In der Mathematik ist konstruktive Analyse mathematische gemäß den Grundsätzen der konstruktiven Mathematik getane Analyse.

Das hebt sich von der klassischen Analyse ab, die (in diesem Zusammenhang) einfach gemäß den (gewöhnlichen) Grundsätzen der klassischen Mathematik getane Analyse bedeutet.

Im Allgemeinen kann konstruktive Analyse Lehrsätze der klassischen Analyse, aber nur in der Anwendung auf trennbare Räume wieder hervorbringen; auch müssen einige Lehrsätze eventuell durch Annäherungen genähert werden.

Außerdem können viele klassische Lehrsätze auf Weisen festgesetzt werden, die gemäß der klassischen Logik logisch gleichwertig sind, aber nicht alle diese Formen wird in der konstruktiven Analyse gültig sein, die intuitionistic Logik verwendet.

Beispiele

Der Zwischenwertlehrsatz

Für ein einfaches Beispiel, denken Sie den Zwischenwertlehrsatz (IVT).

In der klassischen Analyse sagt IVT, dass, in Anbetracht jeder dauernden Funktion f von einem geschlossenen Zwischenraum [a, b] zur echten Linie R, wenn f (a) negativ ist, während f (b) dann positiv ist, dort eine reelle Zahl c im solchem Zwischenraum besteht, dass f (c) genau Null-ist.

In der konstruktiven Analyse hält das nicht, weil die konstruktive Interpretation der existenziellen Quantifizierung ("dort besteht"), verlangt, dass im Stande ist, die reelle Zahl c zu bauen (im Sinn, dass ihm zu jeder gewünschten Präzision durch eine rationale Zahl näher gekommen werden kann).

Aber wenn f in der Nähe von der Null während eines Streckens entlang seinem Gebiet schwankt, dann kann das nicht notwendigerweise getan werden.

Jedoch stellt konstruktive Analyse mehrere alternative Formulierungen von IVT zur Verfügung, von denen alle zur üblichen Form in der klassischen Analyse, aber nicht in der konstruktiven Analyse gleichwertig sind.

Zum Beispiel, unter denselben Bedingungen auf f wie im klassischen Lehrsatz, in Anbetracht jeder natürlichen Zahl n (egal wie groß), dort besteht (d. h. wir können bauen) eine reelle Zahl c im solchem Zwischenraum, dass der absolute Wert von f (c) weniger ist als 1/n.

D. h. wir können als in der Nähe von der Null kommen, wie wir mögen, selbst wenn wir keinen c bauen können, der uns genau Null-gibt.

Wechselweise können wir denselben Beschluss wie im klassischen IVT — ein einzelner solcher c behalten, dass f (c) genau Null-ist — während er die Bedingungen auf f stärkt.

Wir verlangen, dass f lokal Nichtnull sind, bedeutend, dass gegeben jeder Punkt x im Zwischenraum [a, b] und jede natürliche Zahl M, dort besteht (wir können bauen) eine reelle Zahl y im solchem Zwischenraum dass |y - x

In diesem Fall kann die gewünschte Nummer c gebaut werden.

Das ist eine komplizierte Bedingung, aber es gibt mehrere andere Bedingungen, die es einbeziehen, und die allgemein entsprochen werden; zum Beispiel ist jede analytische Funktion lokal Nichtnull-(das Annehmen, dass sie bereits f (a) befriedigt

Für eine andere Weise, dieses Beispiel anzusehen, bemerken Sie, dass gemäß der klassischen Logik, wenn die lokal Nichtnullbedingung scheitert, dann muss es an einem spezifischen Punkt x scheitern; und dann f (x) wird 0 gleich sein, so dass IVT automatisch gültig ist.

So in der klassischen Analyse, die klassische Logik verwendet, um den vollen IVT zu beweisen, ist es genügend, die konstruktive Version zu beweisen.

Von dieser Perspektive scheitert der volle IVT in der konstruktiven Analyse einfach, weil konstruktive Analyse klassische Logik nicht akzeptiert.

Umgekehrt kann man behaupten, dass die wahre Bedeutung von IVT, sogar in der klassischen Mathematik, die konstruktive Version ist, die die lokal Nichtnullbedingung, mit dem vollen IVT im Anschluss an durch die "reine Logik" später einschließt.

Einige Logiker, während sie akzeptieren, dass klassische Mathematik richtig ist, glauben noch, dass die konstruktive Annäherung eine bessere Scharfsinnigkeit in die wahre Bedeutung von Lehrsätzen auf viel diese Weise gibt.

Der am wenigsten obere bestimmte Grundsatz und die Kompaktsätze

Ein anderer Unterschied zwischen der klassischen und konstruktiven Analyse ist, dass konstruktive Analyse den am wenigsten oberen bestimmten Grundsatz nicht akzeptiert, dass jede Teilmenge der echten Linie R einen am wenigsten oberen gebunden (oder Supremum), vielleicht unendlich hat.

Jedoch, als mit dem Zwischenwertlehrsatz, überlebt eine alternative Version; in der konstruktiven Analyse hat jede gelegene Teilmenge der echten Linie ein Supremum.

(Hier wird eine Teilmenge S R wenn, wann auch immer x gelegen).

Uncountability der reellen Zahlen

Eine konstruktive Version "des berühmten Lehrsatzes des Kantoren, dass die reellen Zahlen unzählbar sind", ist: "Lassen Sie eine Folge von reellen Zahlen sein. Lassen Sie x und y reelle Zahlen, x sein. Dann dort besteht eine reelle Zahl x mit x  x  y und x  (n  Z)... Der Beweis ist im Wesentlichen 'der diagonale' Beweis des Kantoren." (Lehrsatz 1 im Errett Bischof, den Fundamenten der Konstruktiven Analyse, 1967, Seite 25.)

Siehe auch

• Berechenbare Analyse
• Indecomposability
• "Echte Analyse: Eine Konstruktive Annäherung" (Mark Bridger, Wiley Interscience 2007)