Stellation ist ein Prozess, neue Vielecke (in zwei Dimensionen), neue Polyeder in drei Dimensionen, oder, im Allgemeinen, neuer polytopes in n Dimensionen zu bauen. Der Prozess besteht aus sich ausstreckenden Elementen wie Ränder oder Gesichtsflugzeuge gewöhnlich auf eine symmetrische Weise, bis sie einander wieder treffen. Die neue Zahl ist ein stellation des Originals.

Die Definition von Kepler

1619 hat Kepler stellation für Vielecke und Polyeder, als der Prozess von sich ausstreckenden Rändern oder Gesichtern definiert, bis sie sich treffen, um ein neues Vieleck oder Polyeder zu bilden. Er stellated das Dodekaeder, um zwei der regelmäßigen Sternpolyeder (zwei der Kepler-Poinsot Polyeder) zu erhalten.

Vielecke von Stellated

Ein stellation eines regelmäßigen Vielecks ist ein regelmäßiges Sternvieleck oder polygonale Zusammensetzung.

Ein regelmäßiges Sternvieleck wird durch sein Symbol von Schläfli {n/m} vertreten, wo n die Zahl von Scheitelpunkten ist, ist M der Schritt, der in sequencing die Ränder darum verwendet ist, und M und n sind co-prime (d. h. haben Sie keinen allgemeinen Teiler). Das Bilden der M = 1 gibt das konvexe {n}.

Wenn n und M wirklich einen allgemeinen Teiler haben, dann kann eine regelmäßige Zusammensetzung gemacht werden. Zum Beispiel führt {6/2} zur regelmäßigen Zusammensetzung von zwei Dreiecken {3} oder hexagram, während {10/4} zu einer Zusammensetzung von zwei Pentagrammen {5/2} führt.

Einige Autoren verwenden das Symbol von Schläfli für solche regelmäßigen Zusammensetzungen. Andere betrachten das Symbol als das Anzeigen eines einzelnen Pfads, der Wunde M Zeiten um n/m Scheitelpunkt-Punkte, solch ist, dass ein Rand auf einen anderen überlagert ist und jeder Scheitelpunkt-Punkt besuchte M Zeiten ist. In diesem Fall kann ein modifiziertes Symbol für die Zusammensetzung, zum Beispiel 2 {3} für den hexagram und 2 {5/2} für die regelmäßige Zusammensetzung von zwei Pentagrammen verwendet werden.

Ein regelmäßiger n-gon hat (n-4)/2 stellations, wenn n sogar, und (n-3)/2 stellations ist, wenn n seltsam ist.

Wie das Heptagon hat das Achteck auch zwei octagrammic stellations, ein, {8/3} ein Sternvieleck und der andere, {8/2} zu sein, die Zusammensetzung von zwei Quadraten seiend.

Polyeder von Stellated

Die Gesichtsflugzeuge eines Polyeders teilen Raum in viele getrennte Zellen. Für ein symmetrisches Polyeder werden diese Zellen in Gruppen oder Sätze kongruenter Zellen fallen - wir sagen, dass die Zellen in solch einem kongruenten Satz desselben Typs sind. Eine übliche Methodik, stellations zu finden, schließt das Auswählen von demjenigen oder mehr Zelltypen ein.

Das kann zu einer riesigen Zahl von möglichen Formen führen, so weitere Kriterien werden häufig auferlegt, um den Satz auf jene stellations zu reduzieren, die bedeutend und irgendwie einzigartig sind.

Eine Reihe von Zellen, die eine geschlossene Schicht um seinen Kern bildet, wird eine Schale genannt. Für ein symmetrisches Polyeder kann eine Schale aus einem oder mehr Zelltypen zusammengesetzt werden.

Gestützt auf solchen Ideen sind mehrere einschränkende Kategorien von Interesse identifiziert worden.

• Hauptstrecke stellations. Das Hinzufügen aufeinander folgender Schalen zum Kernpolyeder führt zum Satz der Hauptstrecke stellations.
• Völlig unterstützter stellations. Die Unterseite-Gesichter einer Zelle können äußerlich als ein "Überhängen" erscheinen. In einem völlig unterstützten stellation gibt es nicht solchen hängt über, und alle sichtbaren Teile eines Gesichtes werden von derselben Seite gesehen.
• Monoacral stellations. Wörtlich "einzeln kulminiert". Wo es nur eine Art der Spitze oder Scheitelpunkt, in einem stellation gibt (d. h. alle Scheitelpunkte innerhalb einer einzelnen Symmetrie-Bahn kongruent sind), ist der stellation monoacral. Alle diese stellations werden völlig unterstützt.
• Primärer stellations. Wo ein Polyeder Flugzeuge der Spiegelsymmetrie hat, wie man sagt, liegen Ränder, die in diesen Flugzeugen fallen, in primären Linien. Wenn alle Ränder in primären Linien liegen, ist der stellation primär. Alle primären stellations werden völlig unterstützt.
• Miller stellations. In "Den Neunundfünfzig Icosahedra" Coxeter registrieren Du Val, Flather und Petrie fünf von Miller angedeutete Regeln. Obwohl sich diese Regeln spezifisch auf die Geometrie des Ikosaeders beziehen, können sie leicht angepasst werden, um für willkürliche Polyeder zu arbeiten. Sie stellen unter anderem sicher, dass die Rotationssymmetrie des ursprünglichen Polyeders bewahrt wird, und dass jeder stellation in der äußeren Erscheinung verschieden ist. Die vier Arten von gerade definiertem stellation sind alle Teilmengen des Millers stellations.

Wir können auch einige andere Kategorien identifizieren:

• Ein teilweiser stellation ist derjenige, wo nicht alle Elemente eines gegebenen dimensionality erweitert werden.
• Ein subsymmetrischer stellation ist derjenige, wo nicht alle Elemente symmetrisch erweitert werden.

Die Archimedean Festkörper und ihr duals können auch stellated sein. Hier fügen wir gewöhnlich die Regel hinzu, dass alle ursprünglichen Gesichtsflugzeuge im stellation da sein müssen, d. h. wir teilweisen stellations nicht denken. Zum Beispiel wird der Würfel als kein stellation des cuboctahedron betrachtet. Es gibt:

• 4 stellations des rhombischen Dodekaeders
• 187 stellations des triakis Tetraeders
• 358,833,097 stellations des rhombischen triacontahedron
• 17 stellations des cuboctahedron (4 werden in den "Polyeder-Modellen von Wenninger" gezeigt)
• Unbekannter stellations des icosidodecahedron, aber noch viele als obengenannt! (19 werden in den "Polyeder-Modellen von Wenninger" gezeigt)

Siebzehn der nichtkonvexen gleichförmigen Polyeder sind stellations von Festkörpern von Archimedean.

Die Regierungen des Müllers

Im Buch Die neunundfünfzig icosahedra hat J.C.P. Miller eine Reihe von Regeln vorgeschlagen, um zu definieren, welche Stellation-Formen "richtig bedeutend und verschieden" betrachtet werden sollten.

Diese Regeln sind an den Gebrauch mit stellations von vielen anderen Polyedern angepasst worden. Laut der Regierungen des Müllers finden wir:

• Es gibt keinen stellations des Tetraeders, weil alle Gesichter angrenzender sind
• Es gibt keinen stellations des Würfels, weil nichtangrenzende Gesichter parallel sind und so nicht erweitert werden können, um sich in neuen Rändern zu treffen
• Es gibt 1 stellation des Oktaeders, der stella octangula
• Es gibt 3 stellations des Dodekaeders: Das kleine stellated Dodekaeder, das große Dodekaeder und das große stellated Dodekaeder, von denen alle Kepler-Poinsot Polyeder sind.
• Es gibt 58 stellations des Ikosaeders, einschließlich des großen Ikosaeders (eines der Kepler-Poinsot Polyeder), und den zweiten und endgültigen stellations des Ikosaeders. Das 59. Modell in "Den neunundfünfzig icosahedra" ist das ursprüngliche Ikosaeder selbst.

Viele "Miller stellations" können direkt durch das Verwenden der Methode von Kepler nicht erhalten werden. Zum Beispiel haben viele hohle Zentren, wo die ursprünglichen Gesichter und Ränder des Kernpolyeders völlig vermisst werden: Es gibt nichts mehr, um stellated zu sein. Andererseits gibt die Methode von Kepler auch stellations nach, die durch die Regierungen von Miller verboten werden, da ihre Zellen Rand - oder Scheitelpunkt-verbunden sind, wenn auch ihre Gesichter einzelne Vielecke sind. Diese Diskrepanz hat keine echte Aufmerksamkeit bis zu Inchbald (2002) erhalten.

Nach rechts ist ein Beispiel eines stellation. Dieser ist ein stellation eines katalanischen Festkörpers, des triakis Ikosaeders.

Andere Regeln für stellation

Die Regierungen des Müllers vertreten keineswegs die "richtige" Weise, stellations aufzuzählen. Sie basieren auf sich verbindenden Teilen innerhalb des stellation Diagramms auf bestimmte Weisen, und ziehen die Topologie der resultierenden Gesichter nicht in Betracht. Als solcher gibt es einige ziemlich angemessene stellations des Ikosaeders, die nicht ein Teil ihrer Liste sind - wurde einer durch die James Bridge 1974 identifiziert, während ein "Müller stellations" betreffs zweifelhaft ist, ob sie als stellations überhaupt betrachtet werden sollten - umfasst einer des Icosahedral-Satzes mehrere ziemlich getrennte Zellen, die symmetrisch im Raum schwimmen.

Bis jetzt ist ein alternatives Regelwerk, das das in Betracht zieht, nicht völlig entwickelt worden. Die meisten Fortschritte sind basiert auf dem Begriff gemacht worden, dass stellation der gegenseitige Prozess zu facetting ist, wodurch Teile von einem Polyeder entfernt werden, ohne irgendwelche neuen Scheitelpunkte zu schaffen. Für jeden stellation von einem Polyeder gibt es einen Doppelfacetting des Doppelpolyeders, und umgekehrt. Indem wir facettings des Doppel-studieren, gewinnen wir Einblicke in den stellations des Originals. Brücke hat seinen neuen stellation des Ikosaeders durch das Studieren des facettings seines Doppel-, des Dodekaeders gefunden.

Einige polyhedronists vertreten die Ansicht, dass stellation ein Zweiwegeprozess, solch ist, dass irgendwelche zwei Polyeder, die dieselben Gesichtsflugzeuge teilen, stellations von einander sind. Das ist verständlich, wenn man einen allgemeinen Algorithmus ausdenkt, der für den Gebrauch in einem Computerprogramm passend ist, aber sonst nicht besonders nützlich ist.

Viele Beispiele von stellations können in der Liste der stellation Modelle von Wenninger gefunden werden.

Stellated polytopes

Der Stellation-Prozess gilt für höheren dimensionalen polytopes ebenso. Ein stellation Diagramm eines n-polytope besteht in (n-1) - dimensionales Hyperflugzeug einer gegebenen Seite.

Zum Beispiel, im 4-Räume-, ist das Große großartig stellated 120-Zellen-der endgültige stellation des Stammkunden 4-polytope 120-Zellen-.

Das Namengeben stellations

Das erste systematische Namengeben von stellated Polyedern war das Namengeben von Cayley der regelmäßigen Sternpolyeder (heutzutage bekannt als die Kepler-Poinsot Polyeder). Dieses System war weit, aber nicht immer systematisch, angenommen für andere Polyeder und höher polytopes.

John Conway hat eine Fachsprache für stellated Vielecke, Polyeder und polychora (Coxeter 1974) ausgedacht. In diesem System wird der Prozess von sich ausstreckenden Rändern, um eine neue Zahl zu schaffen, stellation genannt, dieses des Verlängerns von Gesichtern wird greatening genannt, und diese von sich ausstreckenden Zellen wird Erweiterung genannt (das dauert gilt für Polyeder nicht). Das erlaubt einen systematischen Gebrauch von Wörtern wie 'stellated', 'groß, und 'großartig' im Planen von Namen für die resultierenden Zahlen. Zum Beispiel hat Conway einige geringe Schwankungen den Namen der Kepler-Poinsot Polyeder vorgeschlagen.

Stellation zur Unendlichkeit

Wenninger hat bemerkt, dass einige Polyeder, wie der Würfel, keinen begrenzten stellations haben. Die stellation Zellen sind Prismen, die sich bis zu die Unendlichkeit ausstrecken. Die Zahl, die diese Prismen umfasst, ist ein stellation zur Unendlichkeit. Durch die meisten Definitionen eines Polyeders sind diese stellations nicht ausschließlich Polyeder. Sie kommen als Doppelpolyeder der Uniform hemipolyhedra vor.

Siehe auch

• Die neunundfünfzig icosahedra
• Die Liste von Polyeder-Modellen von Wenninger Schließt 44 Stellated-Formen des Oktaeders, Dodekaeders Ein, Ikosaeder und icosidodecahedron, haben die 1974 "Buchpolyeder-Modelle" durch Magnus Wenninger aufgezählt
• Polyedrische Zusammensetzung Schließt 5 regelmäßige Zusammensetzungen und 4 regelmäßige Doppelzusammensetzungen Ein.
• Brücke, N. J.; Facetting das Dodekaeder, Acta Crystallographica A30 (1974), Seiten 548-552.
• Coxeter, H.S.M.; regelmäßiger Komplex polytopes (1974).
• Coxeter, H.S.M.; Du Val, P.; Flather, H. T.; und Petrie, J. F. Die neunundfünfzig Icosahedra. Stradbroke, England: Tarquin Veröffentlichungen (1999).
• Inchbald, G.; auf der Suche nach dem verlorenen icosahedra, The Mathematical Gazette 86 (2002), p.p. 208-215.
• Messer, P.; Stellations des rhombischen triacontahedron und darüber hinaus, Symmetrie: Kultur und Wissenschaft, 11 (2000), Seiten 201-230.

Außenverbindungen

• Stellating Icosahedron und Facetting das Dodekaeder
• Stella: Polyeder-Navigator - Software, um Polyeder zu erforschen und Netze für ihren physischen Aufbau zu drucken. Schließt gleichförmige Polyeder, stellations, Zusammensetzungen, Festkörper von Johnson usw. ein.
• Enumeration von stellations
• Polyeder von Vladimir Bulatov Stellation.
• Stellation Applet
• Eine interaktive Entwicklung von Polyedern Stellations mit verschiedenem Symmetries
• Die neunundfünfzig Icosahedra - Applet
• 59 Stellations des Ikosaeders, George Hart
• Stellation: Schöne Mathematik
• Weiter Stellations der Gleichförmigen Polyeder, JOHN LAWRENCE HUDSON DER MATHEMATISCHE INTELLIGENCER, der Band 31, die Nummer 4, 2009