systeme anwendet. 3) sind Bahnen des Langen Zeitraumes schwierig zu rechnen, weil die meisten Schussbahnen nicht stabil und zu roundoff Fehlern und Details der numerischen Integration empfindlich sind.

Gutzwiller hat die Spur-Formel angewandt, um sich dem anisotropic Problem von Kepler (eine einzelne Partikel in einem Potenzial mit einem anisotropic Massentensor) zu nähern

halbklassisch. Er hat Abmachung mit der Quant-Berechnung für das niedrige Lügen (bis zu) Staaten für kleinen anisotropies gefunden, indem er nur einen kleinen Satz leicht geschätzter periodischer Bahnen verwendet hat, aber die Abmachung war für großen anisotropies schwach.

Die Zahlen verwenden oben eine umgekehrte Annäherung an die Prüfung der Theorie der periodischen Bahn. Die Spur-Formel behauptet, dass jede periodische Bahn einen sinusförmigen Begriff zum Spektrum beiträgt. Anstatt sich mit den rechenbetonten Schwierigkeiten zu befassen, die Bahnen des langen Zeitraumes umgeben, um zu versuchen, die Dichte von Staaten (Energieniveaus) zu finden, kann man Standardquant verwenden, das mechanische Unruhe-Theorie, eigenvalues (Energieniveaus) zu schätzen und den Fourier zu verwenden, umgestaltet, um nach den periodischen Modulationen des Spektrums zu suchen, die die Unterschrift von periodischen Bahnen sind. Die Interpretation des Spektrums beläuft sich dann auf die Entdeckung der Bahnen, die Spitzen im Fourier entsprechen, verwandeln sich.

Geschlossene Bahn-Theorie

Theorie der geschlossenen Bahn wurde von J.B. Delos, M.L. Du, J. Gao und J. Shaw entwickelt. Es ist ähnlich

Theorie der periodischen Bahn, außer dass Theorie der geschlossenen Bahn nur auf atomare und molekulare Spektren anwendbar ist und die Oszillator-Kraft-Dichte (erkennbares Photoabsorptionsspektrum) von einem angegebenen anfänglichen Staat nachgibt, wohingegen Theorie der periodischen Bahn die Dichte von Staaten nachgibt.

Nur Bahnen, die beginnen und am Kern enden, sind in der Theorie der geschlossenen Bahn wichtig. Physisch werden diese mit den aus dem Amt scheiden Wellen vereinigt, die erzeugt werden, wenn ein dicht bestimmtes Elektron zu einem hoch liegenden Staat aufgeregt ist. Für Rydberg Atome und Moleküle ist jede Bahn, die am Kern geschlossen wird, auch eine periodische Bahn, deren Periode entweder der Verschluss-Zeit oder zweimal der Verschluss-Zeit gleich ist.

Gemäß der Theorie der geschlossenen Bahn wird die durchschnittliche Oszillator-Kraft-Dichte an der Konstante durch einen glatten Hintergrund plus eine Schwingungssumme der Form gegeben

f (w) = \sum_k \sum_ {n=1} ^ {\\infty} D^ {ich} _ {\\es nk }\

\sin (2\pi nw\tilde {S_k} - \phi_ {\\es nk}).

</Mathematik>

ist eine Phase, die vom Index von Maslov und den anderen Details der Bahnen abhängt. ist der Wiederauftreten-Umfang einer geschlossenen Bahn für einen gegebenen anfänglichen (etikettierten) Staat. Es enthält Information über die Stabilität der Bahn, seiner anfänglichen und endgültigen Richtungen und des Matrixelements des Dipolmaschinenbedieners zwischen dem anfänglichen Staat und einer Nullenergie-Ampere-Sekunde-Welle. Um Systeme wie Atome von Rydberg in starken Feldern zu erklettern, verwandelt sich der Fourier eines auf den festen geschätzten Oszillator-Kraft-Spektrums, wie eine Funktion dessen ein Wiederauftreten-Spektrum genannt wird, weil sie Spitzen gibt, die der schuppigen Handlung von geschlossenen Bahnen entsprechen, und dessen Höhen entsprechen.

Theorie der geschlossenen Bahn hat breite Abmachung mit mehreren chaotischen Systemen, einschließlich diamagnetic Wasserstoffs, Wasserstoffs in parallelen elektrischen und magnetischen Feldern, diamagnetic Lithium, Lithium in einem elektrischen Feld, das Ion in durchquerten und parallelen elektrischen und magnetischen Feldern, Barium in einem elektrischen Feld und Helium in einem elektrischen Feld gefunden.

Neue Richtungen in der Quant-Verwirrung

Die traditionellen Themen in der Quant-Verwirrung betreffen geisterhafte Statistik (universale und nichtuniversale Eigenschaften), und die Studie von eigenfunctions (Quant ergodicity, Narben) von verschiedenem chaotischem Hamiltonian.

Weitere Studien betreffen das parametrische Abhängigkeit von Hamiltonian, der so in z.B der Statistik von vermiedenen Überfahrten und dem verbundenen Mischen, wie widerspiegelt, in der (parametrischen) lokalen Dichte von Staaten (LDOS) widerspiegelt ist. Es gibt riesengroße Literatur auf der wavepacket Dynamik, einschließlich der Studie von Schwankungen, Wiederauftreten, Quant-Nichtumkehrbarkeitsprobleme usw. Spezieller Platz wird zur Studie der Dynamik von gequantelten Karten vorbestellt: Wie man betrachtet, sind die Standardkarte und Der Gekickte Rotator Prototyp-Probleme.

Neue Arbeiten werden auch in der Studie gesteuerter chaotischer Systeme eingestellt, wo Hamiltonian insbesondere im adiabatischen und in den geradlinigen Ansprechregimen zeitabhängig ist.

Vermutung der Beere-Tabor

1977 haben Berry und Tabor eine noch offene "allgemeine" mathematische Vermutung gemacht, die, grob festgesetzt hat, ist: Im "allgemeinen" Fall für die Quant-Dynamik eines geodätischen Flusses auf einer Kompaktoberfläche von Riemann benimmt sich die Quant-Energie eigenvalues wie eine Folge von unabhängigen zufälligen Variablen vorausgesetzt, dass die zu Grunde liegende klassische Dynamik völlig integrable ist.

• Martin C. Gutzwiller, Verwirrung im klassischen und der Quant-Mechanik, (1990) Springer-Verlag, New York ISBN=0-387-97173-4.
• Stöckmann Hans-Jürgen, Quant-Verwirrung: Eine Einführung, (1999) Universität von Cambridge Presse ISBN=0-521-59284-4.
• Fritz Haake, Quant-Unterschriften der Verwirrung 2. Hrsg., (2001) Springer-Verlag, New York ISBN=3-540-67723-2.
• Quant-Verwirrung auf arxiv.org
• Karl-Fredrik Berggren und Sven Aberg, "Quant-Verwirrung Y2K Verhandlungen des Symposiums von Nobel 116" (2001) internationale Standardbuchnummer 978-9810247119

Links

• Quant-Verwirrung durch Martin Gutzwiller (1992, wissenschaftlicher Amerikaner)
• Wie ist... Quant-Verwirrung durch Ze'ev Rudnick (Januar 2008, Benachrichtigungen der amerikanischen Mathematischen Gesellschaft)
• Brian Hayes, "Das Spektrum von Riemannium"; amerikanischer Wissenschaftler. Bespricht Beziehung dem Riemann zeta Funktion.
• Eigenfunctions in chaotischen Quant-Systemen durch Arnd Bäcker.
• Quant-Verwirrung an Scholarpedia
• ChaosBook.org