In der Philosophie der Mathematik, ultrafinitism, auch bekannt als ultraintuitionism, streng-finitism, actualism, und stark-finitism ist eine Form von finitism. Es gibt verschiedene Philosophien der Mathematik, die ultrafinitism genannt werden. Einer von sich identifizierenden zwischen den meisten dieser Philosophien üblichen Haupteigenschaften ist ihre Leugnung der Gesamtheit der Zahl theoretische Funktionen wie exponentiation über natürliche Zahlen.

Hauptideen

Wie anderer strenger finitists bestreiten ultrafinitists die Existenz des unendlichen Satzes N von natürlichen Zahlen, mit der Begründung, dass es nie vollendet werden kann.

Außerdem sind einige ultrafinitists mit unseren eigenen physischen Beschränkungen im Konstruieren (sogar begrenzt) mathematische Gegenstände beschäftigt.

So wird ein ultrafinitists die Existenz dessen bestreiten, zum Beispiel hat der Fußboden der Zahl des ersten Skewes, die eine riesige Zahl ist, das Verwenden der Exponentialfunktion als exp (exp (exp (79))), oder definiert

:

Der Grund besteht darin, dass niemand noch das berechnet hat, welche natürliche Zahl der Fußboden dieser reellen Zahl ist, und es nicht sogar physisch möglich sein kann, so zu tun.

Ähnlich wird als nur ein formelle Ausdruck betrachtet, der keiner natürlichen Zahl entspricht.

Der mit der physischen Durchführbarkeit der Mathematik betroffene ultrafinitism wird häufig actualism genannt.

Edward Nelson kritisiert die klassische Vorstellung von natürlichen Zahlen wegen der Rundheit seiner Definition. In der klassischen Mathematik werden die natürlichen Zahlen als 0 und Zahlen definiert, die durch die wiederholenden Anwendungen der Nachfolger-Funktion zu 0 erhalten sind. Aber das Konzept der natürlichen Zahl wird bereits für die Wiederholung angenommen. Mit anderen Worten, um eine Zahl wie zu erhalten, muss man die Nachfolger-Funktion wiederholend, tatsächlich genau Zeiten zu 0 durchführen.

Einige Versionen von ultrafinitism sind Formen von constructivism, aber sogar constructivists sehen allgemein die Philosophie als unausführbar äußerst an.

Das logische Fundament von ultrafinitism ist unklar; in seinem umfassenden Überblick Constructivism in der Mathematik (1988) hat der konstruktive Logiker A. S. Troelstra es abgewiesen, indem er gesagt hat, dass "keine befriedigende Entwicklung zurzeit besteht." Das war nicht soviel ein philosophischer Einwand, wie es eine Aufnahme dass in einer strengen Arbeit der mathematischen Logik war, gab es einfach nichts Genaues genug, um einzuschließen.

Leute haben mit ultrafinitism verkehrt

Die ernste Arbeit an ultrafinitism ist seit 1959 von Alexander Esenin-Volpin geführt worden. Andere Mathematiker, die im Thema gearbeitet haben, schließen Doron Zeilberger, Edward Nelson und Rohit Jivanlal Parikh ein. Die Philosophie wird auch manchmal mit den Ansichten von Ludwig Wittgenstein, Robin Gandy und J. Hjelmslev vereinigt.

Shaughan Lavine hat eine Form von mit dem Satz theoretischem ultra-finitism entwickelt, der mit der klassischen Mathematik im Einklang stehend ist.

Kompliziertheitstheorie hat Beschränkungen gestützt

Andere Rücksichten der Möglichkeit, unwieldily große Anzahl zu vermeiden, können auf der rechenbetonten Kompliziertheitstheorie, als in der Arbeit von Andras Kornai an ausführlichem finitism basieren (der die Existenz der großen Anzahl nicht bestreitet), und

Der Begriff von Vladimir Sazonov der ausführbaren Zahl.

Es hat beträchtliche formelle Entwicklung auf gestützten Ansichten der Kompliziertheit wie die Begrenzten Arithmetischen Theorien von Samuel Buss gegeben, die Mathematik gewinnen, die mit verschiedenen Kompliziertheitsklassen wie P und PSPACE vereinigt ist. Die Macht dieser Theorien, um Mathematik zu entwickeln, wird in der Begrenzten Rückmathematik studiert, wie in den Arbeiten von Stephen A. Cook und Phuong Der Nguyen gefunden werden kann. Jedoch sind diese Forschungen nicht Philosophien der Mathematik, aber eher der Studie von eingeschränkten Formen, ähnlich vernünftig zu urteilen, um Mathematik Umzukehren.

Referenzen

• Lavine, S., 1994. Das Unendliche, Cambridge, Massachusetts verstehend: Universität von Harvard Presse.

Links

• Ausführlicher finitism durch Andras Kornai
• Auf ausführbaren Zahlen (http://www.csc.liv.ac.uk/~sazonov/papers/lcc.ps) durch Vladimir Sazonov
• "Echte" Analyse ist ein degenerierter Fall der getrennten Analyse durch Doron Zeilberger
• Diskussion über formelle Fundamente auf MathOverflow
• Geschichte von constructivism im 20. Jahrhundert durch A. S. Troelstra
• Aussagende Arithmetik durch Edward Nelson
• Logische Fundamente der Probekompliziertheit durch Stephen A. Kochen Sie und Phuong der Nguyen
• Begrenzte Rückmathematik durch Phuong der Nguyen