Das Lemma von Burnside, manchmal auch genannt den zählenden Lehrsatz von Burnside, das Cauchy-Frobenius Lemma oder den Bahn aufzählenden Lehrsatz, ist ein Ergebnis in der Gruppentheorie, die häufig darin nützlich ist, die Symmetrie in Betracht zu ziehen, wenn sie mathematische Gegenstände aufzählt. Seine verschiedenen eponyms schließen William Burnside, George Pólya, Augustin Louis Cauchy und Ferdinand Georg Frobenius ein. Das Ergebnis ist nicht wegen Burnsides selbst, der es bloß in seinem Buch 'Auf der Theorie von Gruppen der Begrenzten Ordnung' ansetzt, es stattdessen dem zuschreibend.

Im folgenden, lassen Sie G eine begrenzte Gruppe sein, die einem Satz X folgt. Weil jeder g in G X gelassen hat, zeigen den Satz von Elementen in X an, die durch g befestigt werden. Das Lemma von Burnside behauptet die folgende Formel für die Zahl von Bahnen, hat |X/G angezeigt:

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So ist die Zahl von Bahnen (eine natürliche Zahl oder + ) der durchschnittlichen Zahl von Punkten gleich, die durch ein Element von G befestigt sind (der auch eine natürliche Zahl oder Unendlichkeit ist). Wenn G unendlich ist, kann die Abteilung durch |G nicht bestimmt sein; in diesem Fall hält die folgende Behauptung in der grundsätzlichen Arithmetik:

:

Beispiel-Anwendung

Die Zahl Rotations-verschiedenen colourings der Gesichter eines Würfels mit drei Farben kann von dieser Formel wie folgt bestimmt werden.

Lassen Sie X der Satz von 3 möglichen Gesichtsfarbenkombinationen sein, die auf einen Würfel in einer besonderer Orientierung angewandt werden können, und die Folge-Gruppe G vom Würfel lassen, folgen X auf die natürliche Weise. Dann gehören zwei Elemente X derselben Bahn genau, wenn man einfach eine Folge vom anderen ist. Die Zahl Rotations-verschiedenen colourings ist so dasselbe als die Zahl von Bahnen und kann durch das Zählen der Größen der festen Sätze für die 24 Elemente von G gefunden werden.

• ein Identitätselement, das alle 3 Elemente von X unveränderten verlässt
• sechs 90-Grade-Gesichtsfolgen, von denen jede 3 der Elemente von X unveränderten verlässt
• drei 180-Grade-Gesichtsfolgen, von denen jede 3 der Elemente von X unveränderten verlässt
• acht 120-Grade-Scheitelpunkt-Folgen, von denen jede 3 der Elemente von X unveränderten verlässt
• sechs 180-Grade-Rand-Folgen, von denen jede 3 der Elemente von X unveränderten verlässt

Eine ausführliche Überprüfung dieser automorphisms kann gefunden werden

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Die durchschnittliche Größe der üblen Lage ist so

:

Folglich gibt es 57 Rotations-verschiedene colourings der Gesichter eines Würfels in drei Farben. Im Allgemeinen wird die Zahl Rotations-verschiedenen colorings der Gesichter eines Würfels in N-Farben durch gegeben

:

Beweis

Der Beweis verwendet den Lehrsatz des Bahn-Ausgleichers und die Tatsache, die X die zusammenhanglose Vereinigung der Bahnen ist:

\sum_ {g \in G} |X^g | &= | \{(g, x) \in G\times X \mid g\cdot x = x\} | = \sum_ {x \in X} |G_x | = \sum_ {x \in X} \frac \\

&= |G | \sum_ {x \in X }\\frac {1} = |G |\sum_ {A\in X/G }\\sum_ {x\in} \frac {1} = |G | \sum_ {A\in X/G} 1 \\

&= |G | \cdot |X/G |.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Geschichte: Das Lemma, das nicht Burnside ist

William Burnside hat festgesetzt und hat dieses Lemma bewiesen, es in seinem 1897-Buch auf begrenzten Gruppen zuschreibend. Aber sogar vor Frobenius war die Formel Cauchy 1845 bekannt. Tatsächlich war das Lemma anscheinend so weithin bekannt, dass Burnside einfach versäumt hat, es Cauchy zuzuschreiben. Folglich wird dieses Lemma manchmal das Lemma genannt, das nicht Burnside ist. Das ist weniger zweideutig, als es scheinen kann: Burnside hat viele Lemmata zu diesem Feld beigetragen.

Siehe auch

• Enumerationslehrsatz von Pólya

Referenzen

• . (Das ist die Erstausgabe; die Einführung in die zweite Ausgabe enthält das berühmte Volte-Gesicht von Burnside bezüglich des Dienstprogrammes der Darstellungstheorie.)

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