In der Mathematik werden bestimmte Arten des falschen Beweises häufig ausgestellt, und manchmal als Illustrationen eines Konzepts des mathematischen Scheinbeweises gesammelt. Es gibt eine Unterscheidung zwischen einem einfachen Fehler und einem mathematischen Scheinbeweis in einem Beweis: Ein Fehler in einem Beweis führt zu einem ungültigen Beweis gerade ebenso, aber in den am besten bekannten Beispielen von mathematischen Scheinbeweisen, es gibt ein Verbergen in der Präsentation des Beweises. Zum Beispiel kann der Grund, dem Gültigkeit fehlt, eine Abteilung durch die Null sein, die durch das algebraische System verborgen wird. Es gibt eine bemerkenswerte Qualität des mathematischen Scheinbeweises: Wie normalerweise präsentiert, führt es nicht nur zu einem absurden Ergebnis, aber tut so auf eine schlaue oder kluge Weise. Deshalb nehmen diese Scheinbeweise, aus pädagogischen Gründen, gewöhnlich die Form von unechten Beweisen von offensichtlichen Widersprüchen an. Obwohl die Beweise, die Fehler gewöhnlich durch das Design rissig gemacht werden, verhältnismäßig fein, oder entworfen sind, um zu zeigen, dass bestimmte Schritte bedingt sind, und in den Fällen nicht angewandt werden sollten, die die Ausnahmen zu den Regeln sind.

Die traditionelle Weise, einen mathematischen Scheinbeweis zu präsentieren, soll einen ungültigen Schritt des Abzugs geben, der in mit gültigen Schritten gemischt ist, so dass die Bedeutung des Scheinbeweises hier vom logischen Scheinbeweis ein bisschen verschieden ist. Der Letztere wendet sich normalerweise für eine Form des Arguments, das nicht eine echte Regel der Logik ist, wo der problematische mathematische Schritt normalerweise eine richtige mit einer stillschweigenden falschen Annahme angewandte Regel ist. Außer der Unterrichtsmethode kann die Entschlossenheit eines Scheinbeweises zu tieferen Einblicken in ein Thema (wie die Einführung des Axioms von Pasch der Euklidischen Geometrie) führen. Pseudaria, ein altes verlorenes Buch von falschen Beweisen, wird Euklid zugeschrieben.

Mathematische Scheinbeweise bestehen in vielen Zweigen der Mathematik. In der elementaren Algebra können typische Beispiele einen Schritt einschließen, wo die Abteilung durch die Null durchgeführt wird, wo eine Wurzel falsch herausgezogen wird oder mehr allgemein, wo verschiedene Werte einer vielfachen geschätzten Funktion ausgeglichen werden. Wohl bekannte Scheinbeweise bestehen auch in der elementaren Euklidischen Geometrie und Rechnung.

Schnitzer

Ein richtiges durch einen falschen Gedankenfaden erhaltenes Ergebnis ist ein Beispiel eines mathematischen Arguments, das wahr, aber ungültig ist. Das, ist zum Beispiel, in der Berechnung der Fall

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Obwohl der Beschluss 16/64 = 1/4 richtig ist, gibt es eine trügerische ungültige Annullierung im mittleren Schritt. Gefälschte Beweise, die gebaut sind, um ein richtiges Ergebnis trotz der falschen Logik zu erzeugen, sind als Schnitzer von Maxwell bekannt.

Abteilung durch die Null

Der Scheinbeweis der Abteilung durch die Null hat viele Varianten.

Alle Zahlen gleich alle anderen Zahlen

Das folgende Beispiel verwendet Abteilung durch die Null, um "zu beweisen", dass 2 = 1, aber modifiziert werden kann, um zu beweisen, dass jede Zahl jeder anderen Zahl gleichkommt.

1. Lassen Sie a und b gleiche Nichtnullmengen sein

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2. Multiplizieren Sie durch durch einen

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3. Ziehen Sie ab

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4. Faktor beide Seiten

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5. Teilen Sie aus

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6. Das Beobachten davon

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7. Verbinden Sie sich wie Begriffe links

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8. Teilen Sie sich durch die Nichtnull b

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Q.E.D.

Der Scheinbeweis ist 5 im Einklang: Der Fortschritt von der Linie 4, um sich 5 aufzustellen, schließt Abteilung durch einen  b ein, der Null seit einem Gleichkommen b ist. Da die Abteilung durch die Null unbestimmt ist, ist das Argument ungültig. Das Abstammen dass die einzige mögliche Lösung für Linien 5, 6, und 7, nämlich dass = b = 0 dieser Fehler wieder in der Linie 7 offensichtlich ist, wo man sich durch b (0) teilen muss, um den Scheinbeweis zu erzeugen (um nicht zu erwähnen, dass die einzige mögliche Lösung die ursprüngliche Proposition bestreitet, dass a und b Nichtnull sind). Ein ähnlicher ungültiger Beweis würde sagen sollen, dass seit 2 × 0 = 1 × 0 (der wahr ist) man sich durch die Null teilen kann, um 2 = 1 vorzuherrschen. Eine offensichtliche Modifizierung "beweist", dass irgendwelche zwei reellen Zahlen gleich sind.

Viele Varianten dieses Scheinbeweises bestehen. Zum Beispiel ist es möglich zu versuchen, den Beweis dadurch "zu reparieren" angenommen, dass a und b einen bestimmten Nichtnullwert zunächst zum Beispiel am Anfang haben, kann man annehmen, dass a und b beide einem gleich sind:

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Jedoch, wie bereits bemerkt, ist der Schritt in der Linie 5, wenn die Gleichung durch einen  b geteilt wird, noch Abteilung durch die Null. Da die Abteilung durch die Null unbestimmt ist, ist das Argument ungültig.

Mehrgeschätzte Funktionen

Viele Funktionen haben kein einzigartiges Gegenteil. Zum Beispiel das Quadrieren einer Zahl gibt einen einzigartigen Wert, aber es gibt zwei mögliche Quadratwurzeln einer positiven Zahl. Die Quadratwurzel wird mehrgeschätzt. Ein Wert kann durch die Tagung als der Hauptwert im Fall von der Quadratwurzel gewählt werden der nichtnegative Wert ist der Hauptwert, aber es gibt keine Garantie, dass die Quadratwurzel-Funktion, die durch diesen Hauptwert des Quadrats einer Zahl gegeben ist, der ursprünglichen Zahl gleich sein wird, z.B ist die Quadratwurzel des Quadrats 2 2.

Rechnung

Die Rechnung als die mathematische Studie der unendlich kleinen Änderung und Grenzen kann zu mathematischen Scheinbeweisen führen, wenn die Eigenschaften von Integralen und Differenzialen ignoriert werden.

Unendliche Reihe

Als im Fall von surrealen und aleph Zahlen können mathematische Situationen, die Manipulation der unendlichen Reihe einschließen, zu logischen Widersprüchen führen, wenn Sorge nicht genommen wird, um sich an die Eigenschaften solcher Reihe zu erinnern.

Macht und Wurzel

Das Scheinbeweis-Beteiligen, die Regeln der elementaren Arithmetik durch eine falsche Manipulation des Radikalen ignorierend. Für komplexe Zahlen hat der Misserfolg der Macht und Logarithmus-Identität zu vielen Scheinbeweisen geführt.

Positive und negative Wurzeln

Ungültige Beweise, die Mächte und Wurzeln verwerten, sind häufig der folgenden Art:

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Der Scheinbeweis ist, dass die Regel nur allgemein gültig ist, wenn mindestens eine der zwei Nummern x oder y positiv sind, der nicht der Fall hier ist.

Obwohl der Scheinbeweis hier leicht entdeckt wird, manchmal wird er effektiver in der Notation verborgen. Denken Sie zum Beispiel die Gleichung

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der demzufolge des Pythagoreischen Lehrsatzes hält. Dann, durch die Einnahme einer Quadratwurzel,

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so dass

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Aber das bewertend, wenn x = π einbezieht

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oder

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der absurd ist.

Der Fehler in jedem dieser Beispiele liegt im Wesentlichen in der Tatsache dass jede Gleichung der Form

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hat zwei Lösungen, hat einen  0, zur Verfügung gestellt

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und es ist notwendig zu überprüfen, welche von diesen Lösungen für das Problem in der Nähe wichtig ist. Im obengenannten Scheinbeweis ist die Quadratwurzel, die der zweiten Gleichung erlaubt hat, von Anfang an abgeleitet zu werden, nur wenn gültig, weil x positiv ist. Insbesondere wenn x auf π gesetzt wird, wird die zweite Gleichung Invalide gemacht.

Ein anderes Beispiel dieser Art des Scheinbeweises, wo der Fehler sofort feststellbar ist, ist der folgende ungültige Beweis das −2 = 2. Wenn es x = −2, und dann lässt, gibt Quadrieren

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woraufhin Einnahme einer Quadratwurzel einbezieht

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so dass x = −2 = 2, der absurd ist. Klar, als die Quadratwurzel herausgezogen wurde, war es die negative Wurzel −2, aber nicht die positive Wurzel, die für die besondere Lösung im Problem wichtig war.

Wechselweise werden imaginäre Wurzeln im folgenden verfinstert:

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Der Fehler hier liegt in der letzten Gleichheit, wo wir die anderen vierten Wurzeln 1 ignorieren, die 1, ich und i sind (wo ich die imaginäre Einheit bin). Das Sehen, weil wir unsere Zahl quadratisch gemacht und dann Wurzeln genommen haben, können wir nicht immer annehmen, dass alle Wurzeln richtig sein werden. So das richtige Viertel sind ich und i, die die imaginären Zahlen sind, die definiert sind, um zu sein.

Komplizierte Hochzahlen

Wenn eine Anzahl zu einer komplizierten Macht gesteigert wird, wird das Ergebnis nicht einzigartig definiert (sieh Misserfolg der Macht und Logarithmus-Identität). Wenn dieses Eigentum nicht anerkannt wird, dann können Fehler wie der folgende resultieren:

:

\begin {richten }\aus

e^ {2 \pi i} &= 1 \\

(e^ {2 \pi i}) ^ {ich} &= 1^ {ich} \\

e^ {-2 \pi} &= 1 \\

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Der Fehler hier besteht darin, dass die Regel von multiplizierenden Hochzahlen als, wenn sie zur dritten Linie geht, unmodifiziert mit komplizierten Hochzahlen nicht gilt, selbst wenn, wenn man beide Seiten zur Macht bringt, nur der Grundsatz-Wert gewählt wird. Wenn behandelt, als mehrgeschätzte Funktionen erzeugen beide Seiten denselben Satz von Werten, seiend.

Geometrie

Viele mathematische auf der Geometrie gestützte Scheinbeweise kommen daraus, eine geometrisch unmögliche Situation anzunehmen. Häufig ist der Scheinbeweis leicht, durch einfache Vergegenwärtigungen auszustellen.

Scheinbeweis des gleichschenkligen Dreiecks

Der Scheinbeweis des gleichschenkligen Dreiecks, davon, gibt vor zu zeigen, dass jedes Dreieck gleichschenklig ist, bedeutend, dass zwei Seiten des Dreiecks kongruent sind. Dieser Scheinbeweis ist Lewis Carroll zugeschrieben worden.

In Anbetracht eines Dreiecks ABC, beweisen Sie dass AB = AC:

1. Ziehen Sie eine Linie, die A halbiert
2. Nennen Sie den Mittelpunkt des Liniensegmentes v. Chr., D
3. Ziehen Sie die rechtwinklige Halbierungslinie des Segmentes v. Chr., das D enthält
4. Wenn diese zwei Linien, AB = AC parallel sind; sonst schneiden sie sich am Punkt O
5. Ziehen Sie Linie ODER Senkrechte zu AB, Linie OQ Senkrechte zu AC
6. Ziehen Sie Linien OB und OC
7. Durch das automatische Buchungssystem, RAO  QAO (AO = AO; OAQ  OAR seit AO halbiert A; ARO  AQO sind beide richtige Winkel)
8. Durch SAS, ODB  ODC (ODB sind ODC richtige Winkel; OD = OD; BD = CD, weil OD v. Chr. halbiert)
9. Durch HL, ROB  QOC (RO = QO seitdem RAO  QAO; FILIALE = CO seitdem ODB  ODC; ORB und OQC sind richtige Winkel)
10. So, AR  AQ, RB  QC, und AB = AR + RB = AQ + QC = AC

Q.E.D.

Als eine Folgeerscheinung kann man zeigen, dass alle Dreiecke, durch die Vertretung dass AB = v. Chr. und AC = v. Chr. ebenso gleichseitig sind.

Alle außer dem letzten Schritt des Beweises sind tatsächlich richtig (jene drei Paare von Dreiecken sind tatsächlich kongruent). Der Fehler im Beweis ist die Annahme im Diagramm, dass der Punkt O innerhalb des Dreiecks ist. Tatsächlich, wann auch immer AB  AC, O außerhalb des Dreiecks liegt. Außerdem kann es weiter gezeigt werden, dass, wenn AB länger ist als AC, dann wird R innerhalb von AB liegen, während Q außerhalb AC (und umgekehrt) liegen wird. (Jedes mit genug genauen Instrumenten gezogene Diagramm wird die obengenannten zwei Tatsachen nachprüfen.) Wegen dessen ist AB noch AR + RB, aber AC ist wirklich AQ  QC; und so sind die Längen nicht notwendigerweise dasselbe.

Siehe auch

Paradox

• Beweis durch die Einschüchterung
• Liste von trügerischen Beweisen

Referenzen

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Außenverbindungen

• Ungültige Beweise an der Knoten-Kürzung (einschließlich Literaturverweisungen)
• Mehr ungültige Beweise von AhaJokes.com
• Mehr ungültige Beweise auch auf dieser Seite