In der Mathematik, insbesondere in der algebraischen Topologie und Differenzialgeometrie, sind die Klassen von Chern charakteristische zu komplizierten Vektor-Bündeln vereinigte Klassen.

Klassen von Chern wurden dadurch eingeführt.

Geometrische Annäherung

Grundidee und Motivation

Klassen von Chern sind charakteristische Klassen. Sie sind topologischer invariants, der vereinigt ist, um Bündel auf einer glatten Sammelleitung zu leiten. Die Frage dessen, ob zwei scheinbar verschiedene Vektor-Bündel dasselbe sind, kann ziemlich hart sein zu antworten. Die Chern Klassen stellen einen einfachen Test zur Verfügung: Wenn die Klassen von Chern eines Paares von Vektor-Bündeln nicht zustimmen, dann sind die Vektor-Bündel verschieden. Das gegenteilige ist jedoch nicht wahr.

In der Topologie, Differenzialgeometrie und algebraischen Geometrie, ist es häufig wichtig zu zählen, wie viele linear unabhängige Abteilungen ein Vektor-Bündel hat. Die Chern Klassen bieten etwas Information darüber durch, zum Beispiel, der Lehrsatz von Riemann-Roch und der Atiyah-Sänger-Index-Lehrsatz an.

Klassen von Chern sind auch ausführbar, in der Praxis zu rechnen. In der Differenzialgeometrie (und einige Typen der algebraischen Geometrie) können die Klassen von Chern als Polynome in den Koeffizienten der Krümmungsform ausgedrückt werden.

Aufbau von Klassen von Chern

Es gibt verschiedene Weisen, sich dem Thema zu nähern, von denen jeder sich auf einen ein bisschen verschiedenen Geschmack nach der Klasse von Chern konzentriert.

Die ursprüngliche Annäherung an Klassen von Chern war über die algebraische Topologie: Die Klassen von Chern entstehen über die homotopy Theorie, die zur Verfügung stellt kartografisch darzustellen, der V zu einem Klassifizieren-Raum (unendlicher Grassmannian in diesem Fall) vereinigt ist. Jedes Vektor-Bündel V über eine Sammelleitung kann als das Hemmnis eines universalen Bündels über den Klassifizieren-Raum begriffen werden, und die Klassen von Chern V können deshalb als das Hemmnis der Klassen von Chern des universalen Bündels definiert werden; diese universalen Klassen von Chern können der Reihe nach in Bezug auf Zyklen von Schubert ausführlich niedergeschrieben werden.

Die Annäherung von Chern hat Differenzialgeometrie, über die Krümmungsannäherung beschrieben vorherrschend in diesem Artikel verwendet. Er hat gezeigt, dass die frühere Definition tatsächlich zu seinem gleichwertig war.

Es gibt auch eine Annäherung von Alexander Grothendieck, der zeigt, dass axiomatisch ein Bedürfnis nur den Linienbündel-Fall definiert.

Klassen von Chern entstehen natürlich in der algebraischen Geometrie. Die verallgemeinerten Klassen von Chern in der algebraischen Geometrie können für Vektor-Bündel (oder genauer, lokal freie Bündel) über jede nichtsinguläre Vielfalt definiert werden. Algebro-geometrische Chern Klassen verlangen nicht, dass das zu Grunde liegende Feld irgendwelche speziellen Eigenschaften hat. Insbesondere die Vektor-Bündel brauchen nicht notwendigerweise kompliziert zu sein.

Unabhängig vom besonderen Paradigma hat die intuitive Bedeutung der Klassensorgen von Chern 'zeroes' einer Abteilung eines Vektor-Bündels verlangt: Zum Beispiel der Lehrsatz sagend kann man keine haarige Ball-Wohnung (haariger Ball-Lehrsatz) kämmen. Obwohl das genau genommen eine Frage über ein echtes Vektor-Bündel ist (die "Haare" auf einem Ball sind wirklich Kopien der echten Linie), es gibt Generalisationen, in denen die Haare kompliziert sind (sieh das Beispiel des komplizierten haarigen Ball-Lehrsatzes unten), oder für 1-dimensionale projektive Räume über viele andere Felder.

Sieh Chern-Simons für mehr Diskussion.

Die Chern Klasse von Linienbündeln

für eine mit dem Bündel theoretische Beschreibung.

Ein wichtiger spezieller Fall kommt vor, wenn V ein Linienbündel ist. Dann ist die einzige nichttriviale Klasse von Chern die erste Klasse von Chern, die ein Element der zweiten cohomology Gruppe X ist. Da es die Spitzenklasse von Chern ist, kommt es der Klasse von Euler des Bündels gleich.

Die erste Klasse von Chern erweist sich, ein ganzer invariant zu sein, mit dem man komplizierte Linienbündel klassifiziert, topologisch sprechend. D. h. es gibt eine Bijektion zwischen den Isomorphismus-Klassen von Linienbündeln mehr als X und die Elemente von H ² (X; Z), der zu einem Linienbündel seine erste Klasse von Chern vereinigt. Die Hinzufügung in der zweiten dimensionalen cohomology Gruppe fällt mit dem Tensor-Produkt von komplizierten Linienbündeln zusammen.

In der algebraischen Geometrie ist diese Klassifikation (Isomorphismus-Klassen) komplizierte Linienbündel durch die erste Klasse von Chern eine grobe Annäherung an die Klassifikation (Isomorphismus-Klassen) holomorphic Linienbündel durch geradlinige Gleichwertigkeitsklassen von Teilern.

Für komplizierte Vektor-Bündel der Dimension, die größer ist als eine, sind die Klassen von Chern nicht ein ganzer invariant.

Die Chern Klasse in der Chern-Weil Theorie

Die Chern Klasse eines Vektoren von Hermitian macht sich auf einer glatten Sammelleitung davon

In Anbetracht eines Komplexes hermitian Vektor-Bündel V der komplizierten Reihe n über eine glatte mannigfaltige M,

einem Vertreter jeder Klasse von Chern (hat auch eine Form von Chern genannt), V wird als die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms der Krümmungsform V gegeben.

:

Die Determinante ist über den Ring n×n matrices, dessen Einträge Polynome in t mit Koeffizienten in der Ersatzalgebra sogar komplizierter Differenzialformen auf der M sind. Die Krümmungsform V wird als definiert

:

mit der Verbindungsform und d die Außenableitung, oder über denselben Ausdruck, in dem eine Maß-Form für die Maß-Gruppe V ist. Der Skalar t wird hier nur als ein unbestimmter verwendet, um die Summe von der Determinante zu erzeugen, und ich zeige n×n Identitätsmatrix an.

Zu sagen, dass der gegebene Ausdruck ein Vertreter der Klasse von Chern ist, zeigt an, dass 'Klasse' hier bis zur Hinzufügung einer genauen Differenzialform bedeutet. D. h. Chern Klassen sind cohomology Klassen im Sinne de Rhams cohomology. Es kann gezeigt werden, dass die cohomology Klasse der Formen von Chern von der Wahl der Verbindung in V nicht abhängt.

Beispiel: das komplizierte Tangente-Bündel des Bereichs von Riemann

Lassen Sie BEDIENUNGSFELD der Bereich von Riemann sein: 1-dimensionaler komplizierter projektiver Raum. Nehmen Sie an, dass z eine holomorphic lokale Koordinate für den Bereich von Riemann ist. Lassen Sie V = TCP das Bündel von komplizierten Tangente-Vektoren sein, die die Form ein  /  z an jedem Punkt, wo haben einer komplexen Zahl zu sein. Wir beweisen die komplizierte Version des haarigen Ball-Lehrsatzes: V hat keine Abteilung, die überall Nichtnull ist.

Dafür brauchen wir die folgende Tatsache: Die erste Klasse von Chern eines trivialen Bündels ist Null, d. h.,

:

Das wird durch die Tatsache gezeigt, dass ein triviales Bündel immer eine flache Verbindung zulässt.

Also, wir werden dem zeigen

:

Betrachten Sie Kähler als metrischen

:

Man zeigt sogleich, dass die 2-Formen-Krümmung durch gegeben wird

:

Außerdem, durch die Definition der ersten Klasse von Chern

:

Wir müssen zeigen, dass die cohomology Klasse davon Nichtnull ist. Es genügt, um sein Integral über den Bereich von Riemann zu schätzen:

:

nach der Schaltung zu Polarkoordinaten. Durch den Lehrsatz von Stokes würde eine genaue Form zu 0 integrieren, so ist die cohomology Klasse Nichtnull.

Das beweist, dass TCP nicht ein triviales Vektor-Bündel ist.

Eigenschaften von Klassen von Chern

In Anbetracht eines komplizierten Vektoren machen sich V über einen topologischen Raum X, davon

die Klassen von Chern V sind eine Folge von Elementen des cohomology X. Die th Klasse von Chern V, der gewöhnlich c angezeigt wird

:H (X; Z),

der cohomology X mit Koeffizienten der ganzen Zahl. Man kann auch die Gesamtklasse von Chern definieren

:

Da die Werte in integrierten cohomology Gruppen, aber nicht cohomology mit echten Koeffizienten sind, werden diese Klassen von Chern ein bisschen mehr raffiniert als diejenigen im Beispiel von Riemannian.

Klassische axiomatische Definition

Die Chern Klassen befriedigen die folgenden vier Axiome:

Axiom 1. für alle.

Axiom 2. Functoriality: Wenn dauernd ist und das Vektor-Bündel-Hemmnis, dann ist.

Axiom 3. Summe-Formel von Whitney: Wenn ein anderes kompliziertes Vektor-Bündel ist, dann werden die Klassen von Chern der direkten Summe durch gegeben

:

das, ist

:

Axiom 4. Normalisierung: Die Gesamtklasse von Chern des tautologischen Linienbündels ist, wo zum Hyperflugzeug Poincaré-Doppel-ist.

Alexander Grothendieck axiomatische Annäherung

Wechselweise hat Alexander Grothendieck diese durch einen ein bisschen kleineren Satz von Axiomen ersetzt:

• Functoriality: (Dasselbe als oben)
• Additivität: Wenn

• Normalisierung: Wenn E ein Linienbündel, dann ist, wo die Klasse von Euler des zu Grunde liegenden echten Vektor-Bündels ist.

Er zeigt das Verwenden des Leray-Hirsch Lehrsatzes, dass die Gesamtklasse von Chern eines willkürlichen begrenzten Reihe-Komplex-Vektor-Bündels in Bezug auf die erste Klasse von Chern eines tautologisch definierten Linienbündels definiert werden kann.

Nämlich, den projectivization der Reihe n kompliziertes Vektor-Bündel als das Faser-Bündel auf B einführend, dessen Faser an jedem Punkt der projektive Raum der Faser ist. Der Gesamtraum dieses Bündels wird mit seinem tautologischen komplizierten Linienbündel ausgestattet, das wir, und die erste Klasse von Chern anzeigen

:

schränkt auf jeder Faser auf minus die (Poincaré-Doppel)-Klasse des Hyperflugzeugs ein, das den cohomology der Faser im Hinblick auf den cohomology von komplizierten projektiven Räumen abmisst.

Die Klassen

:

bilden Sie deshalb eine Familie des umgebenden cohomology Klasseneinschränkens auf eine Basis des cohomology der Faser. Der Leray-Hirsch Lehrsatz setzt dann das fest

jede Klasse darin kann einzigartig als eine geradlinige Kombination mit Klassen auf der Basis als Koeffizienten geschrieben werden.

Insbesondere man kann die Klassen von Chern von E im Sinne Grothendieck definieren, der angezeigt ist, indem er diesen Weg die Klasse mit der Beziehung ausbreitet:

:

Man kann dann überprüfen, dass diese alternative Definition damit zusammenfällt, dass andere Definition man bevorzugen, oder die vorherige axiomatische Charakterisierung verwenden kann.

Die Spitzenklasse von Chern

Tatsächlich charakterisieren diese Eigenschaften einzigartig die Klassen von Chern. Sie beziehen unter anderem ein:

• Wenn die komplizierte Reihe, dann für alle ist. So endet die Gesamtklasse von Chern.
• Die Spitzenklasse von Chern (Bedeutung, wo die Reihe dessen ist) ist immer der Klasse von Euler des zu Grunde liegenden echten Vektor-Bündels gleich.

Nächste Begriffe

Der Chern Charakter

Klassen von Chern können verwendet werden, um einen Homomorphismus von Ringen aus der topologischen K-Theorie eines Raums zu (die Vollziehung) sein vernünftiger cohomology zu bauen. Weil eine Linie L stopft, wird der Charakter von Chern ch durch definiert

:

Mehr allgemein, wenn eine direkte Summe von Linienbündeln mit den ersten Klassen von Chern ist, wird der Charakter von Chern zusätzlich definiert

:

= E^ {x_1} + \dots + e^ {x_n }\

: = \sum_ {m=0} ^\\infty \frac {1} {M!} (x_1^m +... + x_n^m).

</Mathematik>

Bemerken Sie, dass, wenn V eine Summe von Linienbündeln ist, die Klassen von Chern V als elementare symmetrische Polynome in, ausgedrückt werden können

Insbesondere einerseits

:

c (V): = \sum_ {i=0} ^n c_i (V),

</Mathematik>

während andererseits

:

c (V) = c (L_1 \oplus \dots \oplus L_n)

= \prod_ {i=1} ^n c (L_i)

= \prod_ {i=1} ^n (1+x_i)

= \sum_ {i=0} ^n e_i (x_1, \dots, x_n).

</Mathematik>

Folglich kann die Identität des Newtons verwendet werden, um die Macht-Summen in ch (V) oben allein in Bezug auf die Klassen von Chern V wiederauszudrücken, gebend

:

Dieser letzte Ausdruck, der durch das Hervorrufen des zerreißenden Grundsatzes gerechtfertigt ist, wird als die Definition ch (V) für willkürliche Vektor-Bündel V genommen.

Wenn eine Verbindung verwendet wird, um die Klassen von Chern zu definieren, dann ist die ausführliche Form des Charakters von Chern

:

wo Ω die Krümmung der Verbindung ist.

Der Chern Charakter ist teilweise nützlich, weil er die Berechnung der Klasse von Chern eines Tensor-Produktes erleichtert. Spezifisch folgt es der folgenden Identität:

::

Wie oben angegeben, mit dem Additivitätsaxiom von Grothendieck für Klassen von Chern, kann die erste von dieser Identität verallgemeinert werden, um festzustellen, dass ch ein Homomorphismus von abelian Gruppen aus der K-Theorie K (X) in den vernünftigen cohomology X ist. Die zweite Identität gründet die Tatsache, dass dieser Homomorphismus auch Produkte in K (X) respektiert, und so ist ch ein Homomorphismus von Ringen.

Der Chern Charakter wird im Hirzebruch-Riemann-Roch Lehrsatz verwendet.

Zahlen von Chern

Wenn wir an einer orientierten Sammelleitung der Dimension 2n arbeiten, dann kann jedes Produkt von Klassen von Chern des Gesamtgrads 2n mit der Orientierungshomologie-Klasse paarweise angeordnet werden (oder "hat über die Sammelleitung" integriert), eine ganze Zahl, eine Zahl von Chern des Vektor-Bündels zu geben. Zum Beispiel, wenn die Sammelleitung Dimension 6 hat, gibt es drei linear unabhängige Zahlen von Chern, die durch c ³, Cc und c gegeben sind. Im Allgemeinen, wenn die Sammelleitung Dimension 2n hat, ist die Zahl von möglichen unabhängigen Zahlen von Chern die Zahl von Teilungen von n.

Die Chern Zahlen des Tangente-Bündels eines Komplexes (oder fast Komplexes) Sammelleitung wird die Zahlen von Chern der Sammelleitung genannt, und ist wichtiger invariants.

Die Chern Klasse in verallgemeinerten cohomology Theorien

Es gibt eine Generalisation der Theorie von Klassen von Chern, wo gewöhnlich, wird cohomology durch eine verallgemeinerte cohomology Theorie ersetzt. Die Theorien, für die solche Generalisation möglich ist, werden komplizierten orientable genannt.

Die formellen Eigenschaften der Klassen von Chern bleiben dasselbe mit einem entscheidendem Unterschied: Die Regel, die die erste Klasse von Chern eines Tensor-Produktes von Linienbündeln in Bezug auf die ersten Klassen von Chern der Faktoren schätzt, ist nicht (gewöhnliche) Hinzufügung, aber eher ein formelles Gruppengesetz.

Klassen von Chern von Sammelleitungen mit der Struktur

Die Theorie von Klassen von Chern verursacht cobordism invariants für fast komplizierte Sammelleitungen.

Wenn M eine fast komplizierte Sammelleitung ist, dann ist sein Tangente-Bündel ein kompliziertes Vektor-Bündel. Die Chern Klassen der M werden so definiert, um die Klassen von Chern seines Tangente-Bündels zu sein. Wenn M auch kompakt ist und der 2. Dimension, dann kann jedes Monom des in den Klassen von Chern 2. Gesamtgrads mit der grundsätzlichen Klasse der M paarweise angeordnet werden, eine ganze Zahl, eine Zahl von Chern der M gebend.

Wenn M&prime; ist eine andere fast komplizierte Sammelleitung derselben Dimension, dann ist es cobordant zur M wenn und nur wenn die Zahlen von Chern M&prime; fallen Sie mit denjenigen der M zusammen.

Die Theorie streckt sich auch bis zu echte symplectic Vektor-Bündel durch die Vermittlung von vereinbaren fast komplizierten Strukturen aus. Insbesondere symplectic Sammelleitungen haben eine bestimmte Klasse von Chern.

Klassen von Chern auf arithmetischen Schemas und Gleichungen von Diophantine

(Sieh Geometrie von Arakelov)

Siehe auch

• Klasse von Pontryagin
• Klasse von Stiefel-Whitney
• Klasse von Segre

• (Stellt eine sehr kurze, einleitende Rezension von Klassen von Chern zur Verfügung).

Links

• Vektor-Bündel & K-Theorie - Ein herunterladbarer Buch-im Gange von Allen Hatcher. Enthält ein Kapitel über charakteristische Klassen.
• Dieter Kotschick, Zahlen von Chern von algebraischen Varianten