In der Physik ist Handlung ein Attribut der Dynamik eines physischen Systems. Es ist ein mathematischer funktioneller, der die Schussbahn, auch genannt Pfad oder Geschichte des Systems als sein Argument nimmt und eine reelle Zahl als sein Ergebnis hat. Allgemein nimmt die Handlung verschiedene Werte für verschiedene Pfade.

Einführung

Physische Gesetze werden oft als Differenzialgleichungen ausgedrückt, die beschreiben, wie sich physische Mengen wie Position und Schwung unaufhörlich mit der Zeit ändern. In Anbetracht der anfänglichen und Grenzbedingungen für die Situation ist die Lösung der Gleichung eine Funktion, die das Verhalten des Systems (Positionen und Schwünge der Partikeln) zu jeder Zeit und alle Positionen innerhalb der Satz-Grenzen beschreibt.

Es gibt eine alternative Annäherung an die Entdeckung von Gleichungen der Bewegung. Klassische Mechanik verlangt, dass der von einem physischen System wirklich gefolgte Pfad dass ist, für den die Handlung minimiert wird, oder strenger stationär ist. Das heißt, befriedigt die Handlung einen abweichenden Grundsatz: Der Grundsatz der stationären Handlung (sieh auch unten). Die Handlung wird durch ein Integral definiert, und die klassischen Gleichungen der Bewegung eines Systems können aus Minderung des Werts der Handlung integriert abgeleitet werden, anstatt Differenzialgleichungen zu lösen.

Dieser einfache Grundsatz gewährt tiefe Einblicke in die Physik, und ist ein wichtiges Konzept in der modernen theoretischen Physik.

Die Gleichwertigkeit dieser zwei Annäherungen wird im Grundsatz von Hamilton enthalten, der feststellt, dass die Differenzialgleichungen der Bewegung für jedes physische System als eine gleichwertige Integralgleichung wiederformuliert werden können. Es gilt nicht nur für die klassische Mechanik einer einzelnen Partikel, sondern auch zu klassischen Feldern wie die elektromagnetischen und Schwerefelder. Der Grundsatz von Hamilton ist auch zur Quant-Mechanik und Quant-Feldtheorie im besonderen Pfad erweitert worden, den integrierte Formulierung vom Konzept Gebrauch macht; wo ein physisches System gleichzeitig allen möglichen Pfaden mit Wahrscheinlichkeitsumfängen für jeden Pfad folgt, der durch die Handlung für den Pfad wird bestimmt.

Geschichte

Handlung wurde in mehreren definiert, jetzt, Wege während der Entwicklung des Konzepts veraltet.

• Gottfried Leibniz, Johann Bernoulli und Pierre Louis Maupertuis haben die Handlung für das Licht als das Integral seiner Geschwindigkeit oder umgekehrter Geschwindigkeit entlang seiner Pfad-Länge definiert.
• Leonhard Euler (und, vielleicht, Leibniz) hat Handlung für eine materielle Partikel als das Integral der Geschwindigkeit der Partikel entlang seinem Pfad durch den Raum definiert.
• Pierre Louis Maupertuis hat mehrere widersprechende und Ad-Hoc-Definitionen der Handlung innerhalb einer einzelnen, definierenden Handlung als potenzielle Energie, als virtuelle kinetische Energie, und als eine Hybride eingeführt, die Bewahrung des Schwungs in Kollisionen gesichert hat.

Mathematische Definition

Ausgedrückt auf der mathematischen Sprache, mit der Rechnung von Schwankungen, entspricht die Evolution eines physischen Systems (d. h., wie das System wirklich von einem Staat bis einen anderen fortschreitet) einem stationären Punkt (gewöhnlich, ein Minimum) von der Handlung.

Mehrere verschiedene Definitionen 'der Handlung' sind in der üblichen Anwendung in der Physik:

• Die Handlung ist gewöhnlich ein Integral mit der Zeit. Aber für die Handlung, die Feldern gehört, kann es über Raumvariablen ebenso integriert werden. In einigen Fällen wird die Handlung entlang dem vom physischen System gefolgten Pfad integriert.
• Die Evolution eines physischen Systems zwischen zwei Staaten wird durch das Verlangen bestimmt, dass die Handlung minimiert wird oder mehr allgemein für kleine Unruhen über die wahre Evolution stationär sein. Diese Voraussetzung führt zu Differenzialgleichungen, die die wahre Evolution beschreiben.
• Umgekehrt ist ein Handlungsgrundsatz eine Methode, um Differenzialgleichungen der Bewegung für ein physisches System als eine gleichwertige Integralgleichung wiederzuformulieren. Obwohl mehrere Varianten (sieh unten) definiert worden sind, ist der meistens verwendete Handlungsgrundsatz der Grundsatz von Hamilton.
• Ein früherer, weniger informativer Handlungsgrundsatz ist der Grundsatz von Maupertuis, der manchmal durch seinen (weniger richtigen) historischen Namen, den Grundsatz von kleinster Handlung genannt wird.

Wenn die Handlung als ein Integral mit der Zeit, genommene entlang dem Pfad des Systems zwischen der anfänglichen Zeit und der letzten Zeit der Entwicklung des Systems, vertreten wird

:

wo der integrand L Lagrangian genannt wird. Für die Handlung, die integriert ist, um gut definiert zu werden, muss die Schussbahn rechtzeitig und Raum begrenzt werden.

Handlung hat die Dimensionen [der Energie] · [Zeit] und seine SI-Einheit sind Joule · zweit.

Handlung in der klassischen Physik (Begriffserklärung)

In der klassischen Physik hat der Begriff "Handlung" mehrere Bedeutungen.

(Funktionelle) Handlung

Meistens wird der Begriff für einen funktionellen gebraucht, der eine Funktion der Zeit und (für Felder) Raum, wie eingegeben, nimmt und einen Skalar zurückgibt. In der klassischen Mechanik ist die Eingangsfunktion die Evolution q (t) des Systems zwischen zweimal t und t, wo q die verallgemeinerten Koordinaten vertreten. Die Handlung wird als das Integral des Lagrangian L für eine Eingangsevolution zwischen den zweimal definiert

:

\mathcal {S} [\mathbf {q} (t)] = \int_ {t_1} ^ {t_2} L [\mathbf {q} (t), \dot {\\mathbf {q}} (t), t] \, dt

</Mathematik>

wo die Endpunkte der Evolution befestigt und als definiert werden und. Gemäß dem Grundsatz von Hamilton ist die wahre Evolution q (t) eine Evolution, für die die Handlung (ein Minimum, Maximum oder ein Sattel-Punkt) stationär ist. Dieser Grundsatz läuft auf die Gleichungen der Bewegung in der Mechanik von Lagrangian hinaus.

Abgekürzte (funktionelle) Handlung

Gewöhnlich angezeigt als ist das auch ein funktioneller. Hier ist die Eingangsfunktion der Pfad, der vom physischen System ohne Rücksicht auf seinen parameterization vor der Zeit gefolgt ist. Zum Beispiel ist der Pfad einer planetarischen Bahn eine Ellipse, und der Pfad einer Partikel in einem gleichförmigen Schwerefeld ist eine Parabel; in beiden Fällen hängt der Pfad nicht ab, wie schnell die Partikel den Pfad überquert. Die abgekürzte Handlung wird als das Integral der verallgemeinerten Schwünge entlang einem Pfad in den verallgemeinerten Koordinaten definiert

:

\mathcal {S} _ {0} = \int \mathbf {p} \cdot d\mathbf {q} = \int p_i \, dq_i

</Mathematik>

Gemäß dem Grundsatz von Maupertuis ist der wahre Pfad ein Pfad, für den die abgekürzte Handlung stationär ist.

Die Hauptfunktion von Hamilton

Die Hauptfunktion von Hamilton wird durch die Gleichungen von Hamilton-Jacobi (HJE), eine andere alternative Formulierung der klassischen Mechanik definiert. Diese Funktion S ist mit dem funktionellen verbunden, indem sie anfänglichen Termin t und Endpunkt q bestimmt wird und den oberen Grenzen t und dem zweiten Endpunkt q erlaubt wird sich zu ändern; diese Variablen sind die Argumente der Funktion S. Mit anderen Worten ist die Handlungsfunktion das unbestimmte Integral von Lagrangian in Bezug auf die Zeit.

Die charakteristische Funktion von Hamilton

Wenn die Gesamtenergie E erhalten wird, kann der HJE mit der zusätzlichen Trennung von Variablen gelöst werden

:

wo die Zeit unabhängige Funktion W (q, q... q) die charakteristische Funktion von Hamilton genannt wird. Die physische Bedeutung dieser Funktion wird durch die Einnahme seiner Gesamtzeitableitung verstanden

:.

Das kann integriert werden, um zu geben

:

der gerade die abgekürzte Handlung ist.

Andere Lösungen von Gleichungen von Hamilton-Jacobi

Die Gleichungen von Hamilton-Jacobi werden häufig durch die zusätzliche Trennbarkeit gelöst; in einigen Fällen werden die individuellen Begriffe der Lösung, z.B, S (q), auch eine "Handlung" genannt.

Handlung einer verallgemeinerten Koordinate

Das ist eine einzelne Variable J in den Handlungswinkel-Koordinaten, die durch die Integrierung eines einzelnen verallgemeinerten Schwungs um einen geschlossenen Pfad im Phase-Raum, entsprechend dem Drehen oder der schwingenden Bewegung definiert sind

:

J_ {k} = \oint p_ {k} dq_ {k }\

</Mathematik>

Die Variable J wird die "Handlung" der verallgemeinerten Koordinate q genannt; die entsprechende kanonische zu J verbundene Variable ist sein "Winkel" w, aus Gründen beschrieben mehr völlig unter Handlungswinkel-Koordinaten. Die Integration ist nur über eine einzelne Variable q und deshalb verschieden vom einheitlichen Punktprodukt in der abgekürzten Handlung, die oben integriert ist. Die J Variable kommt der Änderung in S (q) gleich, weil q um den geschlossenen Pfad geändert wird. Für mehrere physische Systeme von Interesse ist J entweder eine Konstante oder ändert sich sehr langsam; folglich wird die Variable J häufig in Unruhe-Berechnungen und in der Bestimmung adiabatischen invariants verwendet.

Handlung für einen Fluss von Hamiltonian

Sieh tautologische eine Form.

Euler-Lagrange Gleichungen für die integrierte Handlung

Wie bemerkt, oben, die Voraussetzung, dass die Handlung, die integriert ist, unter kleinen Unruhen der Evolution stationär sein, zu einer Reihe von Differenzialgleichungen gleichwertig ist (hat die Euler-Lagrange Gleichungen genannt), der mit der Rechnung von Schwankungen bestimmt werden kann. Wir illustrieren diese Abstammung hier mit nur einer Koordinate, x; die Erweiterung auf vielfache Koordinaten ist aufrichtig.

Den Grundsatz von Hamilton annehmend, nehmen wir an, dass der Lagrangian L (der integrand der Handlung integriert) nur von der Koordinate x (t) und seiner Zeitableitung dx (t)/dt abhängt, und auch ausführlich rechtzeitig abhängen kann. In diesem Fall kann die integrierte Handlung geschrieben werden

:

\mathcal {S} = \int_ {t_1} ^ {t_2 }\\; L (x, \dot {x}, t) \, dt

</Mathematik>

wo die anfänglichen und letzten Zeiten (t und t) und die endgültigen und anfänglichen Positionen im Voraus als angegeben werden und. Lassen Sie x (t) vertreten die wahre Evolution, die wir suchen und lassen, eine ein bisschen gestörte Version davon, obgleich mit denselben Endpunkten zu sein, und. Der Unterschied zwischen diesen zwei Evolutionen, die wir nennen werden, ist zu jeder Zeit unendlich klein klein

:

\varepsilon (t) = x_ {\\mathrm {pro}} (t) - x_ {\\mathrm {wahr}} (t)

</Mathematik>

An den Endpunkten verschwindet der Unterschied, d. h..

Ausgebreitet zur ersten Ordnung ist der Unterschied zwischen den Handlungsintegralen für die zwei Evolutionen

:

\delta \mathcal {S} &= \int_ {t_1} ^ {t_2 }\\;

\left [L (x_ {\\mathrm {wahr}} + \varepsilon, \dot x_ {\\mathrm {wahr}} + \dot\varepsilon, t) - L (x_ {\\mathrm {wahr}}, \dot x_ {\\mathrm {wahr}}, t) \right] dt \\

&= \int_ {t_1} ^ {t_2 }\\;

\left (\varepsilon {\\teilweiser L\over\partial x} +

\dot\varepsilon {\\teilweiser L\over\partial \dot x\\right) \, dt

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Die Integration durch Teile des letzten Begriffes, zusammen mit den Grenzbedingungen, gibt die Gleichung nach

:

\delta \mathcal {S} =

\int_ {t_1} ^ {t_2 }\\;

\left (

\varepsilon {\\teilweiser L\over \partial x\-

\varepsilon {d\over dt} {\\teilweiser L\over\partial \dot x\

\right) \, dt.

</Mathematik>

Die Voraussetzung, die man stationär ist, deutet an, dass die Änderung der ersten Ordnung Null für jede mögliche Unruhe ε (t) über die wahre Evolution, sein muss

Das kann nur wenn wahr

sein

Der Euler-Lagrange Gleichung wird gefolgt hat die funktionelle Ableitung der integrierten Handlung zur Verfügung gestellt ist identisch Null-:

:.

Die Menge wird den genannt

verbundener Schwung für die Koordinate x. Eine wichtige Folge der Euler-Lagrange Gleichungen ist das, wenn L Koordinate x nicht ausführlich enthält, d. h.

: wenn, dann rechtzeitig unveränderlich ist.

In solchen Fällen wird die Koordinate x eine zyklische Koordinate, genannt

und sein verbundener Schwung wird erhalten.

Beispiel: freie Partikel in Polarkoordinaten

Einfache Beispiele helfen, den Gebrauch des Handlungsgrundsatzes über die Euler-Lagrangian Gleichungen zu schätzen. Eine freie Partikel (MassenM und Geschwindigkeit v) im Euklidischen Raum bewegt sich in einer Gerade. Mit den Euler-Lagrange Gleichungen kann das in Polarkoordinaten wie folgt gezeigt werden. Ohne ein Potenzial ist Lagrangian einfach der kinetischen Energie gleich

:

im orthonormalen (x, y) Koordinaten, wo der Punkt Unterscheidung in Bezug auf den Kurve-Parameter (gewöhnlich die Zeit, t) vertritt.

In Polarkoordinaten (r φ) die kinetische Energie und folglich wird Lagrangian

:

L = \frac {1} {2} M \left (\dot {r} ^2 + r^2\dot\varphi^2 \right).

</Mathematik>

Der radiale r und die φ Bestandteile der Euler-Lagrangian Gleichungen, werden beziehungsweise

:

\frac {d} {dt} \left (\frac {\\teilweiser L} {\\teilweiser \dot {r}} \right) - \frac {\\teilweise L\{\\teilweise r\&= 0 \qquad \Rightarrow \qquad \ddot {r} - r\dot {\\varphi} ^2 &= 0 \\

\frac {d} {dt} \left (\frac {\\teilweiser L} {\\teilweiser \dot {\\varphi}} \right) - \frac {\\teilweise L\{\\teilweiser \varphi} &= 0 \qquad \Rightarrow \qquad \ddot {\\varphi} + \frac {2} {r }\\Punkt {r }\\Punkt {\\varphi} &= 0

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Die Lösung dieser zwei Gleichungen wird durch gegeben

:

r\cos\varphi &= ein t + b \\

r\sin\varphi &= c t + d

\end {richten} </Mathematik> {aus}

für eine Reihe von Konstanten a, b, c, d bestimmt durch anfängliche Bedingungen.

So, tatsächlich, ist die Lösung eine in Polarkoordinaten gegebene Gerade.

Der Handlungsgrundsatz

Klassische Felder

Der Handlungsgrundsatz kann erweitert werden, um die Gleichungen der Bewegung für Felder wie das elektromagnetische Feld- oder Schwerefeld zu erhalten.

Die Gleichung von Einstein verwertet die Handlung von Einstein-Hilbert, wie beschränkt, durch einen abweichenden Grundsatz.

Der Pfad eines Körpers in einem Schwerefeld (d. h. freier Fall in der Raumzeit, einem so genannten geodätischen) kann mit dem Handlungsgrundsatz gefunden werden.

Bewahrungsgesetze

Symmetries in einer physischen Situation kann mit dem Handlungsgrundsatz zusammen mit den Euler-Lagrange Gleichungen besser behandelt werden, die aus dem Handlungsgrundsatz abgeleitet werden. Ein Beispiel ist der Lehrsatz von Noether, der feststellt, dass zu jeder dauernden Symmetrie in einer physischen Situation dort ein Bewahrungsgesetz (und umgekehrt) entspricht. Diese tiefe Verbindung verlangt, dass der Handlungsgrundsatz angenommen wird.

Quant-Mechanik und Quant-Feldtheorie

In der Quant-Mechanik folgt das System keinem einzelnen Pfad, dessen Handlung stationär ist, aber das Verhalten des Systems hängt von allen erlaubten Pfaden und dem Wert ihrer Handlung ab. Die Handlung entsprechend den verschiedenen Pfaden wird verwendet, um den integrierten Pfad zu berechnen, der die Wahrscheinlichkeitsumfänge der verschiedenen Ergebnisse gibt.

Obwohl gleichwertig, in der klassischen Mechanik mit Newtonschen Gesetzen wird dem Handlungsgrundsatz für Generalisationen besser angepasst und spielt eine wichtige Rolle in der modernen Physik. Tatsächlich ist dieser Grundsatz eine der großen Generalisationen in der physischen Wissenschaft. Insbesondere es wird völlig geschätzt und am besten innerhalb der Quant-Mechanik verstanden. Der Pfad von Richard Feynman integrierte Formulierung der Quant-Mechanik basiert auf einem Grundsatz der stationären Handlung mit Pfad-Integralen. Die Gleichungen von Maxwell können als Bedingungen der stationären Handlung abgeleitet werden.

Einzelne relativistische Partikel

Wenn relativistische Effekten, die Handlung einer Punkt-Partikel der MassenM das Reisen bedeutend sind, ist eine Weltlinie C parametrisiert durch die richtige Zeit

:.

Wenn statt dessen die Partikel durch die Koordinatenzeit t von der Partikel und den Koordinatenzeitreihen von t bis t parametrisiert wird, dann wird die Handlung

:

wo Lagrangian ist

:.

Moderne Erweiterungen

Der Handlungsgrundsatz kann noch weiter verallgemeinert werden. Zum Beispiel braucht die Handlung kein Integral zu sein, weil nichtlokale Handlungen möglich sind. Der Konfigurationsraum braucht kein funktioneller Raum gegeben bestimmte Eigenschaften wie Nichtersatzgeometrie sogar zu sein. Jedoch muss eine physische Grundlage für diese mathematischen Erweiterungen experimentell geschaffen werden.

Siehe auch

• Rechnung von Schwankungen
• Funktionelle Ableitung
• Funktioneller integrierter
• Mechanik von Hamiltonian
• Lagrangian
• Mechanik von Lagrangian
• Maß (Physik)
• Der Lehrsatz von Noether
• Pfad integrierte Formulierung
• Der unveränderliche von Planck
• Grundsatz von kleinster Handlung
• Quant-Physik
• Wärmegewicht (konnten kleinster Handlungsgrundsatz und der Grundsatz der Maximalen Wahrscheinlichkeit oder des Wärmegewichtes als analog gesehen werden)

Quellen und weiterführende Literatur

Für eine kommentierte Bibliografie, sieh Edwin F. Taylor http://www.eftaylor.com/pub/BibliogLeastAction12.pdf, der, unter anderem, die folgenden Bücher verzeichnet

• Das Handbuch von Cambridge von Physik-Formeln, G. Woan, Universität von Cambridge Presse, 2010, internationale Standardbuchnummer 978-0-521-57507-2.
• Cornelius Lanczos, Die Abweichenden Grundsätze der Mechanik (Veröffentlichungen von Dover, New York, 1986). Internationale Standardbuchnummer 0-486-65067-7. Die Verweisung, die durch alle diejenigen am meisten angesetzt ist, die dieses Feld erforschen.
• L. D. Landau und E. M. Lifshitz, Mechanik, Kurs der Theoretischen Physik (Butterworth-Heinenann, 1976), 3. Hrsg., Vol. 1. Internationale Standardbuchnummer 0-7506-2896-0. Beginnt mit dem Grundsatz von kleinster Handlung.
• Thomas A. Moore "Am-Wenigsten-Handlungsgrundsatz" in der Enzyklopädie von Macmillan der Physik (Simon & Schuster Macmillan, 1996), Band 2, internationale Standardbuchnummer 0-02-897359-3, Seiten 840 - 842.
• Gerald Jay Sussman und Jack Wisdom, Struktur und Interpretation der Klassischen Mechanik (MIT Presse, 2001). Beginnt mit dem Grundsatz von kleinster Handlung, verwendet moderne mathematische Notation, und überprüft die Klarheit und Konsistenz von Verfahren durch die Programmierung von ihnen auf der Computersprache.
• Fordern Sie A. Wells, Lagrangian Dynamik, die Umriss-Reihe von Schaum (McGraw-Hügel, 1967) internationale Standardbuchnummer 0-07-069258-0, Ein umfassender 350-Seite-"Umriss" des Themas heraus.
• Robert Weinstock, Rechnung von Schwankungen, mit Anwendungen auf die Physik und Technik (Veröffentlichungen von Dover, 1974). Internationale Standardbuchnummer 0-486-63069-2. Ein Oldie, aber goodie, mit dem Formalismus sorgfältig definiert vor dem Gebrauch in der Physik und der Technik.
• Wolfgang Yourgrau und Stanley Mandelstam, Abweichende Grundsätze in der Dynamik- und Quant-Theorie (Veröffentlichungen von Dover, 1979). Eine nette Behandlung, die die philosophischen Implikationen der Theorie nicht vermeidet und die Behandlung von Feynman der Quant-Mechanik lobt, die zum Grundsatz von kleinster Handlung in der Grenze der großen Masse abnimmt.
• Die Seite von Edwin F. Taylor

http://www.eftaylor.com/leastaction.html

• Grundsatz von kleinster Handlung interaktiver Ausgezeichneter interaktiver explanation/webpage

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