In der Mathematik ist eine Quintic-Funktion eine Funktion der Form

:

wo a, b, c, d, e und f Mitglieder eines Feldes, normalerweise die rationalen Zahlen sind, sind die reellen Zahlen oder die komplexen Zahlen, und Nichtnull. Mit anderen Worten wird eine Quintic-Funktion durch ein Polynom des Grads fünf definiert.

Das Setzen g (x) = 0 und das Annehmen eines  0 erzeugen eine quintic Gleichung der Form:

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Wenn Null ist, aber einer der anderen Koeffizienten ist Nichtnull, wird die Gleichung entweder als eine quartic Gleichung, kubische Gleichung, quadratische Gleichung oder als geradlinige Gleichung klassifiziert.

Weil sie einen sonderbaren Grad haben, scheinen normale Quintic-Funktionen ähnlich normalen Kubikfunktionen, wenn grafisch dargestellt, außer können ihnen ein zusätzliches lokales maximales und lokales Minimum jeder besitzen. Die Ableitung einer Quintic-Funktion ist eine Quartic-Funktion.

Die Entdeckung von Wurzeln einer quintic Gleichung

Wenn sie

die Wurzeln eines Polynoms finden — sind Werte von x, die solch eine Gleichung — im vernünftigen Fall gegeben seine Koeffizienten befriedigen, ein prominentes mathematisches Problem gewesen.

Das Lösen geradliniger, quadratischer, kubischer und quartic Gleichungen durch factorization in Radikale ist ganz gleich ziemlich aufrichtig, ob die Wurzeln vernünftig oder vernunftwidrig, echt oder kompliziert sind; es gibt auch Formeln, die die erforderlichen Lösungen nachgeben. Jedoch gibt es keine Formel für allgemeine quintic Gleichungen über den rationals in Bezug auf Radikale; das ist als der Lehrsatz von Abel-Ruffini, zuerst veröffentlicht 1824 bekannt, der eine der ersten Anwendungen der Gruppentheorie in der Algebra war. Dieses Ergebnis hält auch für Gleichungen von höheren Graden. Ein Beispiel quintic, dessen Wurzeln von Radikalen nicht ausgedrückt werden können, ist Dieser quintic ist darin Bringen normale Form-Jerrard.

Als eine praktische Sache sind genaue analytische Lösungen für polynomische Gleichungen häufig unnötig, und so sind numerische Methoden wie die Methode von Laguerre oder die Methode von Jenkins-Traub wahrscheinlich die beste Weise, Lösungen allgemeinen quintics und höherer Grad-Polynom-Gleichungen zu erhalten, die in der Praxis entstehen. Jedoch sind analytische Lösungen manchmal für bestimmte Anwendungen nützlich, und viele Mathematiker haben versucht, sie zu entwickeln.

Lösbarer quintics

Einige Gleichungen des fünften Grads können durch das Faktorisieren in Radikale gelöst werden; zum Beispiel, der als geschrieben werden kann, oder, der als Lösung hat. Andere quintics mögen kann von Radikalen nicht gelöst werden. Évariste Galois hat Techniken entwickelt, um zu bestimmen, ob eine gegebene Gleichung von Radikalen gelöst werden konnte, die Gruppentheorie und Theorie von Galois verursacht haben. Diese Techniken anwendend, hat Arthur Cayley ein allgemeines Kriterium gefunden, um zu bestimmen, ob irgendwelcher gegeben quintic lösbar ist. Dieses Kriterium ist das folgende.

In Anbetracht der Gleichung

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die Transformation von Tschirnhaus, die den quintic niederdrückt, gibt die Gleichung

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wo

:

p &= \frac {5ac-2b^2} {5a^2 }\\\

q &= \frac {25a^2d-15abc+4b^3} {25a^3 }\\\

r &= \frac {125a^3e-50a^2bd+15ab^2c-3b^4} {125a^4 }\\\

s &= \frac {3125 a^4f-625a^3 be+125a^2b^2 d-25ab^3 c+4 b^5} {3125a^5}.

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Beide Gleichungen sind durch Radikale lösbar, wenn, und nur wenn entweder sie factorisable in Gleichungen von niedrigeren Graden mit vernünftigen Koeffizienten oder dem Polynom, genannt Wiederlösungsmittel von Cayley sind, eine vernünftige Wurzel in z, wo hat

:

P = z^3-z^2 (20r+3p^2) - z (8p^2r - 16pq^2 - 240r^2 + 400sq - 3p^4)

</Mathematik>

::

{} - p^6 + 28p^4r-16p^3q^2 - 176p^2r^2 - 80p^2sq + 224prq^2 - 64q^4

</Mathematik>::

{} + 4000ps^2 + 320r^3 - 1600rsq

</Mathematik>

und

:</Mathematik>::

{}

-1600qr^3s+144pq^2r^3-900p^3rs^2+2000pr^2s^2-3750pqs^3+825p^2q^2s^2 </Mathematik>::

{}

+2250q^2rs^2+108q^5s-27q^4r^2-630pq^3rs+16p^3q^3s-4p^3q^2r^2 </Mathematik>

1888 hat George Paxton Young beschrieben, wie man eine lösbare quintic Gleichung löst, ohne eine ausführliche Formel zur Verfügung zu stellen; Daniel Lazard schreibt eine dreiseitige Formel (Lazard (2004)) aus.

Während der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts haben John Stuart Glashan, George Paxton Young und Carl Runge gefunden, dass irgendwelche nicht zu vereinfachenden quintic mit vernünftigen Koeffizienten darin Form,-Jerrard bringen

:ist

durch Radikale lösbar, wenn, und nur wenn entweder = 0 oder es von der folgenden Form ist:

:

wo und vernünftig sind. 1994 haben Blair Spearman und Kenneth S. Williams eine Alternative, gegeben

:

Die Beziehung zwischen 1885 und 1994 parameterizations kann durch das Definieren des Ausdrucks gesehen werden

:wo:

und das Verwenden des negativen Falls der Quadratwurzel-Erträge, nach kletternden Variablen, der erste parametrization, während der positive Fall das zweite gibt. Es ist dann ein notwendiger (aber nicht genügend) Bedingung dass der nicht zu vereinfachende lösbare quintic

:

mit vernünftigen Koeffizienten muss die einfache quadratische Kurve befriedigen

:

für einige vernünftig.

Der Ersatz, in Spearman-Williams parameterization erlaubt, den speziellen Fall = 0 nicht auszuschließen, das folgende Ergebnis gebend:

Wenn a und b rationale Zahlen sind, ist die Gleichung durch Radikale lösbar, wenn entweder seine linke Seite ein Produkt von Polynomen des Grads weniger als 5 mit vernünftigen Koeffizienten ist oder dort bestehen Sie zwei rationale Zahlen l und solche M dass

:.

Beispiele von lösbarem quintics

Ein quintic ist lösbare Verwenden-Radikale, wenn die Gruppe von Galois des quintic (der eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe S (5) von Versetzungen eines fünf Element-Satzes ist) eine lösbare Gruppe ist. In diesem Fall hängt die Form der Lösungen von der Struktur dieser Gruppe von Galois ab.

Ein einfaches Beispiel wird durch die Gleichung angeführt, deren Gruppe von Galois die Gruppe F (5) erzeugt durch die Versetzungen" (1 2 3 4 5)" und" (1 2 4 3) ist"; die einzige echte Lösung ist

:

Jedoch, für andere lösbare Gruppen von Galois, kann die Form der Wurzeln viel komplizierter sein. Zum Beispiel hat die Gleichung Gruppe von Galois D (5) erzeugt durch" (1 2 3 4 5)" und" (1 4) (2 3)", und die Lösung verlangt, dass mehr Symbole schreiben., Definieren Sie

:::

wo φ das goldene Verhältnis ist, dann wird durch die einzige echte Lösung, genau gegeben

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Oder gleichwertig,

:

wo die y die vier Wurzeln der quartic Gleichung, sind

:

Im Allgemeinen, wenn eine Gleichung P (x) = 0 des Hauptgrads p mit vernünftigen Koeffizienten in Radikalen lösbar ist, gibt es eine Hilfsgleichung Q (y) = 0 des Grads (p-1) auch mit vernünftigen Koeffizienten, die verwendet werden können, um den ersteren zu lösen.

Jedoch ist es möglich, dass einige der Wurzeln von Q (y) = 0 (wie im F (5) Beispiel vernünftig sind, das oben angeführt ist) oder einige als Null, wie lösbarer DeMoivre quintic,

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wo die Hilfsgleichung zwei Nullwurzeln hat und im Wesentlichen gerade das quadratische, ist

:

solch, dass durch die fünf Wurzeln von DeMoivre quintic, gegeben wird

:

wo ω einige der fünf 5. Wurzeln der Einheit ist. Das kann leicht verallgemeinert werden, um lösbare septische und andere sonderbare Grade, nicht notwendigerweise erst zu bauen.

Hier ist eine Liste bekannten lösbaren quintics:

Es gibt ungeheuer viele lösbare quintics darin Bringen Form-Jerrard, die in der vorhergehenden Abteilung parametrisiert worden sind.

Bis zum Schuppen der Variable gibt es genau fünf lösbare quintics der Gestalt, die sind (wo s ein Skalenfaktor ist):

:::::

Paxton Young (1888) hat mehrere Beispiele, einige von ihnen angeführt, reduzierbar seiend, eine vernünftige Wurzel habend:

Eine unendliche Folge von lösbarem quintics kann gebaut werden, wessen Wurzeln Summen der n-ten Wurzeln der Einheit, mit n = 10 k + 1 sind, eine Primzahl seiend:

Es gibt auch zwei parametrisierte Familien von lösbarem quintics:

Kondo-Brumer quintic,

:

und die Familie abhängig von den Rahmen

:wo

::

Außer Radikalen

Wenn die Gruppe von Galois eines quintic nicht lösbar ist, dann sagt der Lehrsatz von Abel-Ruffini uns, dass, um die Wurzeln zu erhalten, es notwendig ist, die grundlegenden arithmetischen Operationen und die Förderung von Radikalen zu übertreffen. 1835 hat Jerrard demonstriert, dass quintics durch das Verwenden von Ultraradikalen gelöst werden (auch bekannt als Radikalen Bringen Kann), die echten Wurzeln für reelle Zahlen. 1858 hat Charles Hermite gezeigt, dass das radikale Bringen in Bezug auf die Funktionen von Jacobi theta und ihre verbundenen elliptischen Modulfunktionen mit einer Annäherung charakterisiert werden konnte, die der vertrauteren Annäherung ähnlich ist, kubische Gleichungen mittels trigonometrischer Funktionen zu lösen. Um dieselbe Zeit hat Leopold Kronecker, mit der Gruppentheorie eine einfachere Weise entwickelt, das Ergebnis von Hermite abzuleiten, wie Francesco Brioschi hatte. Später hat Felix Klein eine besonders elegante Methode präsentiert, die den symmetries des Ikosaeders, der Theorie von Galois und der elliptischen Modulfunktionen verbindet, die in der Lösung von Hermite zeigen, eine Erklärung dafür gebend, warum sie überhaupt erscheinen sollten, und seine eigene Lösung in Bezug auf verallgemeinerte hypergeometrische Funktionen entwickelt. Ähnliche Phänomene kommen im Grad 7 (septische Gleichungen) und 11, wie studiert, durch Klein vor und haben in der icosahedral Symmetrie besprochen: zusammenhängende Geometrie.

Siehe auch

• Kubikfunktion
• Quartic fungieren
• Gleichung von Sextic
• Septische Funktion
• Gleichungstheorie
• Lösbare Gruppe
• Die Methode des Newtons
• Charles Hermite, "Sur la résolution de l'équation du cinquème degré", Œuvres de Charles Hermite, t.2, Seiten 5-21, Gauthier-Villars, 1908.
• Felix Klein, Vorträge auf dem Ikosaeder und der Lösung von Gleichungen des Fünften Grads, trans. George Gavin Morrice, Trübner & Co., 1888. Internationale Standardbuchnummer 0-486-49528-0.
• Leopold Kronecker, "Sur la résolution de l'equation du cinquième degré, Ex-Charakterzug d'une lettre adressée à M. Hermite", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences," t. XLVI, 1858 (1), Seiten 1150-1152.
• Blair Spearman und Kenneth S. Williams, "Charakterisierung von lösbarem quintics", Amerikaner Mathematisch Monatlich, Vol. 101 (1994), Seiten 986-992.
• Ian Stewart, Theorie von Galois 2. Ausgabe, Hausierer und Saal, 1989. Internationale Standardbuchnummer 0-412-34550-1. Bespricht Theorie von Galois im allgemeinen einschließlich eines Beweises von insolvability des allgemeinen quintic.
• Jörg Bewersdorff, Theorie von Galois für Anfänger: Eine historische Perspektive, amerikanische Mathematische Gesellschaft, 2006. Internationale Standardbuchnummer 0-8218-3817-2. Kapitel 8 (Die Lösung von Gleichungen des fünften Grads) gibt eine Beschreibung der Lösung lösbaren quintics.
• Victor S. Adamchik und David J. Jeffrey, "Polynomische Transformationen von Tschirnhaus, Bring und Jerrard," ACM SIGSAM Meldung, Vol. 37, Nr. 3, September 2003, Seiten 90-94.
• Ehrenfried Walter von Tschirnhaus, "Eine Methode, um alle Zwischenbegriffe von einer gegebenen Gleichung," ACM SIGSAM Meldung, Vol zu entfernen. 37, Nr. 1, März 2003, Seiten 1-3.
• Daniel Lazard, "quintics in Radikalen", in Olav Arnfinn Laudal, Ragni Piene, Dem Vermächtnis von Niels Henrik Abel, Seiten 207-225, Berlin, 2004 lösend. Internationale Standardbuchnummer 3-540-43826-2. verfügbar an http://www.loria.fr/publications/2002/A02-R-449/A02-R-449.ps (gebrochene Verbindung)

Links

• Quintic Gleichung Solver
• Mathworld - Quintic Gleichung - mehr Details auf Methoden, für Quintics zu lösen.
• Das Lösen von Quintic mit Mathematica - Poster auf Lösungen von Quintic
• http://www.archive.org/details/cu31924059413439 - ist das Buch von Klein verfügbarer online-
• Das Lösen Lösbaren Quintics - eine Methode, um lösbar quintics wegen David S. Dummits zu lösen.
• Polynomische Transformationen von Tschirnhaus, Bring und Jerrard - eine neue Aktualisierung von Vortrag von Tschirnhaus von Victor S. Adamchik & David J. Jeffrey
• Eine Methode, um alle Zwischenbegriffe von einer gegebenen Gleichung - eine neue englische Übersetzung von 1683-Papier von Tschirnhaus zu entfernen.