In der Mathematik ist eine Funktion eines Grüns ein Typ der Funktion, die verwendet ist, um inhomogeneous Differenzialgleichungsthema spezifischen anfänglichen Bedingungen oder Grenzbedingungen zu lösen. Laut der Vielkörpertheorie wird der Begriff auch in der Physik, spezifisch in der Quant-Feldtheorie, Elektrodynamik und statistischer Feldtheorie gebraucht, um sich auf verschiedene Typen von Korrelationsfunktionen, sogar diejenigen zu beziehen, die die mathematische Definition nicht passen.

Die Funktionen von Green werden nach dem britischen Mathematiker George Green genannt, der zuerst das Konzept in den 1830er Jahren entwickelt hat. In der modernen Studie von geradlinigen teilweisen Differenzialgleichungen werden die Funktionen von Green größtenteils aus dem Gesichtswinkel von grundsätzlichen Lösungen stattdessen studiert.

Definition und Gebrauch

Eine Funktion eines Grüns, G (x, s), eines geradlinigen Differenzialoperatoren L = L (x) folgend Vertrieb über eine Teilmenge des Euklidischen Raums R, an einem Punkt s, ist jede Lösung von

wo die Delta-Funktion von Dirac ist. Dieses Eigentum einer Funktion eines Grüns kann ausgenutzt werden, um Differenzialgleichungen der Form zu lösen

Wenn der Kern von L nichttrivial ist, dann ist die Funktion von Green nicht einzigartig. Jedoch, in der Praxis, wird eine Kombination der Symmetrie, Grenzbedingungen und/oder anderen äußerlich auferlegten Kriterien eine Funktion eines einzigartigen Greens geben. Außerdem sind die Funktionen von Green im Allgemeinen Vertrieb, nicht notwendigerweise richtige Funktionen.

Die Funktionen des Grüns sind auch ein nützliches Werkzeug im Lösen von Wellengleichungen, Verbreitungsgleichungen, und in der Quant-Mechanik, wo die Funktion des Grüns von Hamiltonian ein Schlüsselkonzept mit wichtigen Verbindungen zum Konzept der Dichte von Staaten ist. Als ein Seitenzeichen wird die Funktion des Grüns, wie verwendet, in der Physik gewöhnlich mit dem entgegengesetzten Zeichen definiert; das, ist

:

Diese Definition ändert keinen der Eigenschaften der Funktion des Grüns bedeutsam.

Wenn der Maschinenbediener Übersetzung invariant ist, ist dieser, wenn L unveränderliche Koeffizienten in Bezug auf x hat, dann kann die Funktion des Grüns genommen werden, um ein Gehirnwindungsmaschinenbediener zu sein, der, ist

:

In diesem Fall ist die Funktion des Grüns dasselbe als die Impuls-Antwort der geradlinigen Zeit-Invariant Systemtheorie.

Motivation

Lose sprechend, wenn solch eine Funktion G für den Maschinenbediener L gefunden werden kann, dann wenn wir die Gleichung (1) für die Funktion des Grüns durch f (s) multiplizieren, und dann eine Integration in der s Variable durchführen, herrschen wir vor;

:

Die rechte Seite wird jetzt durch die Gleichung (2) gegeben, um L u (x), so gleich zu sein:

:

Weil der Maschinenbediener L = L (x) geradlinig ist und der Variable x allein folgt (nicht auf der Variable der Integration s), können wir den Maschinenbediener L außerhalb der Integration auf der rechten Seite nehmen, vorherrschend;

:

Und das deutet an;

So können wir die Funktion u (x) durch Kenntnisse der Funktion des Grüns in der Gleichung (1), und der Quellbegriff auf der rechten Seite in der Gleichung (2) erhalten. Dieser Prozess verlässt sich auf die Linearität des Maschinenbedieners L.

Mit anderen Worten kann die Lösung der Gleichung (2), u (x), durch die Integration bestimmt werden, die in der Gleichung (3) gegeben ist. Obwohl f (x) bekannt ist, kann diese Integration nicht durchgeführt werden, wenn G auch nicht bekannt ist. Das Problem liegt jetzt in der Entdeckung der Funktion des Grüns G, der Gleichung (1) befriedigt. Deshalb wird die Funktion des Grüns auch manchmal die grundsätzliche Lösung genannt, die dem Maschinenbediener L. vereinigt ist

Nicht jeder Maschinenbediener L lässt eine Funktion eines Grüns zu. Von einer Funktion eines Grüns kann auch als ein richtiges Gegenteil von L gedacht werden. Beiseite von den Schwierigkeiten, eine Funktion eines Grüns für einen besonderen Maschinenbediener, das Integral in der Gleichung (3) zu finden, kann ziemlich schwierig sein zu bewerten. Jedoch gibt die Methode ein theoretisch genaues Ergebnis.

Davon kann als eine Vergrößerung von f gemäß einer Delta-Funktionsbasis von Dirac (Projektierung f über δ (x  s)) und eine Überlagerung der Lösung auf jedem Vorsprung gedacht werden. Solch eine Integralgleichung ist als eine Integralgleichung von Fredholm bekannt, deren Studie Theorie von Fredholm einsetzt.

Die Funktionen des Grüns, um inhomogeneous Grenzwertprobleme zu beheben

Der primäre Gebrauch der Funktionen von Green in der Mathematik soll nichthomogene Grenzwertprobleme beheben. In der modernen theoretischen Physik werden die Funktionen von Green auch gewöhnlich als Verbreiter in Diagrammen von Feynman verwendet (und die Ausdruck-Funktion von Green wird häufig für jede Korrelationsfunktion verwendet).

Fachwerk

Lassen Sie L der Sturm-Liouville Maschinenbediener, ein geradliniger Differenzialoperator der Form sein

:

und lassen Sie D der Grenzbedingungsmaschinenbediener sein

:

Du = \begin {Fälle }\

\alpha_1 u' (0) + \beta_1 u (0) \\

\alpha_2 u' (l) + \beta_2 u (l).

\end {Fälle }\

</Mathematik>

Lassen Sie f (x) eine dauernde Funktion in [0, l] sein. Wir werden auch dass das Problem annehmen

:

\begin {richten }\aus

Lu &= f \\

Du &= 0

\end {richten }\aus

</Mathematik>ist

regelmäßig (d. h. nur die triviale Lösung besteht für das homogene Problem).

Lehrsatz

Es gibt eine und nur eine Lösung u (x), die befriedigt

: \begin {richten }\aus

Lu & = f \\

Du & = 0

\end {richten }\aus

</Mathematik>

und es wird durch gegeben

:

wo G (x, s) eine Funktion eines Grüns ist, die die folgenden Bedingungen befriedigt:

1. G (x, s) ist in x und s dauernd
2. Da

Da

1. Abgeleiteter "Sprung":
2. Symmetrie: G (x, s) = G (s, x)

Entdeckung der Funktionen des Grüns

Vergrößerungen von Eigenvalue

Wenn ein Differenzialoperator L eine Reihe von Eigenvektoren zulässt (d. h., eine Reihe von Funktionen und solche Skalare dass), der abgeschlossen ist, dann ist es möglich, eine Funktion eines Grüns von diesen Eigenvektoren und eigenvalues zu bauen.

Abgeschlossen bedeutet, dass der Satz von Funktionen die folgende Vollständigkeitsbeziehung befriedigt:

:

Dann hält der folgende:

:

wo komplizierte Konjugation vertritt.

Die Verwendung des Maschinenbedieners L zu jeder Seite dieser Gleichung läuft auf die Vollständigkeitsbeziehung hinaus, die wahr angenommen wurde.

Die allgemeine Studie der Funktion des Grüns, die in der obengenannten Form und seiner Beziehung zu den durch die Eigenvektoren gebildeten Funktionsräumen geschrieben ist, ist als Theorie von Fredholm bekannt.

Die Funktionen des Grüns für Laplacian

Die Funktionen von Green für geradlinige Differenzialoperatoren, die Laplacian einschließen, können sogleich gestellt werden, um das Verwenden der zweiten von der Identität von Green zu verwenden.

Um den Lehrsatz von Green abzuleiten, beginnen Sie mit dem Abschweifungslehrsatz (sonst bekannt als der Lehrsatz von Gauss):

:

Lassen Sie und vertreten Sie ins Gesetz von Gauss. Schätzen Sie und wenden Sie sich an die Kettenregel wegen des Maschinenbedieners:

:

\nabla\cdot\vec &= \nabla\cdot (\phi\nabla\psi \; - \; \psi\nabla\phi) \\

&= (\nabla\phi) \cdot (\nabla\psi) \; + \; \phi\nabla^2\psi \; - \; (\nabla\phi) \cdot (\nabla\psi) \; - \; \psi\nabla^2\phi \\

&= \phi\nabla^2\psi \; - \; \psi\nabla^2\phi.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Das Einstecken davon in den Abschweifungslehrsatz erzeugt den Lehrsatz von Green:

:

Nehmen Sie an, dass der geradlinige Differenzialoperator L Laplacian ist, und dass es eine Funktion eines Grüns G für Laplacian gibt. Das Definieren-Eigentum der Funktion des Grüns hält noch:

:

Lassen Sie den Lehrsatz des Grüns ein. Dann:

:\begin {richten }\aus

& {} \quad \int_V \left [\phi (x') \delta (x-x')-G (x, x') \nabla^2\phi (x') \right] \d^3x' \\[6pt]

& = \int_S \left [\phi (x') \nabla' G (x, x')-G (x, x') \nabla '\phi (x') \right] \cdot d\hat\sigma'.

\end {richten }\aus</Mathematik>

Mit diesem Ausdruck ist es möglich, die Gleichung von Laplace oder die Gleichung von Poisson, Thema entweder Grenzbedingungen von Neumann oder Dirichlet zu lösen. Mit anderen Worten können wir für überall innerhalb eines Volumens lösen, wo jeder (1) der Wert dessen auf der begrenzenden Oberfläche des Volumens (Grenzbedingungen von Dirichlet), oder (2) angegeben wird, wird die normale Ableitung dessen auf der begrenzenden Oberfläche (Grenzbedingungen von Neumann) angegeben.

Nehmen Sie an, dass das Problem ist, für das Innere das Gebiet zu lösen. Dann der integrierte

:

nimmt zu einfach wegen des Definieren-Eigentums der Delta-Funktion von Dirac ab, und wir haben:

:

Diese Form drückt das wohl bekannte Eigentum von harmonischen Funktionen dass aus, wenn der Wert oder die normale Ableitung auf einer begrenzenden Oberfläche bekannt sind, dann ist der Wert der Funktion innerhalb des Volumens überall bekannt.

In der Elektrostatik, wird als das elektrische Potenzial, als elektrische Anklage-Dichte und die normale Ableitung als der normale Bestandteil des elektrischen Feldes interpretiert.

Wenn das Problem ist, ein Grenzwertproblem von Dirichlet zu beheben, sollte die Funktion des Grüns solch gewählt werden, der verschwindet, wenn entweder x oder x auf der begrenzenden Oberfläche sind. So bleiben nur ein der zwei Begriffe im Oberflächenintegral. Wenn das Problem ist, ein Grenzwertproblem von Neumann zu beheben, wird die Funktion des Grüns solch gewählt, dass seine normale Ableitung auf der begrenzenden Oberfläche verschwindet, weil es würde scheinen, die logischste Wahl zu sein. (Sieh Jackson J.D. klassische Elektrodynamik, Seite 39). Jedoch gibt die Anwendung des Lehrsatzes von Gauss zur Differenzialgleichung, die die Funktion des Grüns definiert, nach

:

die Bedeutung der normalen Ableitung dessen kann auf der Oberfläche nicht verschwinden, weil es zu 1 auf der Oberfläche integrieren muss. (Sieh wieder Jackson J.D. klassische Elektrodynamik, Seite 39 dafür und das folgende Argument).

Die einfachste Form, die die normale Ableitung annehmen kann, ist die einer Konstante nämlich, wo S die Fläche der Oberfläche ist. Der Oberflächenbegriff in der Lösung wird

:

wo der durchschnittliche Wert des Potenzials auf der Oberfläche ist. Diese Zahl ist im Allgemeinen nicht bekannt, aber ist häufig unwichtig, weil die Absicht häufig ist, das elektrische Feld zu erhalten, das durch den Anstieg des Potenzials, aber nicht des Potenzials selbst gegeben ist.

Ohne Grenzbedingungen ist die Funktion des Grüns für Laplacian (Die Funktion des Grüns für die Drei-Variablen-Gleichung von Laplace):

:

Angenommen, dass die begrenzende Oberfläche zur Unendlichkeit ausgeht, und diesen Ausdruck für die Funktion des Grüns einsteckend, gibt das den vertrauten Ausdruck für das elektrische Potenzial in Bezug auf die elektrische Anklage-Dichte (im CGS Einheitssystem) als

:

Beispiel

In Anbetracht des Problems,

: \begin {richten }\aus

Lu & = u + u = f (x) \\

u (0) & = 0, \quad u\left (\dfrac {\\Pi} {2 }\\Recht) = 0,

\end {richten }\aus</Mathematik>

finden Sie die Funktion des Grüns.

Der erste Schritt:

Die Funktion des Grüns für den geradlinigen Maschinenbediener wird in der Nähe als die Lösung von definiert

:

Wenn, dann gibt die Delta-Funktion Null, und die allgemeine Lösung ist

:

Dafür

:

Die Gleichung dessen wird weil wenn ausgelassen

Da die Grenzbedingung daran einbezieht

:

Die Gleichung dessen wird aus ähnlichen Gründen ausgelassen.

Die Ergebnisse so weit zusammenzufassen:

:

g (x, s) = \begin {Fälle }\

c_2 \sin x, & \text {für} x

Der zweite Schritt:

Die folgende Aufgabe ist zu bestimmen und.

Das Sicherstellen der Kontinuität in der Funktion des Grüns daran bezieht ein

:

Man kann auch richtige Diskontinuität in der ersten Ableitung sichern, indem man die definierende Differenzialgleichung von dazu integriert und die Grenze nimmt, als zur Null geht:

:

Die zwei (dis) Kontinuitätsgleichungen können gelöst werden für und zu erhalten

:

So ist die Funktion des Grüns für dieses Problem:

:

g (x, s) = \begin {Fälle }\

- \cos s \sin x, & x

Weitere Beispiele

• Lassen Sie n = 1 und lassen Sie die Teilmenge alle R sein. Lassen Sie L d/dx sein. Dann ist die Schritt-Funktion von Heaviside H (x  x) eine Funktion eines Grüns von L an x.
• Lassen Sie n = 2 und lassen Sie die Teilmenge das mit dem Viertel stufige {(x, y) sein: x, y  0\und L, Laplacian sein. Nehmen Sie außerdem an, dass eine Grenzbedingung von Dirichlet an x = 0 auferlegt wird und eine Grenzbedingung von Neumann an y = 0 auferlegt wird. Dann ist die Funktion des Grüns

::

\begin {richten }\aus

& {} \quad G (x, y, x_0, y_0) \\[6pt]

& = \dfrac {1} {2\pi hat }\\[\ln\sqrt {(x-x_0) ^2 + (y-y_0) ^2}-\ln\sqrt {(x+x_0) ^2 + (y-y_0) ^2 }\\Recht] \\[6pt] verlassen

& {} \quad {} + \dfrac {1} {2\pi hat }\\[\ln\sqrt {(x-x_0) ^2 + (y+y_0) ^2}-\ln\sqrt {(x+x_0) ^2 + (y+y_0) ^2 }\\Recht] verlassen

\end {richten }\aus</Mathematik>

Siehe auch

• Die Funktionen des getrennten Grüns können auf Graphen und Bratrost definiert werden.
• Verbreiter von Feynman
• Die Identität des Grüns
• Impuls-Antwort, das Analogon einer Funktion eines Grüns im Signal, das in einer Prozession geht
• Formalismus von Keldysh

Geisterhafte Theorie

• S. S. Bayin (2006), Mathematische Methoden in Wissenschaft und Technik, Wiley, Kapiteln 18 und 19.
• Eyges, Leonard, Das Klassische Elektromagnetische Feld, die Veröffentlichungen von Dover, New York, 1972. Internationale Standardbuchnummer 0-486-63947-9. (Kapitel 5 enthält eine sehr lesbare Rechnung, die Funktionen von Green zu verwenden, Grenzwertprobleme in der Elektrostatik zu beheben.)
• A. D. Polyanin und V. F. Zaitsev, Handbuch von Genauen Lösungen für Gewöhnliche Differenzialgleichungen (2. Ausgabe), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. Internationale Standardbuchnummer 1-58488-297-2
• A. D. Polyanin, Handbuch von Geradlinigen Teilweisen Differenzialgleichungen für Ingenieure und Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. Internationale Standardbuchnummer 1-58488-299-9
• G. B. Folland, Analyse von Fourier und Seine Anwendungen, Wadsworth und Mathematik-Reihe der Bäche/Kohls.

Links

• Einführung ins Keldysh Nichtgleichgewicht grüne Funktionstechnik durch A. P. Jauho
• Tutorenkurs auf den Funktionen des Grüns
• Grenzelement-Methode (für eine Idee darauf, wie die Funktionen von Green mit der Grenzelement-Methode verwendet werden können, um potenzielle Probleme numerisch zu beheben)
• An Citizendium
• MIT Videovortrag auf der Funktion von Green