Nichtersatzgeometrie (NCG) ist ein Zweig der Mathematik, die mit einer geometrischen Annäherung an Nichtersatzalgebra, und mit dem Aufbau von Räumen betroffen ist, die durch Nichtersatzalgebra von Funktionen (vielleicht in einem verallgemeinerten Sinn) lokal präsentiert werden. Eine Nichtersatzalgebra ist eine assoziative Algebra, in der die Multiplikation nicht auswechselbar ist, d. h. für den xy yx nicht immer gleichkommt; oder mehr allgemein eine algebraische Struktur, in der der binären Hauptoperationen nicht auswechselbar ist; man erlaubt auch zusätzlichen Strukturen, z.B Topologie oder Norm, vielleicht durch die Nichtersatzalgebra von Funktionen getragen zu werden. Die Hauptrichtung in der Nichtersatzgeometrie ist vom französischen Mathematiker Alain Connes seit seiner Beteiligung ungefähr von 1979 gelegt worden.

Motivation

Die Hauptmotivation soll die Ersatzdualität zwischen Räumen und Funktionen zur Nichtersatzeinstellung erweitern. In der Mathematik gibt es eine nahe Beziehung zwischen Räumen, die in der Natur und den numerischen Funktionen auf ihnen geometrisch sind. Im Allgemeinen werden solche Funktionen einen Ersatzring bilden. Zum Beispiel kann man den Ring C (X) von dauernden Komplex-geschätzten Funktionen auf einem topologischen Raum X nehmen. In vielen wichtigen Fällen (z.B, wenn X ein Kompaktraum von Hausdorff ist), können wir X von C (X) genesen, und deshalb hat es einen Sinn zu sagen, dass X Ersatztopologie hat.

Mehr spezifisch, in der Topologie, kompakter Hausdorff können topologische Räume von der Algebra von Banach von Funktionen auf dem Raum (Gel'fand-Neimark) wieder aufgebaut werden. In der algebraischen Ersatzgeometrie sind algebraische Schemas lokal erste Spektren von Ersatzunital-Ringen (A. Grothendieck), und Schemas können von den Kategorien von quasizusammenhängenden Bündeln von Modulen auf ihnen wieder aufgebaut werden (P. Gabriel-A. Rosenberg). Für Topologien von Grothendieck sind die cohomological Eigenschaften einer Seite invariant der entsprechenden Kategorie von Bündeln von Sätzen angesehen abstrakt als ein topos (A. Grothendieck). In allen diesen Fällen wird ein Raum von der Algebra von Funktionen oder seiner categorified Version — eine Kategorie von Bündeln auf diesem Raum wieder aufgebaut.

Funktionen auf einem topologischen Raum können multipliziert und pointwise folglich hinzugefügt werden sie bilden eine Ersatzalgebra; tatsächlich sind diese Operationen in der Topologie des Grundraums lokal, folglich bilden die Funktionen ein Bündel von Ersatzringen über den Grundraum.

Der Traum der Nichtersatzgeometrie soll diese Dualität zur Dualität zwischen verallgemeinern

• Nichtersatzalgebra oder Bündel von Nichtersatzalgebra oder einem Bündel ähnlichen mit dem Maschinenbediener algebraischen oder algebraischen Nichtersatzstrukturen
• und geometrische Entitäten der bestimmten Art,

und wirken Sie zwischen der algebraischen und geometrischen Beschreibung von denjenigen über diese Dualität aufeinander.

Bezüglich dessen entsprechen die Ersatzringe üblichen affine Schemas, und auswechselbar C*-algebras zu üblichen topologischen Räumen, die Erweiterung auf Nichtersatzringe und Algebra verlangt nichttriviale Generalisation von topologischen Räumen, als "Nichtersatzräume". Deshalb etwas Gespräch über die Nichtersatztopologie, obwohl der Begriff auch andere Bedeutungen hat.

Anwendungen in der mathematischen Physik

Einige Anwendungen in der Partikel-Physik werden auf den Einträgen Nichtersatz-Standard-Muster- und Nichtersatzquant-Feldtheorie beschrieben. Plötzlicher Anstieg des Interesses an der Nichtersatzgeometrie in der Physik, folgt nach den Spekulationen seiner Rolle in der M 1997 gemachte Theorie.

Motivation aus der ergodic Theorie

Etwas von der von Alain Connes entwickelten Theorie, um Nichtersatzgeometrie an einem technischen Niveau zu behandeln, hat Wurzeln in älteren Versuchen insbesondere in der ergodic Theorie. Der Vorschlag von George Mackey, eine virtuelle Untergruppe-Theorie zu schaffen, in Bezug auf die ergodic Gruppenhandlungen homogene Räume einer verlängerten Art werden würden, ist inzwischen untergeordnet worden.

Nichtauswechselbar C*-algebras, Algebra von von Neumann

(Der formelle duals) nichtauswechselbar werden häufig jetzt C*-algebras Nichtersatzräume genannt. Das ist analog mit der Darstellung von Gelfand, die zeigt, dass auswechselbar C*-algebras Doppel-sind, um Räume von Hausdorff lokal zusammenzupressen. Im Allgemeinen kann man zu irgendwelchem C*-algebra S einen topologischen Raum Ŝ vereinigen; sieh Spektrum C*-algebra.

Für die Dualität zwischen σ-Finite-Maß-Räumen und Ersatzalgebra von von Neumann werden Nichtersatzalgebra von von Neumann Nichtersatzmaß-Räume genannt.

Nichtersatzdifferentiable-Sammelleitungen

Eine glatte SammelleitungsM von Riemannian ist ein topologischer Raum mit viel Extrastruktur. Von seiner Algebra von dauernden Funktionen C (M) erlangen wir nur M topologisch wieder. Der algebraische invariant, der die Struktur von Riemannian wieder erlangt, ist ein geisterhafter dreifacher. Es wird von einem glatten Vektor-Bündel-E über die M, z.B das Außenalgebra-Bündel gebaut. Der Hilbert Raum L (M, E) des Quadrats integrable Abteilungen von E trägt eine Darstellung von C (M) durch Multiplikationsmaschinenbediener, und wir denken einen unbegrenzten Maschinenbediener D in L (M, E) mit dem Kompaktwiederlösungsmittel (z.B der Unterschrift-Maschinenbediener), solch, dass die Umschalter [D, f] begrenzt werden, wann auch immer f glatt ist. Ein neuer tiefer Lehrsatz stellt fest, dass die M als eine Sammelleitung von Riemannian davon Daten wieder erlangt werden kann.

Das weist darauf hin, dass man eine Nichtersatzsammelleitung von Riemannian als ein geisterhafter dreifacher (A, H, D) definieren könnte, aus einer Darstellung C*-algebra auf einem Raum von Hilbert H, zusammen mit einem unbegrenzten Maschinenbediener D auf H, mit dem Kompaktwiederlösungsmittel, solch bestehend, der [D,] für alle in einer dichten Subalgebra von A begrenzt wird. Die Forschung im geisterhaften verdreifacht sich ist sehr aktiv, und viele Beispiele von Nichtersatzsammelleitungen sind gebaut worden.

Nichtauswechselbarer affine und projektive Schemas

In der Analogie zur Dualität zwischen affine Schemas und Ersatzringen definieren wir eine Kategorie von affine Nichtersatzschemas als die Doppel-von der Kategorie von assoziativen Unital-Ringen. Es gibt bestimmte Entsprechungen der Topologie von Zariski in diesem Zusammenhang, so dass man solche affine Schemas an allgemeinere Gegenstände kleben kann.

Es gibt auch Generalisationen des Kegels und von Proj eines abgestuften Ersatzrings, einen Lehrsatz von Serre auf Proj nachahmend. Nämlich die Kategorie von quasizusammenhängenden Bündeln von O-Modulen auf Proj einer abgestuften Ersatzalgebra ist zur Kategorie von abgestuften Modulen über den Ring gleichwertig, der auf der Unterkategorie von Serre von abgestuften Modulen der begrenzten Länge lokalisiert ist; es gibt auch analogen Lehrsatz für zusammenhängende Bündel, wenn die Algebra Noetherian ist. Dieser Lehrsatz wird als eine Definition der projektiven Nichtersatzgeometrie von Michael Artin und J. J. Zhang erweitert, die auch einige allgemeine ringtheoretische Bedingungen hinzufügen (z.B. Artin-Schelter Regelmäßigkeit).

Viele Eigenschaften von projektiven Schemas strecken sich bis zu diesen Zusammenhang aus. Zum Beispiel dort bestehen Sie ein Analogon der berühmten Dualität von Serre für projektive Nichtersatzschemas von Artin und Zhang.

A. L. Rosenberg hat ein ziemlich allgemeines Verhältniskonzept des Nichtersatzquasikompaktschemas (über eine Grundkategorie) geschaffen, die Studie von Grothendieck von morphisms von Schemas und Deckel in Bezug auf Kategorien von quasizusammenhängenden Bündeln und flacher Lokalisierung functors abstrahierend. Es gibt auch eine andere interessante Annäherung über die Lokalisierungstheorie, wegen Fred Van Oystaeyens, Luc Willaerts und Alain Verschorens, wo das Hauptkonzept das einer schematischen Algebra ist.

Invariants für Nichtersatzräume

Einige der Motivieren-Fragen der Theorie sind mit sich ausstreckendem bekanntem topologischem invariants zu formellem duals von nichtauswechselbaren (Maschinenbediener) Algebra und anderer Ersatz und Kandidaten für Nichtersatzräume beschäftigt. Einer der Hauptstartpunkte der Richtung von Alain Connes in der Nichtersatzgeometrie ist seine sensationelle Entdeckung (und unabhängig durch Boris Tsygan) einer sehr wichtigen neuen Homologie-Theorie, die zu assoziativen Nichtersatzalgebra und Nichtersatzmaschinenbediener-Algebra, nämlich die zyklische Homologie und seine Beziehungen zur algebraischen K-Theorie (in erster Linie über die Connes-Chern Charakter-Karte) vereinigt ist.

Die Theorie von charakteristischen Klassen von glatten Sammelleitungen ist zum geisterhaften erweitert worden verdreifacht sich, die Werkzeuge der Maschinenbediener-K-Theorie und zyklischen cohomology verwendend. Mehrere Generalisationen von jetzt klassischen Index-Lehrsätzen berücksichtigen wirksame Förderung von numerischem invariants vom geisterhaften verdreifacht sich. Die grundsätzliche charakteristische Klasse in zyklischem cohomology, der JLO cocycle, verallgemeinert den klassischen Charakter von Chern.

Beispiele von Nichtersatzräumen

• In Weyl quantization wird der symplectic Phase-Raum der klassischen Mechanik in einen Nichtersatzphase-Raum deformiert, der durch die Position und Schwung-Maschinenbediener erzeugt ist.
• Das Standardmodell der Partikel-Physik ist ein anderes Beispiel einer Nichtersatzgeometrie, vgl Nichtersatzstandardmodell.
• Der Nichtersatzring, Deformierung der Funktionsalgebra des gewöhnlichen Rings, kann die Struktur eines geisterhaften dreifachen gegeben werden. Diese Klasse von Beispielen ist intensiv studiert worden und fungiert noch als ein Testfall für mehr komplizierte Situationen.
• Raum von Snyder
• Nichtersatzalgebra, die aus Blattbildungen entstehen.
• Beispiele, die mit dynamischen Systemen verbunden sind, die aus der Zahlentheorie wie die Verschiebung von Gauss auf fortlaufenden Bruchteilen entstehen, verursachen Nichtersatzalgebra, die scheinen, interessante Nichtersatzgeometrie zu haben.

Siehe auch

• Commutativity
• Produkt von Moyal
• Krauser Bereich
• Algebraische Nichtersatzgeometrie

Referenzen

Links

• Einführung in die Quant-Geometrie durch Micho Đurđevich
• Vorträge auf der Nichtersatzgeometrie durch Victor Ginzburg
• Sehr Grundlegende Nichtersatzgeometrie durch Masoud Khalkhali
• Vorträge auf der arithmetischen Nichtersatzgeometrie durch Matilde Marcolli
• Nichtersatzgeometrie für Fußgänger durch J. Madore
• Eine informelle Einführung in die Ideen und Konzepte der Nichtersatzgeometrie durch Thierry Masson (eine leichtere Einführung, die noch ziemlich technisch ist)
• Nichtersatzgeometrie auf arxiv.org
• MathOverflow, Theorien der Nichtersatzgeometrie
• S. Mahanta, Auf einigen Annäherungen zur algebraischen Nichtersatzgeometrie, Mathematik. QA/0501166