In der Mathematik ist ein simplicial Komplex ein topologischer Raum einer bestimmten Art, die "das Kleben zusammen" von Punkten, Liniensegmenten, Dreiecken und ihren n-dimensional Kollegen gebaut ist (sieh Illustration). Komplexe von Simplicial sollten mit dem abstrakteren Begriff eines Simplicial-Satzes nicht verwirrt sein, der in modernem simplicial homotopy Theorie erscheint.

Definitionen

Ein simplicial Komplex ist eine Reihe von simplices, der die folgenden Bedingungen befriedigt:

:1. Jedes Gesicht eines Simplexes davon ist auch darin.

:2. Die Kreuzung irgendwelcher zwei simplices ist ein Gesicht von beiden und.

Bemerken Sie, dass der leere Satz ein Gesicht jedes Simplexes ist. Siehe auch die Definition eines Auszugs simplicial Komplex, welches lose Sprechen ein simplicial Komplex ohne eine verbundene Geometrie ist.

Ein simplicial - Komplex ist ein simplicial Komplex, wo die größte Dimension jedes Simplexes darin k gleichkommt. Zum Beispiel muss ein simplicial 2-Komplexe-mindestens ein Dreieck enthalten, und muss keinen tetrahedra oder höhere Dimension simplices enthalten.

Ein reiner oder homogener simplicial K-Komplex ist ein simplicial Komplex, wo jedes Simplex der Dimension weniger als k ein Gesicht von einem Simplex der Dimension genau k ist. Informell "schaut" ein reiner 1 Komplex wie es wird aus einem Bündel von Linien, 2-Komplexe-"Blicke" wie gemacht es wird aus einem Bündel von Dreiecken usw. gemacht. Ein Beispiel eines nichthomogenen Komplexes ist ein Dreieck mit einem einem seiner Scheitelpunkte beigefügten Liniensegment.

Eine Seite ist jedes Simplex in einem Komplex, der nicht ein Gesicht jedes größeren Simplexes ist. (Bemerken Sie den Unterschied zu einem "Gesicht" eines Simplexes). Von einem reinen simplicial Komplex kann als ein Komplex gedacht werden, wo alle Seiten dieselbe Dimension haben.

Manchmal wird der Begriff Gesicht gebraucht, um sich auf ein Simplex eines Komplexes zu beziehen, mit einem Gesicht eines Simplexes nicht verwirrt zu sein.

Für einen simplicial in einem k-dimensional Raum eingebetteten Komplex werden die K-Gesichter manchmal seine Zellen genannt. Der Begriff Zelle wird manchmal in einem breiteren Sinn gebraucht, einen Satz homeomorphic zu einem Simplex anzuzeigen, zur Definition des Zellkomplexes führend.

Der zu Grunde liegende Raum, manchmal genannt das Transportunternehmen eines simplicial Komplexes ist die Vereinigung seines simplices.

Verschluss, Stern und Verbindung

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Lassen Sie K ein simplicial Komplex sein und S eine Sammlung von simplices in K sein zu lassen.

Der Verschluss von S (angezeigte Kl. S) ist der kleinste simplicial Subkomplex von K, der enthält

jedes Simplex in S. Kl. S wird durch das wiederholte Hinzufügen zu S jedes Gesichtes jedes Simplexes in S erhalten.

Der Stern von S (hat St. S angezeigt), ist der Satz des ganzen simplices in K, die irgendwelche Gesichter in S. haben (Bemerken Sie, dass der Stern allgemein nicht ein simplicial Komplex selbst ist).

Die Verbindung von S (hat Lk S angezeigt), kommt der Cl St S - St.-Kl. S gleich.

Es ist der geschlossene Stern von S minus die Sterne aller Gesichter von S.

Algebraische Topologie

In der algebraischen Topologie simplicial Komplexe sind häufig für konkrete Berechnungen nützlich. Für die Definition von Homologie-Gruppen eines simplicial Komplexes kann man den entsprechenden Kettenkomplex direkt lesen, vorausgesetzt, dass konsequente Orientierungen aus dem ganzen simplices gemacht werden. Die Voraussetzungen der homotopy Theorie führen zum Gebrauch von allgemeineren Räumen, den CW Komplexen. Unendliche Komplexe sind ein technisches in der algebraischen Topologie grundlegendes Werkzeug. Siehe auch die Diskussion an polytope von simplicial Komplexen als Subräume des Euklidischen Raums, der aus Teilmengen zusammengesetzt ist, von denen jede ein Simplex ist. Dieses etwas konkretere Konzept wird dort Alexandrov zugeschrieben. Jeder begrenzte simplicial Komplex im Sinn, der über hier geredet ist, kann als ein polytope in diesem Sinn in einer Vielzahl von Dimensionen eingebettet werden. In der algebraischen Topologie wird ein topologischer Kompaktraum, der homeomorphic zu die geometrische Verwirklichung eines begrenzten simplicial Komplexes ist, gewöhnlich ein Polyeder genannt (sieh,).

Combinatorics

Combinatorialists studieren häufig den F-Vektoren eines simplicial D-Komplexes, der die integrierte Folge ist, wo die Zahl - dimensionale Gesichter dessen ist (durch die Tagung, wenn der leere Komplex nicht ist). Zum Beispiel, wenn die Grenze des Oktaeders ist, dann ist sein F-Vektor (1, 6, 12, 8), und wenn der erste simplicial Komplex ist, der oben geschildert ist, ist sein F-Vektor (1, 18, 23, 8, 1). Eine ganze Charakterisierung der möglichen F-Vektoren von simplicial Komplexen wird durch den Kruskal-Katona Lehrsatz gegeben.

Indem

wir den F-Vektoren eines simplicial D-Komplexes als Koeffizienten eines Polynoms (geschrieben in der abnehmenden Ordnung von Hochzahlen) verwenden, erhalten wir das F-Polynom dessen. In unseren zwei Beispielen oben würden die F-Polynome sein und beziehungsweise.

Combinatorists interessieren sich häufig ganz für den H-Vektoren eines simplicial Komplexes, der die Folge von Koeffizienten des Polynoms ist, das sich aus dem Einstecken ins F-Polynom dessen ergibt. Formell, wenn wir schreiben, um das F-Polynom dessen zu bedeuten, dann ist das H-Polynom dessen

:

und der H-Vektor dessen ist. Wir berechnen den H-Vektoren der Oktaeder-Grenze (unser erstes Beispiel) wie folgt:

:

So ist der H-Vektor der Grenze des Oktaeders (1,3,3,1). Es ist nicht ein Unfall dieser H-Vektor ist symmetrisch. Tatsächlich geschieht das, wann auch immer die Grenze eines simplicial polytope ist (das sind die Gleichungen von Dehn-Sommerville). Im Allgemeinen, jedoch, ist der H-Vektor eines simplicial Komplexes nicht sogar notwendigerweise positiv. Zum Beispiel, wenn wir nehmen, um der 2-Komplexe-zu sein, der durch zwei Dreiecke gegeben ist, die sich nur an einem allgemeinen Scheitelpunkt schneiden, ist der resultierende H-Vektor (1,3,-2).

Eine ganze Charakterisierung des ganzen simplicial polytope H-Vektoren wird durch den berühmten G-Lehrsatz von Stanley, Billera und Lee gegeben.

Siehe auch

• Unterteilung von Barycentric
• Kausale dynamische Triangulation
• Polygonale Kette — 1 dimensionaler simplicial Komplex

Links