Eine Dichte-Matrix ist eine Matrix, die ein Quant-System in einem Mischstaat, einem statistischen Ensemble von mehreren Quant-Staaten beschreibt. (Im Gegensatz wird ein reiner Staat durch einen einzelnen Zustandvektoren beschrieben). Die Dichte-Matrix ist die mit dem Quant mechanische Entsprechung einem mit der Phaseraumwahrscheinlichkeitsmaß (Wahrscheinlichkeitsvertrieb der Position und Schwung) in der klassischen statistischen Mechanik.

Mischstaaten entstehen in Situationen, wo es klassische Unklarheit gibt, d. h., wenn der Experimentator nicht weiß, welche besondere Staaten manipuliert werden. (Das sollte mit der Quant-Unklarheit nicht verwirrt sein, die diktiert, dass, selbst wenn der Experimentator weiß, welche Staaten manipuliert werden, die Ergebnisse von einigen Maßen nicht vorausgesagt werden können.) Schließen Beispiele ein System ins Thermalgleichgewicht (bei begrenzten Temperaturen) oder ein System mit einer unsicheren oder zufällig unterschiedlichen Vorbereitungsgeschichte ein (so weiß man nicht, welcher reiner Staat das System in ist). Außerdem, wenn ein Quant-System zwei oder mehr Subsysteme hat, die dann verfangen werden, muss jedes Subsystem als ein Mischstaat behandelt werden, selbst wenn das ganze System in einem reinen Staat ist. Die Dichte-Matrix ist auch ein entscheidendes Werkzeug im Quant decoherence Theorie.

Die Dichte-Matrix ist eine Darstellung eines geradlinigen Maschinenbedieners genannt den Dichte-Maschinenbediener. (Die nahe Beziehung zwischen matrices und Maschinenbedienern ist ein grundlegendes Konzept in der geradlinigen Algebra.) In der Praxis werden die Begriffe "Dichte--Matrix" und "Dichte-Maschinenbediener" häufig austauschbar gebraucht. Sowohl Matrix als auch Maschinenbediener sind (oder Hermitian), positiv halbbestimmt, der Spur ein selbst adjungiert, und kann

seien Sie

unendlich-dimensional. Der Formalismus wurde von John von Neumann (und unabhängig aber weniger systematisch von Lev Landau und Felix Bloch 1927) eingeführt.

Reine und Mischstaaten

In der Quant-Mechanik wird ein Quant-System durch einen Zustandvektoren (oder ket) vertreten. Ein Quant-System mit einem Zustandvektoren wird einen reinen Staat genannt. Jedoch ist es auch für ein System möglich, in einem statistischen Ensemble von verschiedenen Zustandvektoren zu sein: Zum Beispiel kann es eine 50-%-Wahrscheinlichkeit geben, dass der Zustandvektor ist und eine 50-%-Chance, dass der Zustandvektor ist. Dieses System würde in einem Mischstaat sein. Die Dichte-Matrix ist für Mischstaaten besonders nützlich, weil jedes staatliche, reines oder Misch-, durch eine Matrix der einfachen Dichte charakterisiert werden kann.

Ein Mischstaat ist von einer Quant-Überlagerung verschieden. Tatsächlich ist eine Quant-Überlagerung von reinen Staaten ein anderer reiner Staat zum Beispiel.

Beispiel: Leichte Polarisation

Ein Beispiel von reinen und Mischstaaten ist leichte Polarisation. Fotonen können zwei helicities, entsprechend zwei orthogonalen Quant-Staaten, (richtige kreisförmige Polarisation) und (verlassen kreisförmige Polarisation) haben. Ein Foton kann auch in einem Überlagerungsstaat, solcher als (vertikale Polarisation) oder (horizontale Polarisation) sein. Mehr allgemein kann es in jedem Staat entsprechend der geradlinigen, kreisförmigen oder elliptischen Polarisation sein. Wenn wir polarisiertes Licht durch ein Rundschreiben polarizer passieren, der entweder nur polarisiertes Licht oder nur polarisiertes Licht erlaubt, würde Intensität anderthalbmal in beiden Fällen reduziert. Das kann es scheinen lassen, dass die Hälfte der Fotonen im Staat und der anderen Hälfte im Staat ist. Aber das ist nicht richtig: Beide und Fotonen sind von einem vertikalen geradlinigen polarizer teilweise gefesselt, aber das Licht wird das polarizer ohne Absorption überhaupt durchführen.

Jedoch ist unpolarisiertes Licht (wie das Licht von einer Glühglühbirne) von jedem Staat wie (geradlinige, kreisförmige oder elliptische Polarisation) verschieden. Unterschiedlich geradlinig oder elliptisch polarisiertes Licht, es führt einen polarizer mit 50-%-Intensitätsverlust überhaupt die Orientierung des polarizer durch; und verschieden vom kreisförmig polarisierten Licht kann es geradlinig polarisiert mit keinem Welle-Teller gemacht werden. Tatsächlich kann unpolarisiertes Licht als kein Staat der Form beschrieben werden. Jedoch kann unpolarisiertes Licht vollkommen durch das Annehmen beschrieben werden, dass jedes Foton entweder mit 50-%-Wahrscheinlichkeit oder mit 50-%-Wahrscheinlichkeit ist. Dasselbe Verhalten würde vorkommen, wenn jedes Foton entweder mit 50-%-Wahrscheinlichkeit vertikal polarisiert oder horizontal mit 50-%-Wahrscheinlichkeit polarisiert würde.

Deshalb kann unpolarisiertes Licht durch keinen reinen Staat beschrieben werden, aber kann als ein statistisches Ensemble von reinen Staaten auf mindestens zwei Weisen (das Ensemble halb linken und Hälfte des Rechts kreisförmig polarisiert, oder das Ensemble der Hälfte vertikal und Hälfte horizontal geradlinig polarisiert) beschrieben werden. Diese zwei Ensembles sind experimentell völlig nicht zu unterscheidend, und deshalb werden sie als derselbe Mischstaat betrachtet. Einer der Vorteile der Dichte-Matrix ist, dass es gerade eine Dichte-Matrix für jeden Mischstaat gibt, wohingegen es viele statistische Ensembles von reinen Staaten für jeden Mischstaat gibt. Dennoch enthält die Dichte-Matrix die ganze Information, die notwendig ist, um jedes messbare Eigentum des Mischstaates zu berechnen.

Wo tun, kommen Mischstaaten her? Um dass zu antworten, denken Sie, wie man unpolarisiertes Licht erzeugt. Ein Weg ist, ein System im Thermalgleichgewicht, einer statistischen Mischung von riesigen Mengen von Mikrostaaten, jedem mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit (der Faktor von Boltzmann) zu verwenden, schnell von einem bis das folgende erwartete zu Thermalschwankungen umschaltend. Thermalzufälligkeit erklärt, warum eine Glühglühbirne zum Beispiel unpolarisiertes Licht ausstrahlt. Eine zweite Weise, unpolarisiertes Licht zu erzeugen, soll Unklarheit in der Vorbereitung des Systems einführen, zum Beispiel es durch einen birefringent Kristall mit einer rauen Oberfläche passierend, so dass ein bisschen verschiedene Teile des Balkens verschiedene Polarisationen erwerben. Eine dritte Weise, unpolarisiertes Licht zu erzeugen, verwendet eine EPR Einstellung: Ein radioaktiver Zerfall kann zwei Fotonen ausstrahlen, die in entgegengesetzten Richtungen im Quant-Staat reisen. Die zwei Fotonen sind zusammen in einem reinen Staat, aber wenn Sie nur auf eines der Fotonen schauen und den anderen ignorieren, benimmt sich das Foton gerade wie das unpolarisierte Licht.

Mehr allgemein entstehen gemischte Staaten allgemein aus einer statistischen Mischung des Startstaates (solcher als im Thermalgleichgewicht) von der Unklarheit im Vorbereitungsverfahren (wie ein bisschen verschiedene Pfade, dass ein Foton reisen kann), oder davon, auf ein mit etwas anderem verfangenes Subsystem zu schauen.

Mathematische Beschreibung

Der Zustandvektor eines reinen Staates bestimmt völlig das statistische Verhalten eines Maßes. Als ein Beispiel, nehmen Sie eine erkennbare Menge, und lassen Sie A der verbundene erkennbare Maschinenbediener sein, der eine Darstellung auf dem Raum von Hilbert des Quant-Systems hat. Für jede reellwertige Funktion F definiert auf den reellen Zahlen, nehmen Sie an, dass F (A) das Ergebnis ist, F auf das Ergebnis eines Maßes anzuwenden. Der Erwartungswert von F (A) ist

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Betrachten Sie jetzt einen Mischstaat als bereit, indem Sie zwei verschiedene reine Staaten und, mit den verbundenen Wahrscheinlichkeiten p und beziehungsweise statistisch verbinden. Die verbundenen Wahrscheinlichkeiten bedeuten, dass die Vorbereitung seit den Quant-Systemenden im Staat mit der Wahrscheinlichkeit p und im Staat mit der Wahrscheinlichkeit in einer Prozession geht.

Es ist nicht hart zu zeigen, dass die statistischen Eigenschaften des erkennbaren für das in solch einem Mischstaat bereite System völlig bestimmt werden. Jedoch gibt es keinen Zustandvektoren, der dieses statistische Verhalten im Sinn bestimmt, dass der Erwartungswert von F (A) ist

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Dennoch gibt es einen einzigartigen Maschinenbediener ρ solch, dass der Erwartungswert von F (A) als geschrieben werden kann

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wo der Maschinenbediener ρ der Dichte-Maschinenbediener des Mischsystems ist. Eine einfache Berechnung zeigt, dass dem Maschinenbediener ρ für das obengenannte Beispiel durch gegeben wird

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Formulierung

Für einen begrenzten dimensionalen Funktionsraum ist der allgemeinste Dichte-Maschinenbediener von der Form

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wo die Koeffizienten p nichtnegativ sind und sich auf denjenigen belaufen. Das vertritt eine statistische Mischung von reinen Staaten. Wenn das gegebene System geschlossen wird, dann kann man an einen Mischstaat als das Darstellen eines einzelnen Systems mit einer unsicheren Vorbereitungsgeschichte, wie ausführlich ausführlich berichtet, oben denken; oder wir können den Mischstaat als das Darstellen eines Ensembles von Systemen, d. h. Vielzahl von Kopien des fraglichen Systems betrachten, wo p das Verhältnis des Ensembles ist, das im Staat ist. Ein Ensemble wird durch einen reinen Staat beschrieben, wenn jede Kopie des Systems in diesem Ensemble in demselben Staat ist, d. h. es ein reines Ensemble ist. Wenn das System jedoch nicht geschlossen wird, dann ist es einfach nicht richtig, um zu behaupten, dass es einen bestimmten, aber unbekannten Zustandvektoren hat, weil der Dichte-Maschinenbediener physische Verwicklungen zu anderen Systemen registrieren kann.

Denken Sie ein Quant-Ensemble der Größe N mit der Belegung Nummern n, n..., n entsprechend den orthonormalen Staaten, beziehungsweise, wo n +... +n = N, und, so, die Koeffizienten p = n/N. Für ein reines Ensemble, wo alle N Partikeln im Staat sind, haben wir n = 0, für den ganzen j  i, von dem wir den entsprechenden Dichte-Maschinenbediener wieder erlangen. Jedoch gewinnt der Dichte-Maschinenbediener eines Mischstaates die ganze Information über eine Mischung nicht; insbesondere die Koeffizienten p und der kets ψ sind vom Maschinenbediener ρ ohne Zusatzinformation nicht wiedergutzumachend. Diese Nichteinzigartigkeit deutet an, dass verschiedene Ensembles oder Mischungen demselben Dichte-Maschinenbediener entsprechen können. Solche gleichwertigen Ensembles oder Mischungen können durch das Maß von observables allein nicht bemerkenswert sein. Diese Gleichwertigkeit kann genau charakterisiert werden. Zwei Ensembles ψ, ψ' definieren denselben Dichte-Maschinenbediener wenn und nur, wenn es eine Matrix U mit gibt

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d. h. U ist einheitlich und dass solch

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Das ist einfach eine Neuformulierung der folgenden Tatsache von der geradlinigen Algebra: Für zwei Quadrat matrices M und N, M M = N N wenn und nur wenn M = NU für einen einheitlichen U. (Sieh Quadratwurzel einer Matrix für mehr Details.) So gibt es eine einheitliche Freiheit in der ket Mischung oder dem Ensemble, das demselben Dichte-Maschinenbediener gibt. Jedoch, wenn die kets in der Mischung dann orthonormal sind, sind die ursprünglichen Wahrscheinlichkeiten p als der eigenvalues der Dichte-Matrix wiedergutzumachend.

Auf der Maschinenbediener-Sprache ist ein Dichte-Maschinenbediener ein positiver halbbestimmter, hermitian Maschinenbediener der Spur das 1 Folgen dem Zustandraum. Ein Dichte-Maschinenbediener beschreibt einen reinen Staat, wenn es eine Reihe ein Vorsprung ist. Gleichwertig ist ein Dichte-Maschinenbediener ρ ein reiner Staat wenn und nur wenn

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d. h. der Staat ist idempotent. Das ist unabhängig davon wahr, ob H begrenzt dimensional ist oder nicht.

Geometrisch, wenn der Staat nicht expressible als eine konvexe Kombination anderer Staaten ist, ist es ein reiner Staat. Die Familie von Mischstaaten ist ein konvexer Satz, und ein Staat ist rein, wenn es ein extremal Punkt dieses Satzes ist.

Es folgt aus dem geisterhaften Lehrsatz für selbst adjungierte Kompaktmaschinenbediener, dass jeder Mischstaat eine unendliche konvexe Kombination von reinen Staaten ist. Diese Darstellung ist nicht einzigartig. Außerdem stellt ein Lehrsatz von Andrew Gleason fest, dass bestimmte Funktionen auf der Familie von Vorsprüngen und nehmenden Werten in [0,1] definiert haben (der als Quant-Entsprechungen von Wahrscheinlichkeitsmaßnahmen betrachtet werden kann), werden durch einzigartige Mischstaaten bestimmt. Sieh Quant-Logik für mehr Details.

Maß

Lassen Sie A ein erkennbare vom System sein und anzunehmen, dass das Ensemble in einem solchem Mischstaat ist, dass jeder der reinen Staaten mit der Wahrscheinlichkeit p vorkommt. Dann ist der entsprechende Dichte-Maschinenbediener:

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Der Erwartungswert des Maßes kann durch das Verlängern vom Fall von reinen Staaten berechnet werden (sieh Maß in der Quant-Mechanik):

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wo tr Spur anzeigt. Außerdem, wenn A geisterhafte Entschlossenheit hat

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wo der entsprechende Dichte-Maschinenbediener nachdem durch das Maß gegeben wird:

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Bemerken Sie, dass der obengenannte Dichte-Maschinenbediener das volle Ensemble nach dem Maß beschreibt. Das Subensemble, für das das Maß-Ergebnis der besondere Wert war beschrieben durch den verschiedenen Dichte-Maschinenbediener zu sein

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Das ist das wahre Annehmen, das der einzige eigenket (bis zur Phase) mit eigenvalue a ist; mehr allgemein, P in diesem Ausdruck würde vom Vorsprung-Maschinenbediener in den eigenspace entsprechend eigenvalue a ersetzt.

Wärmegewicht

Das Wärmegewicht von von Neumann einer Mischung kann in Bezug auf den eigenvalues oder in Bezug auf die Spur und den Logarithmus des Dichte-Maschinenbedieners ausgedrückt werden. Seitdem ist ein positiver halbbestimmter Maschinenbediener, es hat eine geisterhafte Zergliederung solch das, wo orthonormale Vektoren sind. Deshalb ist das Wärmegewicht eines Quant-Systems mit der Dichte-Matrix

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Auch ihm kann das gezeigt werden

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wenn orthogonale Unterstützung haben, wo das Wärmegewicht von Shannon ist.

Dieses Wärmegewicht kann zunehmen, aber nie mit einem projektiven Maß abnehmen, jedoch können verallgemeinerte Maße Wärmegewicht vermindern. Das Wärmegewicht eines reinen Staates ist Null, während diese einer richtigen Mischung, die immer größer ist als Null. Deshalb kann ein reiner Staat in eine Mischung durch ein Maß umgewandelt werden, aber eine richtige Mischung kann in einen reinen Staat nie umgewandelt werden. So veranlasst die Tat des Maßes eine grundsätzliche irreversible Änderung auf der Dichte-Matrix; das ist dem "Zusammenbruch" des Zustandvektoren oder Wavefunction-Zusammenbruch analog. Vielleicht gegenintuitiv vermindert das Maß wirklich Information durch das Auslöschen der Quant-Einmischung ins zerlegbare System — vgl Quant-Verwicklung und Quant decoherence.

(Ein Subsystem eines größeren Systems kann von einem Misch-bis einen reinen Staat, aber nur durch die Erhöhung des Wärmegewichtes von von Neumann anderswohin im System gedreht werden. Das ist dem analog, wie das Wärmegewicht eines Gegenstands durch das Stellen davon in einem Kühlschrank gesenkt werden kann: Die Luft außerhalb des Hitzeex-Wechslers des Kühlschranks erwärmt sich, noch mehr Wärmegewicht gewinnend, als es durch den Gegenstand im Kühlschrank verloren wurde. Sieh das zweite Gesetz der Thermodynamik. Sieh Wärmegewicht in der Thermodynamik und Informationstheorie.)

Die Gleichung von Von Neumann für die Zeitevolution

Wie die Gleichung von Schrödinger beschreibt, wie sich reine Staaten rechtzeitig entwickeln, beschreiben die Gleichung von von Neumann (auch bekannt als Gleichung von Liouville-Von Neumann), wie sich ein Dichte-Maschinenbediener rechtzeitig entwickelt (tatsächlich, sind die zwei Gleichungen im Sinn gleichwertig, dass irgendein aus dem anderen abgeleitet werden kann.) Die Gleichung von von Neumann diktiert das

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wo die Klammern einen Umschalter anzeigen.

Bemerken Sie, dass diese Gleichung nur hält, wenn der Dichte-Maschinenbediener genommen wird, um im Bild von Schrödinger zu sein, wenn auch diese Gleichung scheint, zuerst achten, mit der Gleichung von Heisenberg der Bewegung im Bild von Heisenberg mit einem entscheidenden Zeichen-Unterschied wettzueifern:

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wo ein Bildermaschinenbediener von Heisenberg ist; aber in diesem Bild ist die Dichte-Matrix nicht zeitabhängig, und das Verhältniszeichen stellt sicher, dass die Zeitableitung des erwarteten Werts dasselbe als im Bild von Schrödinger herauskommt.

Die Einnahme des Dichte-Maschinenbedieners, um im Bild von Schrödinger zu sein, hat Sinn, da es aus 'Schrödinger' kets und Büstenhaltern entwickelt rechtzeitig laut des Bildes von Schrödinger zusammengesetzt wird.

Wenn Hamiltonian zeitunabhängig ist, kann diese Differenzialgleichung leicht gelöst werden, um nachzugeben

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"Quant Liouville", die Gleichung von Moyal

Der Dichte-Matrixmaschinenbediener kann auch im Phase-Raum begriffen werden. Laut der Karte von Wigner verwandelt sich die Dichte-Matrix zur gleichwertigen Funktion von Wigner,

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Die Gleichung für die Zeitevolution der Funktion von Wigner ist dann das Wigner-Umgestalten der obengenannten Gleichung von von Neumann,

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wo H (q, p) Hamiltonian, und {{ist · ·}} ist die Klammer von Moyal, das Umgestalten des Quant-Umschalters.

Die Evolutionsgleichung für die Funktion von Wigner ist dann dieser seiner klassischen Grenze, der Gleichung von Liouville der klassischen Physik analog. In der Grenze des unveränderlichen ħ von verschwindendem Planck, W (q, p, t) nimmt zur klassischen Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion von Liouville im Phase-Raum ab.

Die klassische Gleichung von Liouville kann mit der Methode von Eigenschaften für teilweise Differenzialgleichungen, die charakteristischen Gleichungen gelöst werden, die die Gleichungen von Hamilton sind. Die Moyal Gleichung in der Quant-Mechanik lässt ähnlich formelle Lösungen in Bezug auf Quant-Eigenschaften zu, die auf dem  Produkt des Phase-Raums behauptet sind, obwohl, in der wirklichen Praxis, Lösungssuchen verschiedenen Methoden folgt.

Zerlegbare Systeme

Die gemeinsame Dichte-Matrix eines zerlegbaren Systems von zwei Systemen A und B wird dadurch beschrieben. Dann werden die Subsysteme von ihrem reduzierten Dichte-Maschinenbediener beschrieben.

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wird teilweise Spur über das System B genannt.

Wenn A und B zwei verschiedene und unabhängige Systeme dann sind, der ein Produktstaat ist.

C*-algebraic Formulierung von Staaten

Es wird jetzt allgemein akzeptiert, dass die Beschreibung der Quant-Mechanik, in der alle selbst adjungierten Maschinenbediener observables vertreten, unhaltbar ist. Deshalb werden observables zu Elementen eines Auszugs C*-algebra identifiziert (der ein ohne eine ausgezeichnete Darstellung als eine Algebra von Maschinenbedienern ist) und Staaten positiver geradliniger functionals auf A sind. Jedoch, indem wir den GNS Aufbau verwenden, können wir Räume von Hilbert wieder erlangen, die als eine Subalgebra von Maschinenbedienern begreifen.

Geometrisch ist ein reiner Staat auf C*-algebra A ein Staat, der ein äußerster Punkt des Satzes aller Staaten auf A ist. Durch Eigenschaften des GNS Aufbaus entsprechen diese Staaten nicht zu vereinfachenden Darstellungen von A.

Die Staaten C*-algebra Kompaktmaschinenbediener K (H) entsprechen genau den Dichte-Maschinenbedienern, und deshalb sind die reinen Staaten von K (H) genau die reinen Staaten im Sinne der Quant-Mechanik.

C*-algebraic, wie man sehen kann, schließt Formulierung sowohl klassische Systeme als auch Quant-Systeme ein. Wenn das System klassisch ist, die Algebra von observables werden ein abelian C*-algebra. In diesem Fall werden die Staaten Wahrscheinlichkeitsmaßnahmen, wie bemerkt, in der Einführung.

Siehe auch

• Schwankungslehrsatz
• Dichte funktionelle Theorie
• Dynamische Kernpolarisation
• Geradlinige Ansprechfunktion
• Die Funktion des Grüns (Vielkörpertheorie)
• Gleichung von Lindblad
• Grüne-Kubo Beziehungen
• Die Reinigung des Quants setzt fest
• POVM Verallgemeinertes Maß der Dichte setzt fest
• Quasiwahrscheinlichkeitsvertrieb von Wigner

Zeichen und Verweisungen