Die Rechnung von Schwankungen ist ein Feld der Mathematik, oder mehr spezifisch Rechnung, die sich mit Maximierung oder Minderung functionals befasst, die mappings von einer Reihe von Funktionen bis die reellen Zahlen sind. Functionals werden häufig als bestimmte Integrale ausgedrückt, die Funktionen und ihre Ableitungen einschließen. Das Interesse ist in Extremal-Funktionen, die das funktionelle einen maximalen oder minimalen Wert - oder stationäre Funktionen - diejenigen erreichen lassen, wo die Rate der Änderung des funktionellen Null ist.

Vielleicht soll das einfachste Beispiel solch eines Problems die Kurve der kürzesten Länge, oder geodätisch finden, zwei Punkte verbindend. Wenn es keine Einschränkungen gibt, ist die Lösung offensichtlich eine Gerade zwischen den Punkten. Jedoch, wenn die Kurve beschränkt wird, auf einer Oberfläche im Raum zu liegen, dann ist die Lösung weniger offensichtlich, und vielleicht können viele Lösungen bestehen. Solche Lösungen sind als geodesics bekannt. Ein zusammenhängendes Problem wird durch den Grundsatz von Fermat aufgeworfen: Licht folgt dem Pfad der kürzesten optischen Länge, die zwei Punkte verbindet, wo die optische Länge vom Material des Mediums abhängt. Ein entsprechendes Konzept in der Mechanik ist der Grundsatz von kleinster Handlung.

Viele wichtige Probleme schließen Funktionen von mehreren Variablen ein. Lösungen von Grenzwertproblemen für die Gleichung von Laplace befriedigen den Grundsatz von Dirichlet. Das Problem des Plateaus verlangt Entdeckung einer Oberfläche des minimalen Gebiets, das eine gegebene Kontur im Raum abmisst: Die Lösung oder Lösungen können häufig durch das Tauchen eines Leitungsrahmens in einer Lösung des Seife-Schaums gefunden werden. Obwohl solche Experimente relativ leicht sind zu leisten, ist ihre mathematische Interpretation alles andere als einfach: Es kann mehr als eine lokal minimierende Oberfläche geben, und sie können nichttriviale Topologie haben.

Geschichte

Wie man

sagen kann, beginnt die Rechnung von Schwankungen mit dem Brachistochrone-Kurve-Problem, das von Johann Bernoulli (1696) erhoben ist. Es hat sofort die Aufmerksamkeit von Jakob Bernoulli und dem Marquis de l'Hôpital besetzt, aber Leonhard Euler hat zuerst das Thema sorgfältig ausgearbeitet. Seine Beiträge haben 1733, und seine Elementa Rechnungen begonnen, die Variationum der Wissenschaft seinem Namen gegeben hat. Lagrange hat umfassend zur Theorie beigetragen, und Legendre (1786) hat eine Methode, nicht völlig befriedigend, für das Urteilsvermögen von Maxima und Minima aufgestellt. Isaac Newton und Gottfried Leibniz haben auch eine frühe Aufmerksamkeit auf das Thema gelenkt. Zu diesem Urteilsvermögen ist Vincenzo Brunacci (1810), Carl Friedrich Gauss (1829), Siméon Poisson (1831), Michail Ostrogradsky (1834), und Carl Jacobi (1837) unter den Mitwirkenden gewesen. Eine wichtige allgemeine Arbeit ist die von Sarrus (1842), der kondensiert und von Cauchy (1844) verbessert wurde. Andere wertvolle Abhandlungen und Lebenserinnerungen sind von Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858), und Carll (1885) geschrieben worden, aber vielleicht ist die wichtigste Arbeit des Jahrhunderts die von Weierstrass. Sein berühmter Kurs über die Theorie ist Epoche machend, und es kann behauptet werden, dass er erst war, um es auf einem festen und fraglosen Fundament zu legen. Der 20. und die 23. 1900 veröffentlichten Probleme von Hilbert haben weitere Entwicklung gefördert. Im 20. Jahrhundert haben David Hilbert, Emmy Noether, Leonida Tonelli, Henri Lebesgue und Jacques Hadamard unter anderen bedeutende Beiträge geleistet. Morsezeichen von Marston haben Rechnung von Schwankungen darin angewandt, was jetzt Morsezeichen-Theorie genannt wird. Lev Pontryagin, Ralph Rockafellar und Clarke haben neue mathematische Werkzeuge für die optimale Steuerungstheorie, eine Verallgemeinerung der Rechnung von Schwankungen entwickelt.

Schwacher und starker extrema

Wie man

sagt, hat ein funktioneller, der auf einem passenden Raum von Funktionen mit der Norm definiert ist, ein schwaches Minimum an der Funktion, wenn dort einige solch dass, für alle Funktionen damit besteht

:.

Schwache Maxima werden ähnlich mit der Ungleichheit in der letzten umgekehrten Gleichung definiert.

In den meisten Problemen, ist der Raum von R-Zeiten unaufhörlich differentiable Funktionen auf einer Kompaktteilmenge der echten Linie mit N-Ordnungsableitungen, und mit der Norm von gegebenen durch

:

wo Mund voll ein Supremum anzeigt, und wo, die Supremum-Norm (auch genannt Unendlichkeitsnorm) für eine echte, dauernde, begrenzte Funktion f auf einem topologischen Raum, als definiert wird

:.

Die Norm ist gerade die Summe der Supremum-Normen und seiner Ableitungen.

Wie man

sagt, hat ein funktioneller ein starkes Minimum daran, wenn dort einige solch dass, für alle Funktionen damit besteht

Der Unterschied zwischen starkem und schwachem extrema ist, dass, für einen starken extremum, ein lokaler extremum hinsichtlich des Satzes - nahe Funktionen in Bezug auf die Supremum-Norm ist. Im Allgemeinen dieser (Supremum) ist Norm von der Norm verschieden, die V damit ausgestattet gewesen ist. Wenn ein starker extremum für dann ist, ist es auch ein schwacher extremum, aber das gegenteilige kann nicht halten. Entdeckung starken extrema ist schwieriger als Entdeckung schwachen extrema und darin, was folgt, wird es angenommen, dass wir nach schwachem extrema suchen.

Euler-Lagrange Gleichung

Unter idealen Bedingungen können die Maxima und Minima einer gegebenen Funktion durch die Entdeckung der Punkte gelegen werden, wo seine Ableitung verschwindet (d. h., ist der Null gleich). Analog können Lösungen glatter abweichender Probleme durch das Lösen der verbundenen Euler-Lagrange Gleichung erhalten werden.

Denken Sie den funktionellen

:

wo und wo und Konstanten sind.

Die Funktion sollte mindestens eine Ableitung haben, um die Voraussetzungen für die gültige Anwendung der Funktion zu befriedigen; weiter, wenn das funktionelle sein lokales Minimum daran erreicht und eine willkürliche Funktion ist, die mindestens eine Ableitung hat und an den Endpunkten verschwindet, und dann müssen wir haben

:

für jede Zahl ε in der Nähe von 0. Deshalb, mit der ersten Schwankung von A, muss verschwinden

:

\left.\frac {dA [f_0 + \epsilon \eta]} {d\epsilon }\\Recht |_ {\\Epsilon = 0} = \int_ {x_1} ^ {x_2} \left.\frac {dL} {d\epsilon }\\Recht |_ {\\Epsilon = 0} dx = 0

</Mathematik>.

Seitdem ist eine Funktion und,

:

\frac {dL} {d\epsilon} = \frac {\\teilweise L\{\\teilweiser f }\\frac {df} {d\epsilon} + \frac {\\teilweise L\{\\teilweiser f' }\\frac {df'} {d\epsilon }\

</Mathematik>.

Deshalb,

:\begin {richten }\aus

\int_ {x_1} ^ {x_2} \left.\frac {dL} {d\epsilon }\\Recht |_ {\\Epsilon = 0} dx

& = \int_ {x_1} ^ {x_2} \left (\frac {\\teilweiser L} {\\teilweise f\\eta + \frac {\\teilweise L\{\\teilweiser f'} \eta '\right) \, dx \\

& = \int_ {x_1} ^ {x_2} \left (\frac {\\teilweiser L} {\\teilweise f\\eta - \eta \frac {d} {dx }\\frac {\\teilweiser L} {\\teilweiser f'} \right) \, dx + \left.\frac {\\teilweise L\{\\teilweiser f'} \eta \right |_ {x_1} ^ {x_2 }\\\

& = \int_ {x_1} ^ {x_2} \eta \left (\frac {\\teilweiser L} {\\teilweise f\-\frac {d} {dx }\\frac {\\teilweiser L} {\\teilweiser f'} \right) \, dx \\

& = 0,

\end {richten }\aus</Mathematik>

wo wir die Kettenregel in der zweiten Linie und Integration durch Teile im dritten verwendet haben. Der letzte Begriff in der dritten Linie verschwindet, weil am Ende hinweist. Schließlich, gemäß dem grundsätzlichen Lemma der Rechnung von Schwankungen, finden wir, dass das die Euler-Lagrange Gleichung befriedigen wird

:

Im Allgemeinen gibt das einer zweiten Ordnung gewöhnliche Differenzialgleichung, die gelöst werden kann, um den extremal zu erhalten. Die Euler-Lagrange Gleichung ist ein notwendiger, aber nicht genügend, Bedingung für einen extremal. Genügend Bedingungen für einen extremal werden in den Verweisungen besprochen.

Um diesen Prozess zu illustrieren, denken Sie das Problem, die kürzeste Kurve im Flugzeug zu finden, das zwei Punkte verbindet und. Die Kreisbogen-Länge wird durch gegeben

:

mit

:

und wo, und. Lassen Sie jetzt, wo ein minimizer für und in der Nähe von der Null ist. Dann

:

für jede Wahl der Funktion (obwohl für den nächsten Schritt wir das werden verlangen müssen, verschwindet an). Wir können diese Bedingung als das Verschwinden aller Richtungsableitungen im Raum von Differentiable-Funktionen interpretieren, und das wird durch das Verlangen der Ableitung von Fréchet formalisiert, daran zu verschwinden. Wenn wir annehmen, dass das zwei dauernde Ableitungen hat (oder wenn wir schwache Ableitungen denken), dann können wir Integration durch Teile verwenden:

:

mit dem Ersatz

:

dann haben wir

:

aber der erste Begriff ist Null, seitdem gewählt wurde, um an zu verschwinden, und wo die Einschätzung genommen wird. Deshalb,

:

für irgendwelchen zweimal differentiable Funktion, die an den Endpunkten des Zwischenraums verschwindet.

Wir können jetzt das grundsätzliche Lemma der Rechnung von Schwankungen anwenden: Wenn

:

für irgendwelchen genug fungieren differentiable innerhalb der Integrationsreihe, die an den Endpunkten des Zwischenraums dann verschwindet, hieraus folgt dass auf seinem Gebiet identisch Null-ist.

Deshalb,:

Es folgt aus dieser Gleichung das

:

und folglich sind die extremals Geraden.

Identität von Beltrami

In Physik-Problemen entlässt es oft das. In diesem Fall kann die Euler-Lagrange Gleichung mit der Identität von Beltrami vereinfacht werden:

:

http://planetmath.org/encyclopedia/BeltramiIdentity.html

wo eine Konstante ist. Die linke Seite ist die Transformation von Legendre in Bezug darauf.

der Lehrsatz von du Bois Reymond

Die Diskussion hat so weit angenommen, dass Extremal-Funktionen zwei dauernde Ableitungen besitzen, obwohl die Existenz des integrierten A nur die ersten Ableitungen von Probe-Funktionen verlangt. Die Bedingung, dass die erste Schwankung an einem extremal verschwindet, kann als eine schwache Form der Euler-Lagrange Gleichung betrachtet werden. Der Lehrsatz von du Bois Reymond behauptet, dass diese schwache Form die starke Form einbezieht. Wenn L die dauernden ersten und zweiten Ableitungen in Bezug auf alle seine Argumente, und wenn hat

:

dann hat zwei dauernde Ableitungen, und es befriedigt die Euler-Lagrange Gleichung.

Phänomen von Lavrentiev

Hilbert war erst, um gute Bedingungen für die Gleichungen von Euler Lagrange zu geben, um eine stationäre Lösung zu geben. Innerhalb eines konvexen Gebiets und eines positiven dreimal differentiable Lagrangian werden die Lösungen aus einer zählbaren Sammlung von Abteilungen zusammengesetzt, dass entweder entlang der Grenze gehen Sie oder die Gleichungen von Euler Lagrange im Interieur befriedigen Sie.

Jedoch hat Lavrentiev 1926 gezeigt, dass es Verhältnisse gibt, wo es keine optimale Lösung gibt, aber man kann willkürlich nah durch steigende Zahlen von Abteilungen genähert werden. Zum Beispiel der folgende:

::

Hier gibt ein zig zag Pfad eine bessere Lösung, als jeder glatte Pfad und das Steigern der Zahl von Abteilungen die Lösung verbessern.

Funktionen von mehreren Variablen

Abweichende Probleme, die vielfache Integrale einschließen, entstehen in zahlreichen Anwendungen. Zum Beispiel, wenn φ (x, y) die Versetzung einer Membran über dem Gebiet D im x, y Flugzeug anzeigt, dann ist seine potenzielle Energie zu seiner Fläche proportional:

:

Das Problem des Plateaus besteht daraus, eine Funktion zu finden, die die Fläche minimiert, während das Annehmen Werte an der Grenze von D vorgeschrieben hat; die Lösungen werden minimale Oberflächen genannt. Die Euler-Lagrange Gleichung für dieses Problem ist nichtlinear:

:

Sieh Courant (1950) für Details.

Der Grundsatz von Dirichlet

Es ist häufig genügend, nur kleine Versetzungen der Membran zu denken, deren Energieunterschied zu keiner Versetzung durch näher gekommen wird

:

Das funktionelle V soll unter allen Probe-Funktionen φ minimiert werden, die vorgeschriebene Werte an der Grenze von D annehmen. Wenn u die Minderungsfunktion ist und v eine willkürliche glatte Funktion ist, die an der Grenze von D verschwindet, dann muss die erste Schwankung dessen verschwinden:

:

Vorausgesetzt, dass u zwei Ableitungen hat, können wir den Abschweifungslehrsatz anwenden, um zu erhalten

:

\iint_D \nabla u \cdot \nabla v + v \nabla \cdot \nabla u \, dx \, dy = \iint_C v \frac {\\Teil u} {\\Teil n} ds, \, </Mathematik>

wo C die Grenze von D ist, ist s arclength entlang C und ist die normale Ableitung von u auf C. Da v auf C verschwindet und die erste Schwankung verschwindet, ist das Ergebnis

:

für alle glatten Funktionen v, die an der Grenze von D verschwinden. Der Beweis für den Fall dimensionaler Integrale kann an diesen Fall angepasst werden, um dem zu zeigen

: in D.

Die Schwierigkeit mit diesem Denken ist die Annahme, dass die Minderungsfunktion u zwei Ableitungen haben muss. Riemann hat behauptet, dass die Existenz einer glatten Minderungsfunktion durch die Verbindung mit dem physischen Problem gesichert wurde: Membranen nehmen wirklich tatsächlich Konfigurationen mit der minimalen potenziellen Energie an. Riemann hat diese Idee den Grundsatz von Dirichlet zu Ehren von seinem Lehrer Dirichlet genannt. Jedoch hat Weierstrass ein Beispiel eines abweichenden Problems ohne Lösung angeführt: Minimieren Sie

:

unter allen Funktionen φ, die befriedigen und

W kann willkürlich klein durch die Auswahl piecewise geradliniger Funktionen das gemacht werden

machen Sie einen Übergang zwischen-1 und 1 in einer kleinen Nachbarschaft des Ursprungs. Jedoch gibt es keine Funktion, die W=0 macht. Die resultierende Meinungsverschiedenheit über die Gültigkeit des Grundsatzes von Dirichlet wird in erklärt

http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Riemann.html.

Schließlich wurde es gezeigt, dass der Grundsatz von Dirichlet gültig ist, aber er verlangt eine hoch entwickelte Anwendung der Regelmäßigkeitstheorie für elliptische teilweise Differenzialgleichungen; sieh Jost und Li-Jost (1998).

Generalisation zu anderen Grenzwertproblemen

Ein allgemeinerer Ausdruck für die potenzielle Energie einer Membran ist

:

Das entspricht einer Außenkraft-Dichte in D, einer Außenkraft an der Grenze C und elastischen Kräften mit dem Modul, das C folgt. Die Funktion, die die potenzielle Energie ohne Beschränkung seiner Grenzwerte minimiert, wird durch u angezeigt. Vorausgesetzt, dass f und g dauernd sind, deutet Regelmäßigkeitstheorie an, dass die Minderungsfunktion u zwei Ableitungen haben wird. In der Einnahme der ersten Schwankung muss keine Grenzbedingung der Zunahme v auferlegt werden. Die erste Schwankung von

wird durch gegeben

:

Wenn wir den Abschweifungslehrsatz anwenden, ist das Ergebnis

:

Wenn wir zuerst v=0 auf C setzen, verschwindet das Grenzintegral, und wir schließen wie zuvor das

:

in D. Dann, wenn wir v erlauben, willkürliche Grenzwerte anzunehmen, deutet das an, dass u die Grenzbedingung befriedigen muss

:

auf C. Bemerken Sie, dass diese Grenzbedingung eine Folge des Minderungseigentums von u ist: Es wird im Voraus nicht auferlegt. Solche Bedingungen werden natürliche Grenzbedingungen genannt.

Das Vorangehen, das vernünftig urteilt, ist nicht gültig, wenn identisch auf C verschwindet. In solch einem Fall konnten wir eine Probe-Funktion erlauben

, wo c eine Konstante ist. Für solch eine Probe-Funktion,

:

Durch die passende Wahl von c, V kann jeden Wert annehmen, wenn die Menge innerhalb der Klammern nicht verschwindet. Deshalb ist das abweichende Problem wenn sinnlos

:

Diese Bedingung deutet an, dass Nettoaußenkräfte auf dem System im Gleichgewicht sind. Wenn diese Kräfte im Gleichgewicht sind, dann hat das abweichende Problem eine Lösung, aber es ist nicht einzigartig, da eine willkürliche Konstante hinzugefügt werden kann. Weitere Details und Beispiele sind in Courant und Hilbert (1953).

Probleme von Eigenvalue

Sowohl eindimensionale als auch mehrdimensionale eigenvalue Probleme können als abweichende Probleme formuliert werden.

Sturm-Liouville Probleme

Das Problem von Sturm-Liouville eigenvalue schließt eine allgemeine quadratische Form ein

:

wo φ auf Funktionen eingeschränkt wird, die die Grenzbedingungen befriedigen

:

Lassen Sie R eine Normalisierung integrierter sein

:

Die Funktionen und sind erforderlich, überall positiv zu sein, und weg von der Null begrenzt. Das primäre abweichende Problem ist, das Verhältnis Q/R unter dem ganzen φ zu minimieren, der die Endpunkt-Bedingungen befriedigt. Es wird darunter gezeigt die Euler-Lagrange Gleichung für die Minderung u ist

:

wo λ der Quotient ist

:

Es kann gezeigt werden (sieh Gelfand und Fomin 1963), dass die Minderung u zwei Ableitungen hat und die Euler-Lagrange Gleichung befriedigt. Der verbundene λ wird dadurch angezeigt; es ist der niedrigste eigenvalue für diese Gleichung und Grenzbedingungen. Die verbundene Minderungsfunktion wird dadurch angezeigt. Diese abweichende Charakterisierung von eigenvalues führt zur Rayleigh-Ritz Methode: Wählen Sie ein Approximieren u als eine geradlinige Kombination von Basisfunktionen (zum Beispiel trigonometrische Funktionen) und führen Sie eine endlich-dimensionale Minimierung unter solchen geradlinigen Kombinationen aus. Diese Methode ist häufig überraschend genau.

Der folgende kleinste eigenvalue und eigenfunction können durch die Minderung Q unter der zusätzlichen Einschränkung erhalten werden

:

Dieses Verfahren kann erweitert werden, um die ganze Folge von eigenvalues und eigenfunctions für das Problem zu erhalten.

Das abweichende Problem gilt auch für allgemeinere Grenzbedingungen. Anstatt zu verlangen, dass φ an den Endpunkten verschwinden, können wir keine Bedingung an den Endpunkten auferlegen, und setzen

:

wo und willkürlich sind. Wenn wir untergehen, ist die erste Schwankung für das Verhältnis

:

wo λ durch das Verhältnis als vorher gegeben wird.

Nach der Integration durch Teile,

:

Wenn wir zuerst verlangen, dass v an den Endpunkten verschwinden, wird die erste Schwankung für den ganzen v nur wenn verschwinden

:

Wenn u diese Bedingung befriedigt, dann wird die erste Schwankung für willkürlichen v nur wenn verschwinden

:

Diese letzten Bedingungen sind die natürlichen Grenzbedingungen für dieses Problem, da sie auf dem Prüfstand Funktionen für die Minimierung nicht auferlegt werden, aber stattdessen eine Folge der Minimierung sind.

Probleme von Eigenvalue in mehreren Dimensionen

Probleme von Eigenvalue in höheren Dimensionen werden in der Analogie mit dem eindimensionalen Fall definiert. Zum Beispiel in Anbetracht eines Gebiets D mit der Grenze B in drei Dimensionen können wir definieren

:

und

:

Lassen Sie u die Funktion sein, die den Quotienten minimiert

ohne Bedingung, die an der Grenze B vorgeschrieben ist. Die Euler-Lagrange durch u zufriedene Gleichung ist

:

wo

:

Die Minderung u muss auch die natürliche Grenzbedingung befriedigen

:

an der Grenze B. Dieses Ergebnis hängt von der Regelmäßigkeitstheorie für elliptische teilweise Differenzialgleichungen ab; sieh Jost und Li-Jost (1998) für Details. Viele Erweiterungen, einschließlich Vollständigkeitsergebnisse, asymptotischer Eigenschaften des eigenvalues und der Ergebnisse bezüglich der Knoten des eigenfunctions sind in Courant und Hilbert (1953).

Anwendungen

Einige Anwendungen der Rechnung von Schwankungen schließen ein:

• Die Abstammung der Kettengestalt
• Das Brachistochrone Problem
• Probleme von Isoperimetric
• Geodesics auf Oberflächen
• Minimale Oberflächen und das Problem des Plateaus
• Optimale Kontrolle

Der Grundsatz von Fermat

Der Grundsatz von Fermat stellt fest, dass Licht einen Pfad nimmt, der (lokal) die optische Länge zwischen seinen Endpunkten minimiert. Wenn die X-Koordinate als der Parameter entlang dem Pfad, und entlang dem Pfad gewählt wird, dann wird die optische Länge durch gegeben

:

wo der Brechungsindex vom Material abhängt.

Wenn wir versuchen

dann ist die erste Schwankung (die Ableitung in Bezug auf ε)

:

Nach der Integration durch Teile des ersten Begriffes innerhalb von Klammern erhalten wir die Euler-Lagrange Gleichung

:

Die leichten Strahlen können durch die Integrierung dieser Gleichung bestimmt werden. Dieser Formalismus wird im Zusammenhang der Optik von Lagrangian und Optik von Hamiltonian verwendet.

Das Gesetz von Snell

Es gibt eine Diskontinuität des Brechungsindexes, wenn Licht eingeht oder eine Linse verlässt. Lassen Sie

::

wo und Konstanten sind. Dann hält die Euler-Lagrange Gleichung wie zuvor im Gebiet wo x

:

Das Faktor-Multiplizieren ist der Sinus des Winkels des Ereignis-Strahls mit der x Achse, und das Faktor-Multiplizieren ist der Sinus des Winkels des gebrochenen Strahls mit der x Achse. Das Gesetz von Snell für die Brechung verlangt, dass diese Begriffe gleich sind. Wie diese Berechnung demonstriert, ist das Gesetz von Snell zum Verschwinden der ersten Schwankung der optischen Pfad-Länge gleichwertig.

Der Grundsatz von Fermat in drei Dimensionen

Es ist zweckdienlich, um Vektor-Notation zu verwenden: Lassen Sie lassen t ein Parameter sein, lassen, die parametrische Darstellung einer Kurve C zu sein und zu lassen, sein Tangente-Vektor zu sein. Die optische Länge der Kurve wird durch gegeben

:

Bemerken Sie, dass dieses Integral invariant in Bezug auf Änderungen in der parametrischen Darstellung von C ist. Die Euler-Lagrange Gleichungen für eine Minderungskurve haben die symmetrische Form

:wo:

Es folgt aus der Definition, dass P befriedigt

:

Deshalb kann das Integral auch als geschrieben werden

:

Diese Form weist darauf hin, dass, wenn wir eine Funktion ψ finden können, dessen Anstieg durch P dann gegeben wird, der integrierte A durch den Unterschied von ψ an den Endpunkten des Zwischenraums der Integration gegeben wird. So kann das Problem, die Kurven zu studieren, die das Integral stationär machen, mit der Studie der Niveau-Oberflächen von ψ verbunden sein. Um solch eine Funktion zu finden, wenden wir uns der Wellengleichung zu, die die Fortpflanzung des Lichtes regelt. Dieser Formalismus wird im Zusammenhang der Optik von Lagrangian und Optik von Hamiltonian verwendet.

Verbindung mit der Wellengleichung

Die Wellengleichung für ein inhomogeneous Medium ist

:

wo c die Geschwindigkeit ist, die allgemein X abhängt. Welle-Vorderseiten für das Licht sind charakteristische Oberflächen für diese teilweise Differenzialgleichung: Sie befriedigen

:

Wir können nach Lösungen in der Form suchen

:

In diesem Fall befriedigt ψ

:

wo Gemäß der Theorie der ersten Ordnung teilweise Differenzialgleichungen, wenn dann P befriedigt

:

entlang einem System von Kurven (die leichten Strahlen), die durch gegeben werden

:

Diese Gleichungen für die Lösung einer ersten Ordnung teilweise Differenzialgleichung ist zu den Euler-Lagrange Gleichungen identisch, wenn wir die Identifizierung machen

:

Wir beschließen, dass die Funktion ψ der Wert der Minderung integriert als eine Funktion des oberen Endpunkts ist. D. h. wenn eine Familie, Kurven zu minimieren, gebaut wird, befriedigen die Werte der optischen Länge die charakteristische Gleichung entsprechend die Wellengleichung. Folglich ist das Lösen der verbundenen teilweisen Differenzialgleichung der ersten Ordnung zur Entdeckung von Familien von Lösungen des abweichenden Problems gleichwertig. Das ist der wesentliche Inhalt der Theorie von Hamilton-Jacobi, die für allgemeinere abweichende Probleme gilt.

Handlungsgrundsatz

In der klassischen Mechanik wird die Handlung, S, als die Zeit definiert, die von Lagrangian, L integriert ist. Der Lagrangian ist der Unterschied von Energien,

:

wo T die kinetische Energie eines mechanischen Systems und U seine potenzielle Energie ist. Der Grundsatz von Hamilton (oder der Handlungsgrundsatz) stellen fest, dass die Bewegung eines konservativen holonomic (integrable Einschränkungen) mechanisches System dass die Handlung integrierter solch

ist:ist

in Bezug auf Schwankungen im Pfad x (t) stationär.

Die Euler-Lagrange Gleichungen für dieses System sind als die Gleichungen von Lagrange bekannt:

:

und sie sind zu den Gleichungen von Newton der Bewegung (für solche Systeme) gleichwertig.

Die verbundenen Schwünge P werden durch definiert

:

Zum Beispiel, wenn

:

dann

:

Mechanik von Hamiltonian resultiert, wenn die verbundenen Schwünge im Platz eingeführt werden, und der Lagrangian L durch den Hamiltonian H definiert durch ersetzt wird

:

Der Hamiltonian ist die Gesamtenergie des Systems: H = T + U.

Die Analogie mit dem Grundsatz von Fermat weist darauf hin, dass Lösungen der Gleichungen von Lagrange (die Partikel-Schussbahnen) in Bezug auf Niveau-Oberflächen von etwas Funktion X beschrieben werden können. Diese Funktion ist eine Lösung der Gleichung von Hamilton-Jacobi:

:

Siehe auch

• Die erste Schwankung
• Ungleichheit von Isoperimetric
• Abweichender Grundsatz
• Abweichender bicomplex
• Der Grundsatz von Fermat
• Grundsatz von kleinster Handlung
• Unendlich-dimensionale Optimierung
• Funktionsanalyse
• Unruhe-Methoden
• Junges Maß
• Optimale Kontrolle
• Direkte Methode in der Rechnung von Schwankungen
• Der Lehrsatz von Noether

Nachschlagewerke

• Gelfand, I.M. und Fomin, S.V.: Calculus von Schwankungen, Dover Publ. 2000.
• Lebedev, L.P. und Wolke, M.J.: Die Rechnung von Schwankungen und Funktionsanalyse mit der Optimalen Kontrolle und den Anwendungen in der Mechanik, Welt Wissenschaftlich, 2003, Seiten 1-98.
• Charles Fox: Eine Einführung in die Rechnung von Schwankungen, Dover Publ. 1987.
• Forsyth, A.R.: Calculus von Schwankungen, Dover, 1960.
• Sagan, Hans: Einführung in die Rechnung von Schwankungen, Dover, 1992.
• Weinstock, Robert: Rechnung von Schwankungen mit Anwendungen auf die Physik und Technik, Dover, 1974.
• Clegg, J.C.: Calculus von Schwankungen, Interscience Publishers Inc., 1968.
• Courant, R.: Der Grundsatz von Dirichlet, conformal kartografisch darstellende und minimale Oberflächen. Zwischenwissenschaft, 1950.
• Courant, R. und D. Hilbert: Methoden der Mathematischen Physik, Vol I. Interscience Press, 1953.
• Elsgolc, L.E.: Calculus von Schwankungen, Pergamon Press Ltd., 1962.
• Jost, J. und X. Li-Jost: Rechnung von Schwankungen. Universität von Cambridge Presse, 1998.
• Bolza, O.: Vorträge auf der Rechnung von Schwankungen. Chelsea Publishing Company, 1904, verfügbar auf der Digitalmathematik-Bibliothek http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ACM2513. 2. Ausgabe neu veröffentlicht 1961, Paperback 2005, internationale Standardbuchnummer 978-1-4181-8201-4.
• Logan, J. David: Angewandte Mathematik, 3. Hrsg.-Wiley-Zwischenwissenschaft, 2006

Referenzen

• Jon Fischer, Einführung in die Rechnung von Schwankungen, einem schnellen und lesbaren Führer. (Bemerken Sie: Es gibt Druckfehler in der Euler-Lagrange Gleichung auf der Seite 5 des Dokumentes; die Gleichung sollte lesen:. Ähnliche Fehler sind in Gleichungen 5.1 und 5.2 auf der Seite 8 des Dokumentes da.)
• .
• Rechnung von Schwankungsbeispiel-Problemen.
• Kapitel 8: Rechnung von Schwankungen, von der Optimierung für Techniksysteme, durch Ralph W. Pike, Louisiana Staatliche Universität.