In der Mathematik ist ein hyperboloid ein quadric - ein Typ der Oberfläche in drei Dimensionen - beschrieben durch die Gleichung

: (hyperboloid einer Platte),

oder

: (hyperboloid zwei Platten).

Diese werden auch elliptischen hyperboloids genannt. Wenn, und nur wenn = b es ein hyperboloid der Revolution ist, und auch ein Rundschreiben hyperboloid genannt wird.

Eigenschaften

Ein hyperboloid der Revolution einer Platte kann durch das Rotieren einer Hyperbel um seine halbgeringe Achse erhalten werden. Wechselweise, ein hyperboloid von zwei Platten der Achse AB wird als der Satz von Punkten P solch erhalten, dass APBP eine Konstante, AP ist, die die Entfernung zwischen A und P ist. Punkte A und B werden dann die Fokusse des hyperboloid genannt. Ein hyperboloid der Revolution von zwei Platten kann durch das Rotieren einer Hyperbel um seine Halbhauptachse erhalten werden.

Ein hyperboloid einer Platte ist eine doppelt geherrschte Oberfläche; wenn es ein hyperboloid der Revolution ist, kann es auch durch das Rotieren einer Linie über eine verdrehen Linie erhalten werden.

Wohingegen die Krümmung von Gaussian eines hyperboloid einer Platte negativ ist, ist dieser eines Zwei-Platten-hyperboloid positiv. Trotz seiner positiven Krümmung kann der hyperboloid von zwei Platten mit einem anderen angemessen gewählt metrisch auch als ein Modell für die Hyperbelgeometrie verwendet werden.

Degeneriert

Ein degenerierter hyperboloid ist von der Form

wenn = b dann das einen Kegel geben wird, wenn nicht dann er einen elliptischen Kegel gibt.

In mehr als drei Dimensionen

Imaginäre hyperboloids werden oft in der Mathematik von höheren Dimensionen gefunden. Zum Beispiel in einem pseudoeuklidischen Raum hat man den Nutzen einer quadratischen Form:

:

Wenn c jede Konstante, dann der Teil des durch gegebenen Raums ist

wird einen hyperboloid genannt. Der degenerierte Fall entspricht c = 0.

Als ein Beispiel, denken Sie den folgenden Durchgang von Hawkins (2000):

:... die Geschwindigkeitsvektoren liegen immer auf einer Oberfläche, die Minkowski einen vierdimensionalen hyperboloid seitdem, ausgedrückt in Bezug auf rein echte Koordinaten nennt, ist seine Gleichung dem hyperboloid des dreidimensionalen Raums analog.

Jedoch wird der Begriff Quasibereich auch in diesem Zusammenhang gebraucht, da der Bereich und hyperboloid eine Allgemeinheit haben (Sieh die Abteilung "Beziehung zum Bereich" unten).

Strukturen von Hyperboloid

Ein-sheeted hyperboloids werden im Aufbau, mit den Strukturen genannt hyperboloid Strukturen verwendet. Ein hyperboloid ist eine doppelt geherrschte Oberfläche so kann mit geraden Stahlbalken gebaut werden, eine starke Struktur preiswerter erzeugend, als andere Methoden. Beispiele schließen Kühltürme, besonders Kraftwerke und vieler anderer Strukturen ein.

Beziehung zum Bereich

1853 hat William Rowan Hamilton seine Vorträge auf Quaternions veröffentlicht, der Präsentation von biquaternions eingeschlossen hat. Der folgende Durchgang von der Seite 673 zeigt, wie Hamilton biquaternion Algebra und Vektoren von quaternions verwendet, um hyperboloids von der Gleichung eines Bereichs zu erzeugen:

:... die Gleichung des Einheitsbereichs ρ + 1 = 0, und Änderung der Vektor ρ zu einer Bivector-Form, solcher als σ + τ. die Gleichung des Bereichs löst sich dann ins System der zwei im Anschluss an, auf

::σ − τ + 1 = 0, S.στ = 0;

:and deutet unser Betrachten &sigma an; und τ als zwei echte und rechteckige Vektoren, solch dass

::Tτ = (Tσ − 1).

:Hence es ist leicht, das abzuleiten, wenn wir &sigma annehmen; λ wo λ ist ein Vektor in einer gegebenen Position, der neue echte Vektor σ + τ wird auf der Oberfläche eines doppelten-sheeted und gleichseitigen hyperboloid enden; und das, wenn, andererseits, wir &tau annehmen; λ dann der geometrische Ort des äußersten Endes des echten Vektoren σ + τ wird ein gleichseitiger, aber einzelner-sheeted hyperboloid sein. Die Studie dieser zwei hyperboloids wird deshalb auf diese Weise sehr einfach durch biquaternions mit der Studie des Bereichs verbunden;...

In diesem Abschnitt S ist der Maschinenbediener, der den Skalarteil eines quaternion gibt, und T ist der "Tensor", jetzt genannt Norm von einem quaternion.

Eine moderne Ansicht von der Vereinigung des Bereichs und hyperboloid verwendet die Idee von einer konischen Abteilung als eine Scheibe einer quadratischen Form. Statt einer konischen Oberfläche verlangt man konische Hyperoberflächen im vierdimensionalen Raum mit durch quadratische Formen bestimmten Punkten. Denken Sie zuerst die konische Hyperoberfläche

: und

: der ein Hyperflugzeug ist.

Dann ist der Bereich mit dem Radius r. Andererseits, die konische Hyperoberfläche

: bestimmt, dass ein hyperboloid ist.

In der Theorie von quadratischen Formen ist ein Einheitsquasibereich die Teilmenge eines quadratischen Raums X, aus dem x &isin bestehend; X solch, dass die quadratische Norm von x diejenige ist. Sieh Porteous (1995), wo dieser Begriff sowohl hyperboloid als auch Bereich einschließt.

Siehe auch

• Hyperbel
• Ellipsoid
• Paraboloid / Hyperbolischer paraboloid
• Struktur von Hyperboloid
• Geherrschte Oberfläche
• Raum von de Sitter
• Vladimir Shukhov
• Wilhelm Blaschke (1948) Analytische Geometrie, Kapital V: "Quadriken", Wolfenbutteler Verlagsanstalt.
• David A. Brannan, M. F. Esplen, & Jeremy J Gray (1999) Geometrie, Seiten 39-41 Universität von Cambridge Presse.
• H. S. M. Coxeter (1961) Einführung in die Geometrie, Seite 130, John Wiley & Sons.
• Thomas Hawkins (2000) Erscheinen der Theorie von Lie Groups: Ein Aufsatz in der Geschichte der Mathematik, 1869 — 1926, §9.3 "Der Mathematization der Physik an Göttingen" sieh Seite 340, internationale Springer-Standardbuchnummer 0-387-98963-3.
• Ian R. Porteous (1995) Clifford Algebras und Classical Groups, Seiten 22,24, & 106, Universität von Cambridge internationale Pressestandardbuchnummer 0-521-55177-3.

Links

• Kugelförmiges Panorama (VR) des hyperboloid ersten Weltturms, Polibino